第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学高年级(B)试题与解析

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛小学高年级(B)试题与解析

第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛笔试试题B（小学高年级组）

--By 肖瑶如意

一、

1. 算式填空题（每小题10分，共80分） 4651112÷( ) 的值为（） 75121555

【解析】

4651112÷( ) 75121555

466012 756955

812 1555

8836 165165

52 165

这题我没考虑有没有简便算法，有那时间，直接做也做出来了

2. 设a△b和a▽b分别表示取a和b两个数的最小值和最大值，如，3△4=3,3▽4=4.那么对于不同的数x，5▽（4▽（x△4））的取值共有（1）个。

【解析】

4▽（x△4）这一步，不管x取值如何，结果都是4,5▽4=5，取值只有1个

或者分情况讨论：

①x≤4

X△4=x

4▽x=4

5▽4=5

②x＞4

X△4=4

4▽4=4

5▽4=5

所以取值只有1个

3. 里山镇到省城的高速路全长189千米，途径县城，里山镇到县城54千米。早上8:30，一辆客车从里山镇开往县城，9:15到达，停留15分钟后开往省城，11:00到达。另有一辆客车于同天早上8:50从省城径直开往里山镇，每小时行驶60千米。那么两车相遇的时间为（10:08）

【解析】

为叙述方便，称里山镇开出的客车为甲，省城开出的客车为乙

甲到达县城前,平均时速为54÷45/60=72千米

甲离开县城后,平均时速为(189-54)÷1.5=90千米/小时

乙,从8:50到9:30,共行了60×40/60=40千米

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甲,从8:30到9:30,共行了54千米

9:30,甲乙还相距189-40-54=95千米

相遇还需95÷(90+60)=19/30小时=38分钟

9:30+0:38=10:08

4. 有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1:1.如果将方木加

工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的

圆柱体体积和长方体的体积的比值为（π/8）

【解析】

高相同,体积比为1:1,则底面积比为1:1

设方木底面边长为a,加工成的圆柱底面半径为m

圆木底面半径为b,加工成的长方体的底面边长为n

a²=πb²,(a/b)²=π

m²=a²/4

n²=2b²

所求比值为m²:n²=(a/b)²÷8=π/8

5. 用[x]表示不超过x的最大整数,记{x}=x-[x],则算式

{2012 12012 22012 32012 2012 { { ... { 5555

的值为（）

【解析】

前两项,分别为3/5和4/5

从第三项开始,5项一周期,分别为0/5,1/5,2/5,3/5,4/5

2012+2012=4024

(4024-2014)÷5=402（一共402个周期）

原式=(3+4)/5+(1+2+3+4)/5×402=805.4

6. 某个水池存有其容量的十八分之一的水。两条注水管同时向水池注水，当水池的水量达

到九分之二时，第一条注水管开始单独向水池注水，用时81分钟，所注入的水量等于

第二条注水管已注入水池内的水量。然后第二条注水管单独向水池注水49分钟，此时，两条注水管注入水池的总水量相同。之后，两条注水管都继续向水池注水。那么两条注水管还需要一起注水（）分钟，方能将水池注满。

【解析】

为叙述方便,称第一条为甲,第二条为乙

49:81=(7×7):(9×9)

甲乙工效比为7:9(甲:乙=49*乙:81*甲 甲:乙=7:9)

第一次共同注水时间为(7×81+9×49)÷(7+9)=63分钟

第一共同注水量为2/9-1/18=1/6

剩余注水量为1-1/18-1/6×2=11/18

还需11/18÷1/6×63=231分钟

7. 有16位选手参加象棋晋级赛，每两人都只赛一盘。每盘胜者积1分，败者积0分。如

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果和棋，每人各积0.5分。比赛全部结束后，积分不少于10分者晋级。那么本次比赛后最多有（）位选手晋级。

