第三章 习题及参考答案

第三章 数据分布特征的描述

一、单项选择题 1、经验表明，当数据分布近似于正态分布时，则有95%的数据位于区间（ ） A、X?? B、X?2? C、X?3? D、X?4? 2、实际中应用最广泛的离散程度测度值是（ ）

A、极差和平均差 B、平均差和四分位差 C、方差和标准差 D、异众比率和四分位差

3、集中趋势的测度值中，最主要的是（ ）

A、众数 B、中位数 C、均值 D、几何平均数

4、有10个数据，它们对数据6的离差分别为：-3，-2，-2，-2，0，0，4，4，5，5。由此可知这10个数据的（ ）

A、均值为0 B、均值为1 B、均值为6 C、均值为6.9

5、某生产小组由36名工人，每人生产的产量数量相同，其中有14人生产每件产品耗时8分钟；16人生产每件产品耗时10分钟；6人生产每件产品耗时5分钟，计算该生产小组生产每件产品的平均耗时应采用（ ）

A、简单算术均值 B、简单调和算术均值 C、加权算术均值 D.、加权调和均值

6、某敬老院里有9位百岁老人的岁数分别为101、102、103、104、108、102、105、110、102 ，据此计算的结果是（ ）

A、均值=中位数=众数 B、均值＞中位数＞众数 C、众数＞中位数＞均值 D、中位数＞均值＞中数 7、几何均值主要适合于（ ）

A、具有等差关系的数列 B、变量值为偶数的数列 C、变量值的连乘积等于总比率或总速度的数列 D、变量值之和等于总比率或总速度的数列 8、加权算术均值不但受变量值大小的影响，也受变量之出现的次数多少的影响，因此下列情况中对均值不发生影响的是（ ） A、 变量值出现次数相等时 B、变量值较小、次数较多时 C、变量值较大、次数较少时 D、变量值较大、次数较多时 9、一组数据的均值为350，众数为200，则（ ）

