大学物理（上）课后习题答案

第1章 质点运动学 P21

1.8 一质点在xOy平面上运动，运动方程为：x=3t+5, y=

x的单位为m。质点在x=0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。

12

t+3t-4. 2解：由a?两边积分

dvdvdxdv??v得：vdv?adx?(2?6x2)dx dtdxdtdxv式中t以 s计，⑴以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；x,y以m计。⑵求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶

计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。

2解：（1）r?(3t?5)i?(t?3t?4)jm

?10vdv??(2?6x2)dx得：v22?2x?2x3?50

0x∴ v?2x3?x?25 m?s?1

1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为?=2+3t3，式中?以弧度计，t以秒计，求：⑴ t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度

的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

??12????⑵ t?1s,t?2s时，r1?8i?0.5j m；r2?11i?4jm

∴ ?r?r2?r1?3i?4.5jm

⑶t?0s时，r0?5i?4j；t?4s时，r4?17i?16j ∴ v?d?d??9t2,???18t dtdt⑴ t?2s时，a??R??1?18?2?36m?s?2

解： ?? an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2 ⑵ 当加速度方向与半径成45ο角时，有：tan45??a?an?1

3222即：R??R?，亦即(9t)?18t，解得：t?3则角位移为：??2?3t?2?3?2 9?rr4?r012i?20j???3i?5jm?s?1 ?t4?042?2.67rad 9dr?3i?(t?3)jm??1s⑷ v?，则：v4?3i?7j m?s?1 dt(5) t?0s时，v0?3i?3j；t?4s时，v4?3i?7j a?1.13 一质点在半径为0.4m的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为?=0.2 rad/s2，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。

?1解：t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s

?vv4?v04j???1j m?s?2 ?t44则v?R??0.4?0.4?0.16m?s

?2 an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s

?1dv?1j m?s?2 这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。 (6) a?dt1.9 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a?2?6x，a的单位为m/s2，

2 a??R??0.4?0.?2 a?m0.0?s?2

2an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2

与切向夹角??arctan(ana?)?0.0640.08?43?

1

第2章 质点动力学

2.10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，

?v1??p1m?5.6m?s?1i ；I1??p1?56kg?m?s?1i

若物体原来具有?6m?s?1初速，则

t=0时质点的速度为v0，证明：⑴t时刻的速度为v=v0ekk?()tm；⑵ 由0到t的

?()tmv0时间内经过的距离为x＝()［1-em］；⑶停止运动前经过的距离为

kmm1v0()；⑷当t?时速度减至v0的，式中m为质点的质量。

kke解：f??kv，a?fm??kvm

dvkvdt ⑴ 由a?得：dv?adt??dtmvdvt?kdtdvk??dt，即???分离变量得：，

v0v0mvmv?kt?kt因此有：ln?lnem， ∴ v?v0em

v0xtdx?kt?kt⑵ 由v?得：dx?vdt?v0emdt，两边积分得：?dx??v0emdt00dt

kmv0?t(1?em) ∴ x?kp0??mv0 , p?m(?v0??Fm?dt)??mv0??Fdt00 ???t????于是：?p2?p?p0??Fdt??p1, 同理有：?v2??v1,I2?I1

0tt这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理。

⑵ 同上理，两种情况中的作用时间相同，即：I?2?t0(10?2t)dt?10t?t2

亦即：t?10t?200?0， 解得t?10s，(t??20s舍去)

???????2.17 设F合?7i?6jN。⑴ 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km?时，求F所作的功。⑵ 如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率。⑶ 如果

质点的质量为1kg，试求动能的变化。

?解： ⑴ 由题知，F合为恒力，且r0?0

∴ A合?F??r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)??21?24??45J

⑶ 质点停止运动时速度为零，v?v0e故有：x??kt?m?0，即t→∞，

A45??75w ?t0.6⑶ 由动能定理，?Ek?A??45J

⑵ P?2.20 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为

??0v0ekt?mdt?mv0k

k?m?mkk2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，如

⑷ t?mk时，其速度为：v?v0e即速度减至v0的1e.

?v0e?1?v0e，

2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，又 F?k?x，F?k?x

A11B22⑴ 求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。⑵ 为了

所以静止时两弹簧伸长量之比为：?x1?x2?k2k1

使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物

?2E12?k?xk2p111体和一个具有初速度?6jm/s的物体,回答这两个问题。 弹性势能之比为：??2Ep212?k2?x2k1解： ⑴ 若物体原来静止，则

??t?4? ?p?Fdt?(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正向，

1图。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。

解： 弹簧A、B及重物C受力如题2.20图所示平衡时，有： FA?FB?Mg ，

?0?0

2

第3章 刚体力学基础

3.7 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩。

???解： 由题知，质点的位矢为：r?x1i?y1j

????∴ ?L?L2?L1?82.5kkg?m2?s?1

?L??M?dt??(r?f)dt003?152?dL ?(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt 解法(二) ∵M?， ∴ ??023dt??tt??作用在质点上的力为：f??fi

所以，质点对原点的角动量为：

??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?103L0?r?mv?(x1i?y1j)?m(vxi?vyj)?(x1mvy?y1mvx)k

???????作用在质点上的力的力矩为：M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk 3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1＝8.75×1010m 时的速率是v1＝5.46×104m/s，它离太阳最远时的速率是v2＝

9.08×102 m/s,这时它离太阳的距离r2是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。) 解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力，即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有：

3.10 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂

一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题3.10图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少