【解析】

一共16×15÷2=120场比赛

不论胜负,每场比赛总分增加1分,总分一共120分

最理想的结果是120÷10=12人晋级

即有12人，每人10分；其余4人，每人0分；

但这种情况不可能出现的（哪怕排名最后的两人，互相之间的比赛，也会有人得分） 那么就考虑11人的情况

前11名称为“高手”，余下5人，称为“鱼腩”

高手之间的比赛，全平，每人得0.5×10=5分

高手对鱼腩的比赛，高手全胜，每个高手再得5分

这样，每个高手得分5+5=10分，正好全部晋级

综上，最多有11人晋级

PS:中国奥数群的上海-闲人老师提供思路

8. 平面内有5个点，其中任意3个点均不在同一条直线上，以这些点为端点连接线段，则

除这5个点外，这些线段至少还有（1）个交点。

【解析】

如图,至少1个

二、 解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．能否用540个右图所示的1×2的小长方形拼成一个6×180的大长方形，使得6×180的长方形的每一行、每一列都有奇数个星？请说明理由。

【解析】

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能.

如图,每两列一组,每列都是奇数个星,180列,一共分成180÷2=90组

前面89组,都与第一组一样,最后一组如图,这样,

第1,3,5行都是89个星,第2,4,6行都是91个星,满足要求

2210．已知100个互不相同的质数p1,p2,p3...p100, 记N p1 p2

2 ... p100， 问: N被3

除的余数是多少？

【解析】

质数除了3,其余的都可以表示为3k+1或3k-1的形式

平方为9k²±6k+1,除以3的余数为1

其中99个的平方和,除以3的余数为0

如果第100个是3,则N除以3余数为0

如果第100个不是3,则N除以3余数为1

所以答案为0或1

11．王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币，袋中有一分、二分、五分和一角四种硬33币，二分硬币的枚数是一分的，五分硬币的枚数是二分的，一角硬币的枚数是55

3五分的少7枚。王大妈兑换到的纸币恰好是大于50小于100的整元数。问这四种硬5

币各有多少枚？

【解析】

总币值在5000分—10000分之间且为整百

1角的增加7枚,正好都是3/5的关系,

总币值在5070分—10070分之间且末两位为70

1分为1,则2分为3/5

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5分为3/5×3/5=9/25

1角为9/25×3/5=27/125

1分至少125枚,2分125×3/5=75枚,5分75×3/5=45枚,1角45×3/5=27枚 125+2×75+5×45+10×27=770

770×11=8470

1分:125×11=1375枚

2分:75×11=825枚

5分:45×11=495枚

1角:27×11-7=290枚

12．右图是一个三角形网格，由16个小的等边三角形构成。

将网格中由三个相邻小三角形构成的图形称为“3-梯形”。

如果在每个小三角形内填上数字1~9中的一个，那么能否给

出一种填法，使得任意两个“3-梯形”中的三个数之和均不

相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。

【解析】

不能.

3-梯形有27个

数字和,最小为1+1+1=3,最大为9+9+9=27,一共27-3+1=24种

抽屉原理,至少有2个3-梯形中三个数字之和相等

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．请写出所有满足下面三个条件的正整数a和b：1）a≤b；2）a+b是个三位数，且三个数字从小到大排列等差；3）a×b是一个五位数，且五个数字相同。

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【解析】

11111=41×271

① a=271,b最小为41×7=287,最大为41×9=369

经验证,不满足

② b=271,a可能为41,82,123,164,205,246

经验证,a=41,164,

③ b=542,a可能为41,82,123…451

经验证,a=82,

④ b=813,a可能为41,82,123,164

经验证,a=123

综上,满足要求的正整数a,b有:

(41,271),(164,271),(82,542),(123,813)

14．记100个自然数x，x+1，x+2， ，x+99的和为a，如果a的数字和等于50，则x最小为多少？

【解析】

a=100x+(1+2+…+99)=100x+4950

a的末两位为50

x最小,则a的位数尽量少,又要满足a的数字和等于50

(50-5)÷9=5

a=9999950

x最小为(9999950-4950)÷100=99950

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