A、中位数为275，数据呈右偏分布 B、中位数为275，数据呈左偏分布

C、中位数为300，数据呈左偏分布 D、中位数为300，数据呈右偏分布

10、一组数据的均值为5，中位数为3，则（ ）

A、数据呈右偏分布 B、数据呈对称分布 C、数据呈左偏分布 D、数据呈正态分布

11、经验表明，当数据分布近似于正态分布时，则变量值落在区间X??的概率为（ ）

A、95% B、68% C、99.86% D、95.45% 12、当众数（Mo）中位数（Me）和均值（X）三者的关系表现为：Mo=Me=X,则（ ）

A、数据有极小值 B、数具有极大值 C、数据是对称分布

D、数据是左偏分布 E、数据右偏分布

13、在单项式数列中，假定标志值所对应的权数都缩小1/10，则算术平均数（ ）

A、不变 B、无法判断 C、缩小1/100 D、扩大10倍

14、若单项式数列的所有标志值都减少一倍，而权数都增加一倍，则其算术平均数（ ）

A、增加一倍 B、减少一倍 C、不变 D、无法判断

15、各变量值与其算术平均数的离差之和（ ）

A、等于各变量值之和的平均数 B、等于最大值 C、等于零 D、等于最小值

16、各变量值与其算术平均数的离差平方之和（ ）

A、等于各变量值之和的平均数 B、等于最大值 C、等于零 D、等于最小值

二、多项选择题

1、当众数（Mo）、中位数（Me）和均值（X）三者的关系表现为：X＜Me＜Mo，则（ ）

A、数据是左偏分布 B、数据是右偏分布 C、数据是对称分布

D、数据存在极小值 E、数据存在极大值

2、当众数（Mo）、中位数（Me）和均值（X）三者的关系表现为：Mo＜Me＜X,则（ ）

A、数据是右偏分布 B、数据是对称分布 C、数据是左偏分布

D、数据有极大值 E、数据有极小值 3、 数据分布的两个重要特征是（ ）

A、正态分布 B、集中趋势 C、t分布 D、?分布 E、离散程度

4、利用组距分组数据计算众数时，有一些基本假定，即（ ）

Ａ、假定数据分布具有明显的离中趋势 Ｂ、既定数据分布具有明显的集中趋势

Ｃ、假定众数组的频数在该组内是正态分布 Ｄ、假定众数组的频数在该组内是均匀分布

Ｅ、假定众数组的频数在该组内是二项分布

25、众数（ ）

Ａ、是一组数据分布的最高峰点所对应的数值 Ｂ、可以不存在 Ｃ、也可以有多个 Ｄ、是位置代表值 Ｅ、不受数据中极端值的影响。

6、极差（ ） A、是描述数据离散程度的最简单测度值 B、不易受极端值影响 C、易受极端值影响 D、不能反映出中间数据的分散状况 E、不能准确描述出数据的分散程度

7、一组数据为17、19、22、24、25、28、34、35、36、37、38。则（ ） A、该组数据的中位数为28 B、该组数据的第一个四分位数为22 C、该组数据的众数为38 D、该组数据无众数 E、该组数据的第三个四分位数为36

8、下列标志变异指标中，与变量值计量单位相同的变异指标有（ ） A、全距 B、平均差 C、标准差 D、标准差系数 E、平均差系数

9、下列标志变异指标中，用无名数表示的有（ ）

A、全距 B、平均差 C、标准差 D、标准差系数 E、平均差系数

10、比较两个单位的资料发现，甲的标准差大于乙的标准差，甲的平均数小于乙的平均数，由此可推断（ ）

A、甲单位标准差系数大 B、乙单位标准差系数大 C、甲单位平均数代表性大

D、乙单位平均数代表性大 E、无法判断两单位平均数代表性大 11、已知100个零售企业的分组资料如下：

销售利润率（%） 10 15 企业数 60 40 销售额（万元） 800 200 这100个企业的平均销售利润率正确计算公式是 （ ） A、

10%?60?15%?40 B、10%×60%+15%×40% C、

60?4010%?80%+15%?20% D、

10%?15%?800?15%?200 E、 2800?200三、填空题

1、中位数将全部数据分为两部分，一部分数据_____________，另一部分数据则________________。

2、根据未分组数据计算中位数时，若数据个数N为奇数时，则中位数Me=_____________；若数据个数为N为偶数时，则中位数Me=________________。 3、几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算___________的平均；在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的___________________。

4、均值的主要缺点是易受数据___________的影响，对于_________的数据，均值的代表性较差。

5、均值的变形主要有_______________和_______________。前者主要用于__________________的数据，后者主要用于计算____________的平均数。 6、方差是__________与其均值___________的平均数。

7、极差也称_______，它是一组数据的___________和_________之差。

8、众数是一组数据中____________的变量值，从分布的角度看，它是具有明显_______________的数值。

四、 判断题

1、在均值加减3个标准差的范围内几乎包含了全部数据。（ ）

2、样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是通体数据个数或总频数减1去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数去除离差平方和。（ ）

3、从统计思想上看，均值是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的结果。（ ）

4、由于中位数是一个位置代表值，其数值的大小受极大值和极小值的影响，因此中位数据有稳健性的特点。（ ） 5、中位数与各数据的距离最长。（ ） 6、?i?1NXi?Me?min（最小） （ ）

7、从分布的角度看，众数始终是一组数据分布的最高峰值，中位数是处于一组数据中间位置上的值，而均值则是全部数据的算术平均。（ ） 8、几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均。（ ） 9、根据Mo、Me和X之间的关系，若已知Me=4.5,X=5,则可以推算出Mo=3.5。 （ ）

10、对于具有偏态分布的数据，均值的代表性要好于中位数。（ ）

11、当数据分布具有明显的集中趋势时，尤其是对于偏态分布，众数的代表性比均值要好。（ ） 五、 简答题

1、权数的实质内容是什么？

2、数据集中趋势的测度值与离中趋势的测度值各有哪些？ 3、试比较众数、中位数和均值三者的特点及应用场合。 4、什么是离散系数？为何要计算离散系数？ 5、均值具有哪些重要的数学性质？ 6、离散特征数在统计分析中的作用？ 7、实际中几何平均数应用于哪些场合？

六、计算分析题 1、根据要求计算：

（1）已知X?500，V=0.3 , 求方差σ2。

2

（2）已知X?5.5 ∑X=385, N=10 , 求离散系数V?。

（3）已知σ=20 ，X?60 ，求各数据值对50的方差。 （4）已知X?350 ，V=0.4 ,求各数据值对400的标准差。

（5）已知?X?810，?X2?65770，N=10,求标准差?和离散系数V?。 （6）已知：σ=100，X2?2600,求离散系数V?