解：只挂重物M1时，小球作圆周运动，向心力为

2M1g，即：M1g?mr① ?00

挂上M2后，则有：(M1?M2)g?mr??? ② 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒。 即：r0mv0?r?mv??r02?0?r?2?? ③ 联立①、②、③得：?0?2r1v18.75?1010?5.46?104rmv2 ∴ r2???5.26?1012m 1v1?r2m2v29.08?10????3.9 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im,v?i?6j(m/s)，如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒后，⑴ 物体动量的变化；⑵ 相对z轴角动量的变化。

??3???1 解：⑴ ?p??fdt??5jdt?15jkg?m?s

0M1gM1gM1?M22，???()3， mr0mr0M1

⑵ 解法(一) 由a?fm?53 jN得：x?x0?v0xt?4?tt?3?4?3?7m

1M1?M2M1 r??g?()3?r0 2m??M1?M21515y?v0yt?at2?6t?t2?6?3???32?25.5j

26t?323?????即有：r1?4i,r2?7i?25.5j

vx?v0x?1；vy?v0y?at?6?53?3?11

即有：v2?i1?6j,v2?i?11j ∴ L1?rv1?m L2?r2?mv13.11 飞轮的质量m＝60kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O转动，转

速为900 rev/min。现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如题3.11图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算。试求：

⑴ 设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? ⑵ 如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?

?4i?3(i?6j)?7 2k?(7i?25.5j?)3i(?1j1?)1 5k4.53

2N?是正压力，解：⑴ 先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))。图中N、Fr、

mRl?60?0.25?0.50?15?Fr?是摩擦力，Fx和Fy是杆在A点

转轴处所受支承力，R是轮的重力，

P是轮在O轴处所受支承力。

杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有：

F(l1?l2)?N?l1?0， N??(l1?l2)Fl1

对飞轮，按转动定律有???FrRI，式中负号表示?与角速度?方向相反。∵ Fl?l2r??N ，N?N?∴ Fr??N???1lF 1又∵ I?12FR2?(l1?l2)2mR，∴???rI??mRlF ① 1以F?100N等代入上式，得：

???2?0.40?(0.50?0.75)60?0.25?0.50?100??403rad?s?2

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为：

t???0??900?2??360?40?7.06s 这段时间内飞轮的角位移为：

???1900?2?0t?? t2?60?94??12?403?(924?)2?53.1?2?rad 可知在这段时间里，飞轮转了53.1转。 ⑵?0?900?2?60rad?s?1，要求飞轮转速在t?2s内减少一半，可知 ???02??0???015?2t??2rad?s?2t

用上面式⑴所示的关系，可求出所需的制动力为：

F??12?(ll??177N

1?2)2?0.40?(0.50?0.75)?23.13 计算题3.13图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆

柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m1=50kg，m2=200 kg，M=15 kg，r=0.1 m

解：分别以m1、m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m1、m2运用牛顿定律，有：m2g?T2?m2a ；T1?m1a

对滑轮运用转动定律，有：T?T122r1r?(2Mr)? 又a?r?

由以上4个方程解得：a?m2gm?200?9.8?7.6 m?s?2

1?m2?M25?200?152

题3.13(a)图 题3.13(b)图

3.14 如题3.14图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下。求： ⑴ 初始时刻的角加速度；⑵ 杆转过?角时的角速度. 解：⑴ 由转动定律有：mg12l?(13ml2)?， ∴ ??3g2l ⑵ 由机械能守恒定律有：mglsin??1(1ml2)?2223 ∴ ??3gsin?l 4

3.15 如题3.15图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上。现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞。相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30°处。

⑴设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速v0的值； ⑵相撞时小球受到多大的冲量

解：⑴ 设小球的初速度为v0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为?，而小

3.17 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动。另一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如题3.17图所示方向)。 ⑴开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值? ⑵用m,m0和?表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比。

解：⑴ 射入的过程对O轴的角动量守恒：

球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：mv0l?I??mvl ①

112122mv?I??mv 0 222②

上两式中I?Ml23，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度??30o，按机械能守恒定律可列式：

Rsin?m0v0?(m?m0)R2?

mvsin?∴ ??00

(m?m0)Rmvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2?⑵ ??2Ek0m0v02m?m03.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N/m；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长。

解：以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有：mgh?又 ??v/R，

12lI??Mg(1?cos30?) ③ 221212?3g3??Mgl?(1?cos30?)???(1?)? 由③式得：???Il2????I?2I?22由①式得：v?v0? ④ 由②式得：v?v0? ⑤

mlmI?2I2)?v0??2 所以：(v0?mlm111mv2?I?2?kh2 2226(2?3)gl3m?Ml?Il1M (1?2)?(1?)??2ml23m12m⑵相碰时小球受到的冲量为：?Fdt??(mv)?mv?mv0

求得：v0?由①式求得：Fdt?mv?mv0??(2mgh?kh2)R2(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32v??2故有： mR?I6.0?0.32?0.5 ?2.0m?s?1

?6(2?3)glI?1??Ml???M l36负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。

5

第5章 机械振动

5.7 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按

?3x?0.1cos(8?t?2?3) (SI)的规律作谐振动，求：

⑴ 振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； ⑵ 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? ⑶ t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；

解：⑴设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

?x0?Acos?0解：因为?

v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相。故有：?1?? ?3??32?3t??)， ?2??T22??5?x?Acos(t?)， ?4?T34x?Acos(2?3x?Acos(t??)

T22?5x?Acos(t??)

T41A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3

?4又vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s，am??A?63.2m?s

?1?1?22?5.9 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm。求：

⑴t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； ⑵由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； ⑶在x?12cm处物体的总能量。

解：由题已知A?24?10?2m,T?4.0s，∴ 又，t?0时，x0??A , ??0?0 故振动方程为：x?24?10?2cos(0.5?t)m

⑴ 将t?0.5s代入得：x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

212mvm?3.16?10?2J 21?2 Ep?Ek?E?1.58?10J

212112当Ek?Ep时，有E?2Ep，即：kx??(kA)

222⑵ Fm?mam?0.63N，E?∴ x????2?T?0.5? rad?s-1

22A??m 220 ⑶ ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?

