中国海洋大学 线性代数 期末考试试卷(带答案哦~)

中国海洋大学 2010-2011学年 第2学期 期末考试试卷

学院《线性代数》课程试题(A卷) 共 4 页 第 1 页

考试说明：本课程为闭卷考试 满分为：100 分。 题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分

符号说明：r ( A) 表示矩阵 A 的秩， A 表示矩阵 A 的伴随矩阵， I 表示单位矩阵， AT 表示矩阵 A 的转置矩阵， M ij 是 A 中元素 aij 的余子式。 一. 填空(18 分)1. 已知 4 阶行列式的第一行元素依次为 1,2,2, 第四行元素的余子式依次为： -1, 8, ,-6,10,则 k __________. k 2. 设 A 为 3 阶方阵， A 2

1 1 ,则 ( 2 A) ( 2 A) ___________. 2 1

3. 若 n 阶方阵 A 满足 A 3 A 2 I O ,则 ( A 4 I )

__________.

1 0 1 0 2 1 0 2 4. 设 A 则齐次线性方程组 A x 0 的解集合中线性无关的 , 0 3 1 1 0 2 4 4 解向量个数最多为_______个.2 5. 从 R 的基 1 , 2 到基 1 , 2 的过渡矩阵为________. 1 2 1 1

1

1

2

0

若向量 在基 1 , 2 下的坐标为

1 ,则 在基 1 , 2 下的坐标为________. 1

6. 设 A 为 3 阶方阵，已知 A 9 且 A 有 2 重特征值 3,则 A 的另一个特征值为 _____, I 2 A ________.

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中国海洋大学 2010-2011学年 第2学期 期末考试试卷

数学科学 学院《线性代数》课程试题(A 卷) 座号

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1 1 (C ) 1 0 2 2

1 1 (D) 1 0 2

授课教师 授课教师

座号

6. 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 4 x2 3x3 4 x1 x2 2 x1 x3 8 x2 x3 的秩为(

)

(A) 0

(B) 1

(C ) 2

(D) 3

- - - ------ - - - - -装 ----- - - - - - -订 ----- - - - - - -线 ----- - - - - - - ----- 装 - 订 - 线 ---------------------------装----装----------------------订----订----------------------线----线---------------------------

三. 计算(22 分)1.(6 分) 计算行列式 D n 1 ,其中

姓名

an Dn 1 a n 1 1

(a 1) n 1

( a n) n 1

(a 1) n 1 (a n) n 1

姓名

0 1 0 1 1 2.(8 分) 已知矩阵 X 满足 AX B X ,其中 A 1 1 1 , B 2 0 ,求 1 0 1 5 3

学号

X.3.(8 分)求向量组 1 (1,0,1,0) , 2 (2,1, 3,7) , 3 (4,1, 1,7) ,T T T

学号

4 (3,1,0,3) T , 5 (4,1,3, 1) T 的秩及其一个极大线性无关组，并用它们表示其余向量。

四. 证明 (18 分)1.(8 分)若 A 为一个 n 阶方阵，且 4 A 4 A 3I O ,2

优选专业年级 XXX 优选专业年级 XXX XXXX XXXX

证明： (1) A 的特征值只能为

1 3 或 ; 2 2

(2) r (2 A 3I ) r (2 A I ) n .

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中国海洋大学2010-2011学年 第2学期 期末答案

2．（10分）设 1, 2, , p是齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系，向量 满足

A 0，证明：向量组 , 1 , 2 , , p 线性无关。

五．（12分）设A 0

1

求：（1） ,a；

（2）Ax b的一般解.

六．(12分)已知三元实二次型

1 a

10 ,b 1 ，已知线性方程组Ax b有无穷多个解

1 1

1

f(x1,x2,x3) (1 a)x1 (1 a)x2 2x3 2(1 a)x1x2 xTAx的规范型为f(z1,z2,z3) z1 z2，

求：（1）a的值；

（2）利用正交变换法，将二次型f(x1,x2,x3)化为标准型，并写出相应的正交矩

阵。

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2

2

222

一. 填空题： (18 分) 1. 3; 2.

27 ; 4

3.