（7）已知：样本方差S2n-1=16，∑(X-X)2=784，求样本容量n。

2、某车间生产三批产品的废品率分别为1%、2%、1.5%，三批产品的产量占全部产量的比重分别为25%、35%、40%，试计算该车间三批产品的平均废品率。

3、某产品精加工车间加工零件5000件，其中合格品4500件，不合格品500件。 要求：计算是非标志的平均数、方差、标准差及离散系数。

4、有两个教学班进行《统计学》期中测验，甲班有45个学生，平均成绩为78分，标准差为8分；乙班有50个学生，平均成绩为72分，标准差额为10分。要求计算两个教学班总的平均成绩和标准差。

5、某厂长想研究星期一的产量是否低于其他几天，连续观察六个星期，所得星期一日产量（单位：吨）为：100 150 170 210 150 120 同期非星期一的产量整理后的资料如下表： 日产量（吨） 天数（天） 100——150 8 150——200 10 200——250 4 250以上 2 合 计 24 根据资料：（1）计算6个星期一产量的均值和中位数；（2）计算非星期一产量的均值、中位数、众数；（3）分别计算星期一和非星期一产量的标准差；（4）比较星期一和非星期一产量的离散程度哪一个大一些？（5）计算非星期一产量数据分布的偏态系数和峰度系数。

6、甲工厂工人的工资的离差的绝对值之和是乙工厂工人工资离差绝对值之和的3倍，即：?x甲?x甲?3?x乙?x乙；而乙工厂工人工资的平均差却是加工厂工人工资平均差的3倍，即：A.D乙?2A.D甲，求：通过计算判断上述情况在什么情况下可能会发生？

2

______7、从某地区抽取120家企业按利润额进行分组，结果如下：

按利润额分组（万元） 企业数（个） 200—300 19 300—400 30 400—500 42 500—600 18 600以上 11 合 计 120 要求：（1）计算120家企业利润的众数、中位数、和均值。 （3）计算分布的偏态系数和峰度系数，并作简要分析说明。

8、抽取10名成年人和10名幼儿进行身高（厘米）调查，结果如下： 成年组 166 169 172 177 180 170 172 174 168 173 幼儿组 68 69 68 70 71 73 72 73 74 75 要求：（1）若要比较成年组和幼儿组的身高差异，应采用什么样的指标测度值？为什么？（文字回答即可）

（2）试通过计算，比较分析哪一组的身高差异大？

9、甲、乙两个企业生产三种产品的有关资料如下： 产品名称 单位成本 总成本（元） （元） 甲企业 乙企业 A 15 2100 3255 B 20 3000 1500 C 30 1500 1500 试比较哪个企业的总平均成本高，并分析其原因。

10、甲、乙两单位各抽取了若干工人进行生产情况调查，测得有关资料如下： 日产量（件/人） 甲单位工人数（人） 乙单位总产量（件） 2 4 12 3 8 24 5 6 20 合 计 18 56 试通过计算分析：（1）哪个单位工人的平均日产量水平高？ （2）哪个单位工人的日产量水平均衡？

11、已知某地区农民家庭按年人均收入分组的资料如表所示： 按人均收入分组（元） 家庭户数占总户数比重（%） 100以下 2.3 100—200 13.7 200—300 19.7 300—400 15.2 400—500 15.1 500—600 20.0 600以上 14.0 合 计 100.0 要求：（1）计算该地区平均每户家庭人均年收入的中位数、均值及标准差。 （2）根据计算结果回答，该地区平均每户家庭人均年收入与其平均数相比，平均相差多少元？（即是问标准差）