5.8 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示。如果t?0时质点的状态分别是：

⑴x0??A； ⑵ 过平衡位置向正向运动； ⑶过x?F??ma??m?2x??10?10?3?(?2)2?0.17??4.2?10?3N

方向指向坐标原点，即沿x轴负向。

⑵ 由题知，t?0时，?0?0；t?t时，x0??A2,且v?0,故?t??3 ∴ t?AA处向负向运动； ⑷过x??处向正向运动。 22??????32/?2s 3试求出相应的初位相，并写出振动方程。

6

⑶ 由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为：

E?1211?kA?m?2A2??10?10?3()2?(0.24)2?7.1?10?4J 2222解：由题5.11图(a)，∵t?0时，

x0?0 , v0?0 , ? ?0?3?2 , 又 A?10cm , T?2s

5.10 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm。用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开

1.0cm后，给予向上的初速度v0?5.0cm/s，求振动周期和振动表达式。

3解：由题知

k?m1g1.0?10?x??9.8?2?0.2N?m?1 14.9?10而t?0时，x20??1.0?10?m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正)

又

??k0.22?m?8?10?3?5 , 即T???1.26s A?x2?(v0)2?(1.0?10?2)2??(5.0?10?2? 5)20?2?10?2m

v?2tan?05.0?105?0??x?1.0?10?2?5?1 , 即?0? 0?4∴ x?2?10?2cos5(t?54?)m

5.11 题5.11图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程。

即：??2?T??rad?s?1，故 x1cos(?t?3a?0.2?)m

由题5.11图(b)∵t?0时，xA5?0?2,v0?0,??0?3

tA5?1?0时，x0?2,v0?0,??0?3 又????1?55513??2?，∴ ??6?

故x?0.1cos(55?b6?t?3)m 5.12 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子。现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是

盘子开始振动。

⑴ 此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? ⑵ 此时的振动振幅多大?

⑶ 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程。 解：⑴ 空盘的振动周期为2?Mk，落下重物后振动周期为2?M?mk，即增大。

⑵按⑶所设坐标原点及计时起点，t?0时，则x0??mgk。碰撞时，以

m,M为一系统动量守恒，即：m2gh?(m?M)v0

则有：vm2gh0?m?M，于是

7

vmgm2ghmg2kh2 A?x0?(0)2?()2??1??kk(m?M)k(m?M)g（3）tan?0??22A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2，∴ A2?0.1m ?0.01222设角AA1O为?，则：A?A1?A2?2A1A2cos? 2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2即：cos????0

2A1A22?0.173?0.1v02kh (第三象限)，所以振动方程为 ?x0?(M?m)g?k2kh?cos?t?arctan?

m?M(M?m)g??mg2khx?1?k(m?M)g5.13 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10?3kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量F?t?1.0?10?4kg?ms，取打击时刻

为计时起点(t?0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程。 解：由动量定理，有：F??t?mv?0

即???2，这说明，A1与A2间夹角为?2，即二振动的位相差为?2。 5.16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为：

F??t1.0?10?4-1??0.01 m?s∴ v? ?3m1.0?10按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，

??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方

程。

解：∵ ???x0?0 , v0?0.01m?s?1 ＞0，∴ ?0?3?/2

g9.8??3.13rad?s?1 l1.0v2v0.012?3.2?10?3m ∴ A?x0?(0)?0???3.13?3故其角振幅：??Al?3.2?10rad

3?3小球的振动方程为：??3.2?10cos(3.13t??)rad

2又??5.14 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动π/6的位相差为，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。

解：由题意可做出旋转矢量题5.14图。由图知

5?(??)??， ∴ A合?A1?A2?0.1m 66?5?0.4?sin?0.3sinAsin?1?A2sin?266?3 tan??1?A1cos?1?A2cos?20.4cos??0.3cos5?366∴ ???6

?其振动方程为：x?0.1cos(2t??6)m

(作图法略)

8

第6章 机械波

6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2

x0.2其中A，B，C为正值恒量。求：

⑴ 波的振幅、波速、频率、周期与波长；

⑵ 写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；

⑶ 任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差。

解：⑴ 已知平面简谐波的波动方程：y?Acos(Bt?Cx) (x?0) 将上式与波动方程的标准形式：y?Acos(2??t?2?x?)比较，可知：

波振幅为A，频率??B2?B2?，波长??C，波速u????C，

波动周期T?12???B。

⑵ 将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程：y?Acos(Bt?Cl)

⑶ 因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为：???2??(x2?x1) 将x2?x2?1?d，及??C代入上式，即得：???Cd。 6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中

x,y以米计，t以秒计。求：

⑴ 绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

⑵ 求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解：⑴ 将题给方程与标准式y?Acos(?t?2??x)相比，得：

振幅A?0.05m，圆频率??10?，波长??0.5m，

波速u??????2??2.5ms。 绳上各点的最大振速，最大加速度分别为：

vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1

⑵x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为：

u?2.5?0.08s 故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相，即：??9.2π。

设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则，

x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m

6.11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5 m/s，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题6.11图所示。 ⑴ 写出波动方程；⑵作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线。解： ⑴ 由题6.11(a)图知，A?0.1 m，且

t?0时，y3?0?0 , v0?0，∴?0?2， 又??u?5?2?2.5Hz，则??2???5? 取y?Acos[?(t?xx3?u)??0]，则波动方程为：y?0.1cos[5?(t?5)?2]m ⑵ t?0时的波形如题6.11(b)图

x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为：

y?0.1cos[5?t?5??0.55?3?2]?0.1cos(5?t??)m

如题6.11(c)图所示。

6.12 如题6.12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，周期T>0.5s,波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：

