高中数学立体几何证明题汇总

新课标立体几何证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 （1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

A B

F C

G D

E H

证明：在?ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?(2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四边形EFGH是平行四边形。 22、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。

A E

BC?AC?证明：（1）??CE?AB

AE?BE?同理，

AD?BD???DE?AB

AE?BE?B

C

又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE （2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

D

3、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

B ∴AC1//平面BDE。 考点：线面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求证：AD?面SBC． 证明：∵?ACB?90° ?BC?AC

又SA?面ABC ?SA?BC

?BC?面SAC ?BC?AD

?A

D1

B1

E C

A D

C

SDACB又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.

D1A1DOABB1C1?面AB1D1． 求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC1证明：（1）连结A1C1，设

AC11?B1D1?O1，连结AO1

∵ ABCD?A1B1C1D1是正方体 ?A1ACC1是平行四边形

∴A1C1∥AC且 AC11?AC 又O1,O分别是AC11,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1?AO

C?AOC1O1是平行四边形

?C1O∥AO1,AO1?面AB1D1，C1O?面AB1D1 ∴C1O∥面AB1D1

（2）?CC1?面A1B1C1D1 ?CC ! 1?B1D又

∵AC11?B1D1同理可证

AC?AD11， ?B1D1?面A1C1C 即A1C?B 1D1

， 又

D1B1?AD1?D1

?面AB1D1 ?AC1考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

6、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A1 E D A D1 B1 F G B C C1

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?2AC， 2?BDC?90?，求证：BD?平面ACD

证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG1//?AC 2//1BD，又AC?BD,∴FG?1AC，∴在?EFG中，EG2?FG2?1AC2?EF2 FG?222? ∴EG?FG，∴BD?AC，又?BDC?90，即BD?CD，AC?CD?C ∴BD?平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P是?ABC所在平面外一点，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，

AN?3NB （1）求证：MN?AB；（2）当?APB?90，AB?2BC?4时，求MN的长。 证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，

∴QN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D，连结 PD，∵PA?PB,∴

[来源学§科§网]?PM∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB ，∴ MQ?平面PAB

CAPD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂线定理得MN?AB B1? （2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

21MQ?BC?1，∴MN?2 2考点：三垂线定理

10、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.

证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D1GEB?四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB

又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG

EF?D1E?E，?平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点. （1）求证：AC1//平面BDE； （2）求证：平面A1AC?平面BDE. 证明：（1）设AC?BD?O，

∵E、O分别是AA1、AC的中点，?A1C∥EO

?平面BDE，EO?平面BDE，?A1C∥平面BDE 又AC1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，

AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E为BC的中点．

（1）求证：DE?平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE （2）?DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt?PAD，PD?42，在Rt?DCE中，DE?22 在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?30 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

13、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG?平面PAD； （2）求证：AD?PB；

（3）求二面角A?BC?P的大小． 证明：（1）?ABD为等边三角形且G为AD的中点，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD

（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，?AD?PG

00222且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，

PB?平面PBG，?AD?PB

（3）由AD?PB，AD∥BC，?BC?PB 又BG?AD，AD∥BC，?BG?BC ??PBG为二面角A?BC?P的平面角

在Rt?PBG中，PG?BG，??PBG?45

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）

0?平面MBD． 14、如图1,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，

A1A?AC?A，

?平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O． ∴DB⊥平面A1ACC1，而AO12设正方体棱长为a，则AO?1323a，MO2?a2． 24．

在Rt△ACA1M2?11M中，

92222OO?M∵AO，∴A?MO?A1Ma．114∵OM∩DB=O，∴ A1O⊥平面MBD．

考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF． ∵CD?平面CDF，∴CD?AB． 又CD?BE，BE?AB?B， ∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E， ∴ AH?平面BCD． 考点：线面垂直的判定

16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1 C1 A1 B1 D C

A B 证明：连结AC

⊥AC ∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C???A1C?平面BC1D同理可证A1C?BC1?

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，

2∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=2a，

11AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥

平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）

?BD?A1C???A1C?平面BC1D同理可证A1C?BC1?

考点：线面垂直的判定，三垂线定理

17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，

2∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=2a，

11AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥

平面BSC．

考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）

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