12、在某城市抽取100户家庭所做的一项抽样调查结果如下： 按月收入分组（元） 家庭户数占总户数比重（%） 300—400 24 400—500 27 500—600 28 600—700 10 700—800 7 800以上 4 你认为要分析该城市家庭的人均收入情况，用均值、众数和中位数哪一个测度值更好？试说明理由。（提示：用中位数。因为收入分布为右偏，且频数较多的几个组的家庭百分比相差不大，众数不十分明显。）

13、某厂两个主要生产车间工人某月奖金资料如下： 工人按奖金额分组 工人数（人） （元） 甲车间 乙车间 20以下 4 1 20—30 8 6 30—40 50 30 40—50 16 55 50以上 2 8 要求：（1）计算甲车间的众数、中位数和均值。根据计算结果描述众数、中位数及均值的关系，并据此判断甲车间数据分布的形态。

（2）通过计算判断哪个车间工人平均奖金额的代表性强？

14、某县两个乡在不同地块的粮食产量资料如下： 甲乡 乙乡 地块编号 平均亩产 粮食产量 平均亩产 播种面积 （公斤/亩） （公斤） （公斤/亩） （亩） 1 100 2500 100 125 2 150 15000 150 50 3 400 50000 400 75 试比较哪个乡的平均亩产高？并进一步分析原因。（提示：从两个乡产量水平不同的地块所占比重差异来分析）

15、某企业某种产品须经过4个车间的流水作业才能完成，如果第一车间的产品合格率为90%，第二车间的产品合格率为97%，第三车间的产品合格率为95%，第四车间的产品合格率为98%，求平均合格率。

16、某种产品的生产须经过10道工序的流水作业才能完成，有2道工序的合格率都为90%，有3道工序的合格率都为92%，有4道工序的合格率都为94%，有1道工序的合格率为98%，试计算平均合格率。

17、某班共有60名学生，在期末的统计学考试中，男生的平均考试成绩为75分，标准差为6分；女生的平均考试成绩为80分，标准差为6分。根据给出的条件回答下面的问题：

（1）如果该班的男女学生各占一半，全班考试成绩的平均数是多少？标准差又是多少？

（2）如果该班中男生为36人，女生为24人，全班考试成绩的平均数是多少？标准差又是多少？

（3）如果该班中男生为24人，女生为36人，全班考试成绩的平均数是多少？标准差又是多少？

（1） 比较（1）、（2）和（3）的平均考试成绩有何变化，并解释其变化的原因。

（2） 比较（2）和（3）的标准差有何变化，并解释其原因。 （6）如果该班的男女学生各占一半，全班学生中考试成绩在64.5分～90.5分的人数大概有多少？

18、某企业购进四批不同规格的原材料，每批价格及采购金额如下表所示，求这四批材料的总平均价格。 批次 价格（元/公斤） 采购金额（元） 第一批 35 10000 第二批 40 20000 第三批 45 15000 第四批 50 5000 合 计 — 50000 （提示：总平均价格?采购总金额）

采购总数量

19、已知某公司下属三个工厂的实际产值及计划完成程度资料如下： 工厂 计划完成程度（%） 实际产值（万 元） 甲 95 99.75 乙 105 210.00 丙 115 339.25 合计 — 649 试求：三个工厂的平均计划完成程度。 (提示：计划完成程度?实际产值平均实际产值?100%；平均计划完成程度??100%计划产值平均计划产值

实际产值?3实际产值????100%??100%)?计划产值?3?计划产值

第三章 数据分布特征的描述

一、单项选择题

1、B 2、C 3、C 4、D 5、C 6、B 7、C 8、A 9、D 10、A 11、B 12、C

13、A 14、B 15、C 16、D 二、多项选择题 1、AD 2、AD 3、BE 4、BD 5、ABCDE 6、ACDE 7、ABDE 8、ABC

9、DE 10、AD 11、CE 三、填空题

1、大于中位数、小于中位数 2、Me?X?N?1????2?，Me?1??N??X??2???2?X?N???1??2??? ?3、比率或速度、年平均发展速度 4、极端值、偏态分布 5、调和平均数、几何平均数、不能直接计算均值、比率数据 6、各变量值、离差平方 7、全距、最大值、最小值 8、出现次数最多、集中趋势 四、判断题 1、 √ 2、 × 3、√ 4、× 5、× 6、√ 7、 √ 8、√ 9、√ 10 × 11、√ 五、（略） 六、计算题 6.1[解]： （1）∵ V?? ∴ ??V?X?500?0.3?150 X?2=22500