9

⑴ 波动方程；⑵P点的振动方程。 解：⑴ 由题6.12图可知，A?0.1m，??4m，又，

∴P点振动方程为yp?0.1cos(10?t?⑶ 由10?(t?4?) 3t?0时，y0?0,v0?0，

x?45)?|t?0???解得：x??1.67m 10333?， 2?x1u2??2 m?s-1，????0.5Hz，∴??2???? 而u??t0.5?4x?故波动方程为：y?0.1cos[?(t?)?]m

22∴?0?⑵ 将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为：

⑷ 根据⑵的结果可作出旋转矢量图如题6.13图(a)，

则由P点回到平衡位置应经历的位相角

????3??5?? 26??∴所属最短时间为：?t???5?/61?s 10?126.14 如题6.14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为

yP=A cos(?t??0)。

⑴ 分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；

⑵ 写出距P点距离为b的Q点的振动方程。

y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m

6.13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题6.13图所示，已知波速为10 m/s1，波长为2m，求： ⑴波动方程；

⑵ P点的振动方程及振动曲线； ⑶ P点的坐标；

⑷ P点回到平衡位置所需的最短时间。 解：由题6.13图可知A?0.1m，

解：⑴ 如题6.14图(a)，则波动方程为：y?Acos[?(t?如图(b)，则波动方程为：y?Acos[?(t?)??0]

⑵ 如题6.14图(a)，则Q点的振动方程为：AQ?Acos[?(t?)??0] 如题6.14图(b)，则Q点的振动方程为：AQ?Acos[?(t?)??0] 6.17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J/(m2·s)，频率为300 Hz，波速为300m/s，求波的平均能量密度和最大能量密度.

10

t?0时，y0?A?,v0?0，∴?0?，由题知??2m，u?10m?s-1，则23lx?)??0] uu10?5Hz，∴??2???10?

?2x?⑴ 波动方程为：y?0.1cos[10?(t?)?]m

103A?4?⑵ 由图知，t?0时，yP??,vP?0，∴?P? (P点的位相应落

23后于0点，故取负值)

??u?xububu

I10?3?6?10?5J?m?3, 解： ∵I?wu, ∴ w??18.0?u300?3?4 wmax?2w?1.2?10 J?m

6.18 如题6.18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距?4，S1较S2位相超前?2，求：

⑴ S1外侧各点的合振幅和强度；⑵ S2外侧各点的合振幅和强度

解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为：

界面处的位相为：?2?3????????? ?422?????2?2????2，∴ A?A?A?0,I?A?0 r?(r?)??1111????4?3?5??????，?42因只考虑2?以内的位相角，∴反射波在O点的位相为??2，故反射波的

x?波动方程为：y反?Acos[2??(t?)?]

u2x?x?y?Acos[2??(t?)?]?Acos[2??(t?)?]u2u2此时驻波方程为：

2??x? ?2Acoscos(2??t?)u22??x2???x?(2k?1) 故波节位置为：u?2若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为?故 x?(2k?1)?4（2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差：

(k?0,?1,?2,…)

????2?2??(r2??4?r2)?0，∴ A?A1?A1?2A1,I?A2?4A 21根据题意，k只能取0,1，即x?13?,? 446.20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题6.20图所示。已知振幅为A，频率为?,波速为u。 ⑴ 若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；

⑵ 若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置。

解： ⑴ ∵t?0时，y0?0,v0?0， ∴?0??6.23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为

y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)。

⑴ 试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； ⑵ 波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解：⑴ 它们的合成波为：

y?0.06cos(?x?4?t)?0.06cos(?x?4?t)?0.12cos?xcos4?t

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动。 令?x?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；

?2，故波动方程为：y?Acos[2??(t?)?xu?2]m

1，k?0,?1,?2,…，此即波节的位置。

22⑵波腹处振幅最大，即为0.12m；x?1.2 m处的振幅由下式决定，即：

令?x?(2k?1),则x?(2k?1)?⑵ 入射波传到反射面时的振动位相为(即将x?32?3??代入)????，4?42A驻?0.12cos(??1.2)?0.097m

11

再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在

第7章 气体动理论基础 P218

7.20 设有N个粒子的系统，其速率分布如题7.20图所示。求 ⑴ 分布函数f(?)的表达式； ⑵ a与?0之间的关系； ⑶ 速度在1.5?0到2.0?0之间的粒子数。 ⑷ 粒子的平均速率。 (5) 0.5?0到?0区间内粒子平均速率。 解：⑴从图上可得分布函数表达式： Nf(?) 332av0N?0a?21?0a?21a?017a?0 ???d??d??(?)?N10.5?0N?0N1?0.5?0?0N13?024?0N12427a?07????06N9

?Nf(?)?a?/?0??Nf(?)?a?Nf(?)?0?(0????0)(?0???2?0)， (??2?0)7.21 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于?p-?p/100与?p+?p/100之间的分子数占总分子数的百分比。 解：令u?a ? O dN42?u?，则麦克斯韦速率分布函数可表示为：?uedu

N?P?2?a?/N?0(0????0)?f(?)??a/N(?0???2?0)

?0(??2?0)?积为N. 由归一化条件：⑶ 可通过面积计算

?0 2?0

因为u=1,?u=0.02 由

题7.20图

?N42?u2?N4?ue?u，得 ??1?e?1?0.02?1.66% NN??⑵ f(?)满足归一化条件，但这里纵坐标是N f(?)而不是f(?),故曲线下的总面

7.22 容器中储有氧气，其压强为P=0.1MPa(即1atm)温度为27℃求： ⑴ 单位体积中的分子数n；⑵ 氧分子的质量m；⑶ 气体密度ρ；⑷ 分子间的平均距离e；(5) 平均速率?；(6)方根速率?2；(7)分子的平均动能?。 解：⑴ 由气体状态方程p?nkT得：

??00Na??0d??N?2?0?0ad??N，可得a?2N 3?0?N?a?(2?0?1.5?0)??1N 32?0⑷N个粒子平均速率：

??? ??01?f(?)d??N?0?Nf(?)d????0a?20?0d????0a?d?