3 1 0 1 ( A I ) ; 4. 3; 5. 1 1 , 1 ; 6

6. 1, 25 二. 选择题(18 分) 1. B 2. D 3.B 三.(22 分) 1. (6 分)换行

4. D

5. C 6. D

1 Dn 1 ( 1)n ( n 1) 2

1 a 1 (a 1)n

1 a n

a an

( a n) n

(范德蒙行列式)

( 1)n

n ( n 1) 2

0 j i n

(a i (a j ))

k!k 1

2.(8 分) ( A I ) X B 初等变换法解矩阵方程

1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 ( A I , B) 1 0 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 2 5 3 0 1 2 4 2 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 3 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 2 0 0 0 3 3 3 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

3 1 所以 X 2 0 1 1

4 1 2 1 0 1 ( 3. 8 分) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ( 1 3 1 0 7 7 1 0 0 0 1 0 0 0 4 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 4 8 2 4 3 0 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 0

4 4 3 4 1 2 1 1 1 1 1 0 1 0 3 0 5 5 3 1 0 7 3 1 7 3 1 3 2 4 0 2 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0

4 3 4 1 1 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0

所以，向量组的秩为 3; 1 , 2 , 4 为其一个极大线性无关组； 3 2 1 2 ,

5 2 2 4四. (18 分) 1. (3 分)(1)设 是 A 的一个特征值，则 4 4 3 是方阵 4 A 4 A 3I 的一2 2

个特征值

4 A2 4 A 3I O 4 A2 4 A 3I 的特征值只有 0 4 2 4 3 0

1 3 或 2 22

(5 分) (2) 4 A 4 A 3I O

(2 A 3I )(2 A I ) O

2 A I 的每一列均是齐次线性方程组 (2 A 3I ) x 0 的解因此 r (2 A I ) n r (2 A 3I ) 即 r (2 A 3I ) r (2 A I ) n 另一方面，因为

r (2 A 3I ) r (2 A I ) r (2 A 3I ) r ( I 2 A) r ((2 A 3I ) ( I 2 A)) r (4I ) n所以结论可证。 2.(10 分)若有 k 0 k1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k p ( p ) 0 则 (k 0 k1 k p ) k1 1 k p p 0 (1) 若 k 0 k1 k p 0 ,则 可由 1 , 2 , , p 线性表出。

1 , 2 , , p 是齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系 A 0 与已知矛盾从而只能 k 0 k1 k p 0 , (2) 代入(1

)式有 k1 1 k p p 0

1 , 2 , , p 线性无关 k1 k 2 k p 0 ,代入(2)式得 k 0 0从而结论可证。 五. (12 分) Ax b 有无穷多个解

r ( A) r ( A, b) 3

r ( A) 3 A 0即0

1

1

1 0 0 1 1

解得 1 或 1

1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 时， ( A, b) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 a 0 0 0 0 方程组无解，与已知矛盾。

1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1时， ( A, b) 0 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 2 1 1 1 1 0 2 0 1 a 0 0 0 2 a 因为方程组有无穷多个解，所以 2 a 0 即 a 2 综上， 1 , a 2 1 1 1 0 1 3 1 2 2 (2) ( A, b) 0 2 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 1 取自由变量 x 3

3 2 0 1 令 x3 0 得 Ax b 一个特解 2 0 1 令 x3 1 得 Ax 0 一个基础解系 1 0 1 3 1 21 所以， Ax b 的一般解为： 0 k 1 2 k 0 ,其中 k 为任意常数。 0 1 六. (12 分) 规范型为 f ( z1 , y 2 , y 3 ) y1 y 2 ,2 2

0 是二次型对应的矩阵的一个特征值 特征值之积为二次型对应方阵的行列式1 a 1 a 0 A 1 a 1 a 0 0 0 0 2

a 0

1由 I A 1

1

0 0 0

10

0

2

解得 1 2 (2 重根) 2 0 (单根)

1 1 0 1 1 0 1 I A 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 得 ( 1 I A) x 0 的一个基础解系为： 11 1 , 12 0 0 1 1 0 1 对 11 , 12 用施密特正交化得： 11 1 , 12 0 2 1 0 1 1 0 1 1 0 2 I A 1 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 得 ( 2 I A) x 0 的一个基础解系为： 21

1 1 0

单位化得： 21

1 1 1 2 0 0 0 1 2 2 ,令 x Qy 得标准型 f ( y1 , y 2 , y3 ) 2 y1 2 y 2 0 1 2 1 2

12 取正交矩阵 Q 12 0

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