385?X22（2）???X2???5.5??38.5?30.25?8.25?2.872

N10V??X?2.872?0.5222?52.22% 5.522（X?X0）??（X?X）?NC2?（3）(P.37)因为

??（X?X）?N（X?X0）22

22（X?X0）（X?X）??22??（X?X0）??2?（X?X0）得：

NN（上式左边即是各数据对X0的方差） 若令X0?50，则各数据对50的方差为：

2（X?X0）?22??2?（X?X0）?202?（60?50）?500

N（4） ??V?X?350?0.4?140 各数据对400的标准差为：

??X?400?22??2??X?400??1402??350?400??148.66

N265770?810??X2?X2???（5）????6577?6561?16?4 N10?10?2V??X_____2???XN2?4?0.0494?4.94% 81_____22X???2600?100?2500?50

（6）??X?X...?....X?2V??X?10010??0.2 505022（7）S2n?1??x?x???x?x??...?...n?1?.. n?1Sn2?12784??x?x?n??1??1?50 2Sn?1166.2[解]：设X废品率

F为产量比重，则该车间三批产品的平均废品率：?FX??X?F?1%?25%?2%?35%?1.5%?40%?1.55% ?F6.3[解]：N?5000，N1?4500，N0?500 是非标志的平均数P?N14500??0.9?90% N5000是非标志的方差P?1?P??0.9?0.1?0.09 是非标志的标准差P?1?P??0.09?0.3

是非标志的离散系数V?P?1?P?0.3??0.3333?33.33% P0.96.4[解]：依题意N甲?45 X甲?78 ?甲?8 N乙?50 X乙?72

?乙?10

于是两个教学班总的平均成绩

78?45?72?507110N?NX?X甲甲X乙乙???74.84（分）

?45?5095N甲N乙?X2?X2 ∴根据已知条件得出方程组 ∵ ??N2??X甲2?64?45?6084?276660??X甲 解得： ??22??X乙?264200?100??X乙?518450?2于是两个教学班总的标准差：

22??X乙276660?264200?X甲2???X2???74.84??9.604（分）

45?50N甲?N乙5.[解]:

(1)6个星期一产量的均值

x1?100?150?170?210?150?120900??150 （吨）

666个星期一产量的中位数

排序后产量为：100 120 150 150 170 210

N?16?1??3.5，即：中位数在第3个数据和第4个数据之间的22150?150?150 （吨） 中间位置，亦即：Me?2中为数的位置=

（2）非星期一产量的均值、中位数和众数的计算： 日产量（吨） 100——150 150——200 200——250 250以上 合 计 组中值（x） 125 175 225 275 ??. 天数（天）f 8 10 4 2 24 xf 1000 1750 900 550 4200 向上累计频数 8 18 22 24 ?? xf?∴ 非星期一产量的均值x??ff?中位数的位置=

2??4200?175（吨） 2424?12 因为：向上累计频数18刚好大于12 2所以150——200这一组即为“中位数所在组”， 于是： L?150 Sm?1?8 fm?10 i?50 则：非星期一产量的中位数为：

?f?Sm?112?8?i?150??50?170 Me?L?210fm因为：f?10出现次数最多，所以他所在组150——200这一组即为“众数组”，于是：L?150 f?10 f?1?8 f?1?4 i?50 则：非星期一产量的众数为： MO?L?f?f?110?8?i?150??50?162.5

?f?f?1???f?f?1??10?8???10?4?（3）星期一和非星期一产量的标准差的计算： 星期一产量的标准差的计算表：（x1?150） 变量值 x?x 100 -50 2500 150 0 0 170 20 400 210 60 150 0 120 -30 900 ? ??.. 7400 ??x?x? 23600 0 所以星期一产量的标准差为：