1123211(a?0?a?0)??0N329p0.1?1.013?10524-3

n???2.45?10m?23kT1.38?10?300M0.032⑵ 氧分子的质量：m?mol??5.32?1026 Kg 23N06.02?10M⑶ 由气体状态方程pV?RT，得：

MmolMmolp0.032?0.1?1.013?105????0.13kg?m?3

RT8.31?300(5) 0.5?0到?0区间内粒子数：N1?0.5?0到?0区间内粒子平均速率：

13N(a?0.5a)(?0?0.5?0)?a?0? 284⑷ 分子间的平均距离可近似计算

e?13n?132.45?1024?7.42?10?9 m

????00.5?0?dNN1?N?0?dNN?0??f(?)d? ??0.5?0.5?00N1NN1(5) 平均速率：??1.60RT8.31?300?1.60?446.58m?s?1 Mmol0.03212

RT2?482.87m?s?1 (6) 方均根速率：??1.73Mmol55?23?20(7) 氧分子的平均动能：??kT??1.38?10?300?1.04?10J

227.23 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多

少?

解：理想气体分子的能量：E??1.33×10-4Pa,平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径为10-10m)? 解：⑴ 碰撞频率公式z?2?d2n?

iRT 2p2?d2?p对于理想气体有p?nkT，即：n?，所以有：z?

kTkTRT8.31?273而??1.60?1.60?455.43 m?s-1

Mmol28氮气在标准状态下的平均碰撞频率

3平动动能 t=3 Et??8.31?300?3739.5J

22转动动能 r=2 Er??8.31?300?2493J

25内能 i=5 Ei??8.31?300?6232.5J

27.24 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求⑴氧气和氢气分子数密度之比；⑵氧分子和氢分子的平均速率之比。 解：⑴ 因为p?nkT，则：nOnH?1

⑵ 由平均速率公式??1.60z?2??10?20?455.43?1.013?105?5.44?108s-1

01.38?10?273⑵气压下降后的平均碰撞频率

2??10?20?455.43?1.33?10?4z??0.714 s-1

?231.38?10?2737.27 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间⑴气体分子方均根速率之比；⑵ 分子平均自由程之比。 解：⑴ 由气体状态方程：

RT?MmolH1，得：O?? Mmol?HMmolO47-25 一真空管的真空度约为1.38×10-3 Pa(即1.0×10-5 mmHg)，试 求在27℃

时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)。

解：由气体状态方程p?nkT得：

p1p2? 及 p2V2?p3V3 T1T2p11 ?p22p1.38?10?3n???3.33?1017m-3 23kT1.38?10?3001由平均自由程公式??得： 22?dn1???7.5 m ?20172??9?10?3.33?107.26 ⑴ 求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；⑵ 若温度不变，气压降到

13

RTT?2初方均根速率公式??1.73，得：?1?T2Mmol?2末p⑵ 对于理想气体，p?nkT，即 n?

kT2所以有：??

kT2?d2p，即：

?初T1p2??1 ?末p1T2

第8章 热力学基础

8.11 .如题8.11图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统做功126 J。

⑴ 若沿adb时，系统做功42 J，问有多少热量传入系统? ⑵ 若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，

外界对系统做功为84 J，试问系统是吸热还是p b c 放热?热量传递是多少? 解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差：Q??E?A

d a ?E?Q?A?350?126?224J

O 题8.11图 V abd过程，系统作功A?42J

8.13 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mmol，比热容比为γ的理想气体，整个容器以速度?运动，若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)。 解：整个气体有序运动的能量为增加，温度变化。

1m?2，转变为气体分子无序运动使得内能2?E?m1111CV?T?m?2，?T?Mmol?2?Mmol?2(??1) M22CV2R8.14 0.01m3氮气在温度为300K时，由0.1MPa压缩到10MPa。试分别求氮气经等温及绝热压缩后的⑴ 体积；⑵ 温度；⑶ 各过程对外所做的功。 解：⑴ 等温压缩过程中，T=300K，且p1V1?p2V2，解得：

Q??E?A?224?42?266J 系统吸收热量

ba过程，外界对系统作功A??84J

Q??E?A??224?84??308J 系统放热

8.12 1mol单原子理想气体从300K加热到350K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外做了多少功? ⑴ 容积保持不变； ⑵ 压力保持不变。 解：⑴ 等体过程对外作功A?0

V2?p1V11??0.01?1?10?3m3 , p210V2p?p1Vln1?0.1?106?0.01?ln0.01??4.67?103J V1p257R，?? 25A?vRTln⑵ 绝热压缩：CV?iR(T2?T1)∴ ， 2 ?32?8.31?(350?300)?623.25JQ??E?A??E??CV(T2?T1)??⑵ 等压过程，吸热：

由绝热方程 p1V1??p2V2?，得：

?pVp1?11111/?V2?()?()V1?()4?0.01?1.93?10?3m3

p2p210??1??1由绝热方程 T1??p1，得 ?T2??p21Q??CP(T2?T1)??i?25R(T2?T1)??8.31?(350?300)?1038.75J 22内能增加：?E??CV(T2?T1)?32?8.31?(350?300)?623.25J 对外作功：A?Q??E?1038.75?623.5?415.5J

14

??1T1?p2T2???1?3001.4?(10)0.4p1??T2?579K

由热力学第一定律Q??E?A及Q?0得：A??MCV(T2?T1)， Mmolab过程气体对外作功：A??2V0v0pdV??2V0V0RT0RTdV?0 2V02又pV?MRT，所以 Mmol8.17 某理想气体的过程方程为Vp1/2=a，a为常数，气体从V1膨胀到V2。求其所做的功。 解：气体做功：A?p1V151.013?105?0.015A??R(T2?T1)????(579?300) RT123002 ??2.35?10J8.15 理想气体由初状态(P1，V2)经绝热膨胀至末状态(P2，V2)。试证过程中气体所做的功为：w?3?V2V1pdV??V2V1a2a2V2121dV?(?)|?a(?) V12VVV1V2

8.18 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题8.18图所示。试证其循环效率为：?＝??1??解：等体过程：

P1V1?P2V2γ?1式中γ为气体的比热容比。

V1V2?1

p1p2?1p p1 绝热 p2 O V2

题图8.18

V1 V ?证明： 由绝热方程pV??p1V1??p2V2??C得p?p1V1V2V21 V?Q1??vCV(T2?T1)?0，吸热，

??CV(∴ Q1?Q1p1V2p2V1?) RRA??pdV??V1V1故，

dVC11Cr??(??1???1)V??1V2V1?pV1p1V1?p2V21p2V2 ??(??1?1??)???1V2V11??1?

??0 绝热过程：Q3??vCp(T2?T1)?0，放热 等压压缩过程：Q2b a V V0 2V0

题8.16图

8.16 1 mol的理想气体的T-V图如题8.16图所示，T ab为直线，延长线通过原点O。求ab过程气体T对外做的功。

解：设T?kV，由图可求得直线的斜率k为：

???vCP(T2?T1)?CP(∴ Q2?Q2p2V1p2V2?)，则， RRTTk?0，得过程方程T?0V

2V02V0O 循环效率为：??1?Cp(p2V1?p2V2)Q2(?/??1) ?1??1??12Q1CV(pV(p1/p2?1)12?p2V2)RTRT0RT由状态方程pV?vRT得：p?=V=0

VV2V02V08.19 一卡诺热机在1000K和300K的两热源之间工作，试计算

⑴ 热机效率；⑵ 若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少?⑶ 若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少?

15

T2300?1??70% T11000⑵ 低温热源T2?300K不变时，即??1?300T1??80%， 解得：T1??1500K，则： ?T1?T1??T1?1500?1000?500K

解：⑴ 卡诺热机效率 ??1?即高温热源温度提高500K。

⑶ 高温热源T1?1000K不变时，即??1?T2?1000?80% 解得：T2??200K，则：?T2?T2??T2?200?300?-100K

即低温热源温度降低100K。

8.20 如题8.20图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中AB和CD是等压过程，BC和DA为绝热过程，p A B 已知B点和C点的温度分别为T2和T3。求此循环效率。这是卡诺循环吗? 解：⑴热机效率??1?Q2Q1

D O 题图8.20

C V ??1??1??1??BC绝热过程，其过程方程为：pBTB?pCTC

又pA?pB ，pC?pD，所以得：

TTDT? ∴ ??1?3 TCTBT2⑵ 不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间。

8.21 ⑴ 用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?

⑵ 一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于做功就愈有利。当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：⑴卡诺循环的致冷机e?Q2T2 ?A静T1?T2AB等压过程

吸热，即有： Q1???CP(T2?T1)?0，

7℃→27℃时，需作功：A1?T1?T2300?280Q2??1000?71.4J T2280T1?T2300?100Q2??1000?2000J T2100Q1?Q1??MCP(TB?TA) Mmol?173℃→27℃时，需作功：A2???vCP(T2?T1)?0，放热，即有： CD等压过程Q2?? Q2??Q2MCP(TC?TD) Mmol⑵从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的。

∴

Q2TC?TDTC(1?TD/TC)?? Q1TB?TATB(1?TA/TB)?1????1??AD绝热过程，其过程方程为：p?ATA?pDTD

16

第9章 静电场

9.7 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9 C/m的正电荷。试求：⑴ 在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；⑵ 在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强。 解：⑴ 如题9.7图所示，在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为：dEP?dE??Rd?，方向沿半径向外，

4π?0R21?dx 24π?0(a?x)?l2dxEP??dEP?4π?0??l2(a?x)2?11[?]4π?0a?l2a?l2

?l ?π?0(4a2?l2)?9?1用l?15cm，??5.0?10C?m, a?12.5cm代入得：

EP?6.74?102N?C?1 方向水平向右

1?dx⑵ 同理，dEQ? 方向如题9.7图所示

4π?0x2?d22?由于对称性?dEQx?0，即EQ只有y分量，

l ?∵ dEQy?sin?d?

4π?0R?? dEy?dEcos?(??)?co?sd?