7400??x?x???35.12 （吨） ?1?n62非星期一产量的标准差的计算表：（x?175）

组中值（x） 天数f 125 175 225 275 ? 8 10 4 2 24 x?x ?x?x? 2 ?x?x?f 2?x?x?3f ?x?x? 0 4f -50 0 50 100 ?? 2500 0 2500 10000 ??? 20000 0 10000 20000 50000 -1000000 0 500000 2000000 1500000 50000000 25000000 200000000 275000000 所以，非星期一产量的标准差为：

50000??x?x?f??45.64 （吨） ?2?f24?235.12（3）星期一产量的离散系数：V1??1??0.2341

150x145.64 非星期一产量的离散系数：V2??2??0.2608

175x2因为：V1?V2，所以非星期一产量的离散程度要大一些。 （4）非星期一产量数据的偏态系数和峰度系数：

3（x?x）f??fa3??315000001500000??x?x?f=0.66>0 呈“右偏分???33f?24?2281645.396??45.64??3布”

275000000275000000??x?x?f???2.64<3 呈“扁平分布” a4?44f?104134295.924???45.64??46.6[解]：A?D甲??X甲?X甲?X甲?X甲 ....?N甲?N甲A?D甲??X甲?X甲?3?X乙?X乙因为：?

..........?A?D乙?2A?D甲..........所以：N甲??X甲?X甲A?D甲?3?X乙?X乙3?N乙?A?D乙??6N乙

11A?D乙A?D乙22表明：只有在甲工厂的工人人数是乙工厂工人人数6倍的条件下，上述情况才能发生。

6.7[解]：有关计算表（见后面）

因为：400——500这一组出现次数42为最多，故它为“众数组” 于是：L?400 f?42 f?1?30 则：这120家企业利润的众数为：

f?1?18 i?100

MO?L?f?f?142?30?i?400??100?433.33(万元)

?f?f?1???f?f?1??42?30???42?18?附表1：

按利润分组（万元） 组中值X 200——300 300——400 400——500 500——600 600以上 合 计 中位数位置=

250 350 450 550 650 —— 企业数 F 19 30 42 18 11 120 累计频数 19 49 91 109 120 —————— ?F120??60 因为累计频数91>60 所以其所在组400-500这一22组就是“中位数所在组”，于是L?400 Sm?1?49

fm?42 i?100

则这120家企业利润的中位数为：

?F?Sm?160?492?i?400??100?426.19(万元 Me?L?42fm附表2：（接附表1） 组中值企业数XF （X） 250 350 450 550 650 （F） 19 30 42 18 11 4750 -176.67 593033.4891 -104771226.5 18509933000 -13520652.3 533326.9216 1036628412 12442517.08 4164351992 27364086000 X?X ?X?X??X?X?2F 3F ?X?X?F 410500 -76.67 176348.667 18900 23.33 22860.1338 9900 7150 123.33 273785.2002 33765928.74 223.33 548639.1779 122527587.6 合 计 120 51200 1614666.668 38534964.4616 51087441921.08 ?XF51200??426.67(万元) 120?F所以：这120家企业利润的均值为：X?这120家企业利润的标准差为：

??1614666.668??X?X?F??115.998?116

120?F2这120家企业利润数据分布的偏态系数为：

.461638534964.4616??X?X?F38534964????0.2057?0.21>0 a333187307520120??116??F??3故：该组数据呈“正（右）偏分布”。 这120家企业利润数据分布的峰度系数为：

1.0851087441921.08??X?X?F5108744192???2.35<3 a4?2421727672000120??116??F??4故：该组数据呈“扁平分布”。

6.8[解]：（1）应采用“离散系数（标准差系数）”。 （2）有关计算如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 成年组 身高X(cm) 166 169 172 177 180 170 172 174 168 173 1721 幼年组 2