4π?0R???积分得：Ex?? sin?d??04π?0R2π?0R??? Ey??cos?d??0

04π?0R?∴ E?Ex?，方向沿x轴正向。

2π?0R则：dEx?dEsin??9.9 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q。⑴求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；⑵证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E。

解：如9.9图示，正方形一条边上电荷

大q4在P点产生物强EP方向如图，小为：

1?dx?4π?0x2?d22d2x?d222

EP???cos?1?cos?2?4π?0r?l422

EQy??dEQyld??24π?2?l2l?2dx?l? 3222(x2?d2)2π?0d2l?4d22∵cos?1?∴ EP?l2r?l222 ，cos?2??cos?1

?9?1以??5.0?10C?cm,l?15cm,d2?5cm代入得：

?22l22EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向

9.8 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强。 解：如9.8图在圆上取dl?Rd?

4π?0r?l4r?l2

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为：

EP在垂直于平面上的分量E??EPcos?

?lr∴ E?? 2222224π?0r?l4r?l2r?l4由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为：

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EPO?4?E??∵ ??4?lr4π?0(r?l4)r?l2qr2222 ∴ E??q ∴ EP? , 方向沿OP

22224l4π?0(r?l4)r?l29.10 ⑴ 点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿

过立方体的一个面的电通量；⑵ 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少? 解： ⑴ 立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电

4π33r外?r内4?1 3?4.10?10 沿半径向外. N?C24π?0r??9.12 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求：⑴r＜R1；⑵ R1＜r＜R2；⑶ r＞R2处各点的场强。

解：取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl，则：E?dS?E2πrl

Sq通量相等，由高斯定理?E?dS?q?0得：各面电通量?e?。

s6?0⑵ 电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的

q立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e?

6?0q对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?，

24?0如果它包含q所在顶点则?e?0。

9.11 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C/m3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强。 解：高斯定理E?dS?s?5⑴ r?R1时，

?q?0，由高斯定理?s????q得：E?0； E?dS??0s?????q⑵ R1?r?R2时，?q?l?，由高斯定理?E?dS?得：

?0E?? 沿径向向外；

2π?0r???q，由高斯定理q?0E??s?dS??0得：E?0

9.13 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，

⑶ r?R2时，

试求空间各处场强。

解：如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2，

???r?5cm时，?q?0,E?0

4πr?8cm时，?q?p(r?r303???q,E4πr3内2??q

?0)

4π32r?r内4?13?3.48?10N?C∴ E?， 方向沿半径向外。

4π?0r24π33r?12cm时,?q?? ）(r外?r内3????1?两面间， E?(?1??2)n

2?0?1??1面外，E??(?1??2)n

2?0?1???2面外，E? (?1??2)n， n：垂直于两平面由?1面指为?2面。

2?09.14 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题9.14图所示。试求：两球心O与O?点的场强，并

证明小球空腔内的电场是均匀的。

解：将此带电体看作带正电?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见题

18

9.14图(a)。

?⑴ ??球在O点产生电场E10?0，

的距离变为r2=25cm，需作多少功? 解： A?43?πr3??? 球在O点产生电场E20?OO'

4π?0d3?r3?∴ O点电场E0?OO'； 33?0d43??d3?⑵ ??在O?产生电场E10??OO'

4π?0d3???球在O?产生电场E20??0

??∴ O? 点电场 E0??OO'

3?0?r2r1F?dr??r2r2q1q2drq1q211?6???6.55?10J(?) 24π?0r4π?0r1r2外力需作的功A???A??6.55?10?6 J

9.17 如题9.17图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，

AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，

求移动过程中电场力作的功。 解：UO?qq1(?)?0 4π?0RRUC?qoq1qqq ∴ A?q0(UO?UC)? (?)??4π?03RR6π?0R6π?0R

题9.14图(a) 题9.14图(b)

??⑶ 设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)，

?????r??r则：EPO?，EPO???,

3?03?0?????????d∴ EP?EPO?EPO?? (r?r?)?OO'?3?03?03?0∴腔内场强是均匀的。

9.15 一电偶极子由q=1.0×10-6C

9.18 如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导

线的长度和半圆环的半径都等于R。试求环中心O点处的场强和电势。

解：⑴ 取dl=Rdθ,则dq=λRdθ在O点产生?dE如图，由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，由于对称性， O点场强沿y轴负方向。

E??dEy??2??Rd???????? cos??sin(?)?sin????4π?R24π?0R?22?2π?0R02?⑵ 令U??0，AB电荷在O点产生电势为：

2R?dx?dx?U1?????ln2；

B4π?xR4π?x4π?000?πR??同理CD产生的：U2? ln2；半圆环产生的：U3??4π?04π?0R4?0??∴ UO?U1?U2?U3? ln2?2π?04?0A的两个异号点电荷组成，两电荷距离

d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105 N/C的外电场中，求外电场作用于电偶

极子上的最大力矩。 解：∵ 电偶极子p在外场E中受力矩：M?p?E

∴ Mmax?pE?qlE?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m 9.16 两点电荷q1=1.5×10-8C，q2=3.0×10-8C，相距r1=42cm，要把它们之间

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?????9.19 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104 m/s的匀速率作圆周运动。

求带电直线上的线电荷密度。(电子质量m0=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C) 解：设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强：E?解：如题9.22图示，令A板左侧面电荷面密度为σ1，右侧面电荷面密度为?2 ⑴ ∵ UAC?UAB，即：EACdAC?EABdAB ∴

?