2?x?x? 身高X(cm) 68 69 68 70 71 73 72 73 74 75 713 ?x?x? 10.89 5.29 10.89 1.69 0.09 2.89 0.49 2.89 7.29 13.69 56.1 37.21 9.61 0.01 24.01 62.41 4.41 0.01 3.61 16.81 0.81 158.9 所以：成年组身高的均值：x成??x1721??172.1（cm） n10?x713??71.3(cm) 幼年组身高的均值：x幼?n102158.9??x?x?成年组的标准差：S成???4.20(cm)

n?110?1

56.1??x?x?幼年组的标准差：S幼???2.50(cm)

n?110?124.20成年组的离散系数：V成?S成??0.024

172.1x成2.50幼年组的离散系数：V幼?S幼??0.035

x幼71.3因为：V成?V幼 所以幼年组的身高差异大。 6.9[解]：计算表如下：

产品单位成 总成本 总产量 名称 本(元) （x） (元) （m） 甲企乙企甲企乙企比重 业 A B C 合计 15 20 30 业 业 业 215 41.18 41.18 63.24 累计 比重 累计 63.24 85.30 100.0 —— （m/x） 产量比重（%） 甲企业 乙企业 2100 3225 140 3000 1500 150 75 44.12 85.30 22.06 1500 1500 50 50 14.70 100.0 14.70 340 100.0 —— 100.0 ——— 6600 6225 340 — 根据表中计算可得： 甲企业的总平均成本：x1??m6600??19.41 （元） m340?x?m6225??18.31 （元） m340?x乙企业的总平均成本：x2?显然，甲企业的总平均成本要高一些，乙企业的总平均成本要低一些。这是因为：在单位成本偏高的B、C两种产品中，两个企业累计产量比重相同，但单位成本最低的A种产品，甲企业的产量比重仅为41.18%，而乙企业的产量比重则高达63.24%，从而导致乙企业的总平均成本明显低于甲企业。

6.10[解]： （1）计算表如下：

日产量（x） 甲单位工人数xf 乙单位总产量乙单位工人人数（m/x） （f） 2 3 5 合 计 4 8 6 18 8 24 30 （m） 12 24 20 6 8 4 18 62 56 ?xf62??3.44 （件） 18?f?m56??3.11 （件） m18?x甲单位的平均日产量：x1?乙单位的平均日产量：x2?可见，甲单位的平均日产量高于乙单位。

（2）由于两单位平均日产水平不同,所以应该用标准差系数比较. 有关计算表如下：

日产量 甲单位 x?3.44 x 2 3 5 x?x 乙单位 x?3.11 2f ?x?x?f x?x f ?x?x?2f 4 8.2944 1.5488 14.6016 -1.11 6 -0.11 8 1.89 4 7.3926 0.0968 14.2884 -1.44 8 -0.44 1.56 6 合 计 18 24.4448 18 21.7778 根据表中计算可得：

24.4448??x?x?f甲单位的标准差：S1???1.20 （件）

f?118?1?221.7778??x?x?f乙单位的标准差：S2???1.13 （件）

f?118?1?2甲单位的离散系数：V1?乙单位的离散系数：V2?Sx11?1.20?0.35 3.44Sx22?1.13?0.36 3.11因为V1?V2，所以甲单位日产量的离散程度小于乙单位，表明甲单位的日产量水平均衡。

6.11[解]：（1）有关计算如下表： 按人均 收入分组 组中值（x） 户数比重f?f x?f?f ?x?x?2?f?f 向上累计 频率（%） 2.3 16.0 35.7 50.9 66.0 86.0 100.0 ———— 100以下 50 100—200 150 200—300 250 300—400 350 400—500 450 500—600 550 600以上 650 合计 中位数位置=

2.3 13.7 19.7 15.2 15.1 20.0 14.0 1.15 20.55 49.29 53.20 67.95 110.0 91.0 393.14 2708.14 8099.04 4036.34 282.88 488.19 4921.01 9236.79 29772.35 ———— 100.0 1?0.5 因为：向上累计频率0.509>0.5 所以300-400这一组就2是“中位数所在组”。于是：L?300 Sm?1?0.357

fm?0.152 i?100

?FF?Sm?10.5?0.3572?i?300??100?394.08 (元) 故：中位数Me?L?0.152fm均值x??x?f?393.14 ?f标准差：S???x?x?2?f?29772.35?172.55 （元） f?计算结果表明：该地区平均每户家庭人均年收入与其平均数相比，平均相差172.55元。