2π?0re?v2e?电子受力大小：Fe?eE?，∴ ?m

2π?0r2π?0rr2π?0mv2?12.5?10?13C?m?1 解得：??e9.20 空气可以承受的场强的最大值为E=30 kV/cm，超过这个数值时空气要发生火花放电。今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压。

解： 平行板电容器内部近似为均匀电场：U?Ed?1.5?10V

9.21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说，⑴相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；⑵相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证：如题9.21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，?2，?3，?4 ⑴ 则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱

4q2qq?1EACdAB?2?A，?1?A 又?1+?2?A，解得：???2，

3S3SS?2EABdAC2qA??2?10?7C，qB???2S??1?10?7C 3∴ qC???1S???1dAC?2.3?103V ?09.23 两个半径分别为R1和R2(R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带

⑵ UA?EACdAC?电+q，试计算：⑴ 外球壳上的电荷分布及电势大小；⑵ 先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*⑶ 再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量。

解： ⑴ 内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势

??面为高斯面时，有：?E?dS?(?2??3)?S?0

s∴

?2??3?0 ，说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

⑵ 在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产

?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0又∵ ?2??3?0， ∴ ?1??4

生的场强叠加而成的，即：

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同。 9.22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0 mm。B，C都接地，如题9.22图所示。如果使A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?

20

qdrq ?R2R24π?r24π?R00⑵ 外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q。

qq所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：U???0

4π?0R24π?0R2⑶ 设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

Rq'q'?q?q'UA????0，解得：q??1q

4π?0R14π?0R24π?0R2R2q'q'?q?q'?R1?R2?q???外球壳上电势：UB? 24π?0R24π?0R24π?0R24π?0R2U??????E?dr??9.24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d?3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如题9.24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势UO?0

q'q由电势叠加原理有：UO???0

4π?0R4π?03R解得：q???q3

9.25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0。试求：

⑴ 用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；⑵ 小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力。

⑵ 介质外(r?R2)电势：U???r??E外?dr? 介质内(R1?r?R2)电势：

Q4π?0r

U??E内?dr??E外?drrr??11QQ1?r?1

?(?)??(?)4π?0?rrR24π?0R24π?0?rrR2qR2?⑶ 金属球的电势：

q解：由题意知：F0?

4π?0r2⑴ 小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电：q??q2, 小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电：q???3q4

q'q\3q283∴ 此时小球1与小球2间相互作用力：F1???F0

4π?0r24π?0r282q⑵ 小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为。

322qq4∴ 小球1、2间的作用力F2?33?F0

4π?0r299.26 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q。试求：

⑴电介质内、外的场强；⑵电介质层内、外的电势；⑶金属球的电势。

2U??E内?dr??E外?drR1 ??R2R?QdrQdrQ1?r?1 ???(?)22R24π?0?rr4π?0r4π?0?rR1R2R29.27 如题9.27图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为

?r的电介质。试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值。

解：如题9.27图所示，充满电介质部分场强

??为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度

分别为?2与?1

??由?D?dS??q0得：D1??1，D2??2 而D1??0E1,D2??0?rE2，E1?E2?U??E?，∴ 2?0r2??r d?1?0E19.28 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且l>>

??解：⑴ 由有介质时的高斯定理?D?dS??q得：

S???Qr?Qr介质内(R1?r?R2)场强：D?; ,E内?334πr4π?0?rr??Qr?Qr介质外(r?R2)场强：D? ,E外?334πr4π?0rR2-R1，两柱面之间充有介电常数?的均匀电介质。当两圆

柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：

⑴在半径r处(R1＜r＜R2)，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳

中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量； ⑵电介质中的总电场能量；⑶圆柱形电容器的电容。

(S)??解：取半径为r的同轴圆柱面(S)，则：?D?dS?2πrlD

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当(R1?r?R2)时，

?q?Q，∴ D?Q 2πrlD2Q2?222 ⑴ 电场能量密度 w?2?8π?rlQ2Q2dr2πrdrl?薄壳中dW?wd??

8π2?r2l24π?rl2R2QdrRQ2⑵ 电介质中总电场能量：W??dW???ln2

VR14π?rl4π?lR1Q2Q22π?l⑶ 电容：由W?得：C? ?2C2Wln(R2/R1)

9.29 如题9.29图所示，C1=0.25?F，C2=0.15?F，C3=0.20?F。C1上电压为50V。求：UAB。

解： 电容C1上电量：Q1?C1U1， 电容C2与C3并联C23?C2?C3， 其上电荷Q23?Q1，∴ U2?9.31 半径为R1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2=4.0cm和R3=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10-8C时，求： ⑴ 整个电场储存的能量；

⑵ 如果将导体壳接地，计算储存的能量； ⑶ 此电容器的电容值。

解：如图，内球带电Q，外球壳内表面带电-Q，外表面带电Q，

⑴ r?R1和R2?r?R3时，E?0；

??R1?r?R2时，E1????QrQr ；r?R3时，E2?4π?0r34π?0r3∴ 在R1?r?R2区域内：

W1??R2R12R2Qdr1Q2Q2112?0()4πrdr???(?)

R18π?r224π?0r28π?R200R11QQ2122在r?R3区域：W2?? ?0()4πrdr?2R328π?0R34π?0r?Q23C1U125?50?? C23C233525)?86 V 35Q2111∴ 总能量 W?W1?W2?(??)?1.82?10?4J

8π?0R1R2R3??Qr⑵ 导体壳接地时，只有R1?r?R2时E?,W2?0 34π?0rQ211∴ W?W1?(?)?1.01?10?4 J

8π?0R1R22W11⑶ 电容器电容 C?2?4π?0/(?)?4.49?10?12F

QR1R2 UAB?U1?U2?50(1?9.30 C1和C2两电容器分别标明“200pF、500V”和“300pF、900V”，把它们

串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000V的电压，是否会击穿? 解：⑴ C1与C2串联后电容：C??⑵ 串联后电压比：

C1C2200?300??120pF

C1?C2200?300U1C23??，而U1?U2?1000 U2C12∴ U1?600V,U2?400V

即电容C1电压超过耐压值会击穿，然后C2也击穿。

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