6.12[解]：有关计算如下表： 月收入分户数比重f?f 组中值 组 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800以上 合 计 24 27 28 10 7 4 100.0 350 450 550 650 750 850 ——— 84.00 121.50 154.00 65.00 52.50 34.00 511 24 51 79 89 96 100 ———— （%） （x） x?f ?f向上累计频率（%） 均值x??x?f?511 （元） ?f因为：500-600这一组出现的频率（0.28）相对较高，故该组就是“众数组”，于

是

：

L?500 f?0.28

f?1?0.27

f?1?0.1

i?100MO?L?f?f?10.28?0.27?i?500??100?505

?f?f?1???f?f?1??0.28?0.27???0.28?0.10?1?0.5 因为向上累计频率0.51>0.5 所以400-500这一组就是2中位数位置=

“中位数所在组”，于是：L?400 Sm?1?0.24 fm?0.28

i?100 则中位数为：

?F?Sm?10.5?0.242?L??i?400??100?493 （元） Me0.28fm因为出现频率较多的几组家庭户数所占的比重相差不大，众数不太明显，其代表性较差；又因为Me?493?x?511，有“极大值”，表明数据呈“右偏分布”，此时均值的代表性不如中位数好。所以，要分析该城市家庭的人均收入状况，采用“中位数”这个测度值更好。 6.13[解]：有关计算表如下：

奖金分组中工人人数（f） xf1 xf2 组 值 甲车乙车间 1 6 30 55 8 100 60 200 甲车间 乙车间 甲车间 乙车间 15 1681 150 882 691.69 4 1594.14 12 1190.7 62 752.95 1501.52 5731 78 80 1 7 37 92 100 （x） 间 20以下 15 20-30 30-40 40-50 25 35 45 4 8 50 16 2 ?x?x?2f 向上累计频数 1750 1050 12.5 720 110 2475 1444 440 760.5 50以上 55 合计 —— 80 2840 4130 4780 ——————— — （1）因为：甲车间的最大频数为50，所以甲车间的众数组为30-40，于是：L?30

f?50 f?1?8 f?1?16 i?10

则：甲车间奖金的众数：

MO1?L?f?f?150?8?i?30??10?35.53?36 (元)

?f?f?1???f?f?1??50?8???50?16?因为：乙车间的最大频数为55，所以乙车间的众数组为40-50，于是：

L?40 f?55 f?1?30 f?1?8 i?10

则：乙车间奖金的众数：

MO2?L?f?f?155?30?i?40??10?43.47(元)

?f?f?1???f?f?1??55?30???55?8?甲车间中位数的位置=

?f2?80?40，因为甲车间的向上累计频数62>40,所以2甲车间的中位数组为30-40。于是L?30 Sm?1?12

fm?50 i?10

则：甲车间奖金的中位数为：

?f?Sm?140?122?L??i?30??10?35.6?36(元) Me150fm乙车间中位数的位置=

?f100??50，因为乙车间的向上累计频数92>50,所以22乙车间的中位数组为：40-50。于是L?40 Sm?1?37

fm?55 i?10

则：乙车间奖金的中位数为：

?f?Sm?150?372?L??i?40??10?42.36(元) Me255fm甲车间的均值x1??xf12840??35.5?36 （元） 80?f1?xf24130??41.3 （元） 100?f2乙车间的均值x2?对于甲车间而言：因为MO1?Me1?x1?36，所以甲车间奖金数据近似服从“对称分布”。

对于乙车间而言，因为x2?41.3?Me2?42.36?MO2?43.47，有“极小值”，表明乙车间奖金的数据分布呈“左篇（负偏）分布”。

4780??x?x?f（2）甲车间的奖金的标准差为：?1???7.73

80?f25731??x?x?f乙车间的奖金的标准差为：?2???7.57

f100?2甲车间的离散系数：V1??1?7.73?0.22

x135.5乙车间的离散系数：V2??2?7.57?0.18

x241.3因为：V1?V2表明甲车间奖金的差异程度大，反映出乙车间平均奖金的代表性要好于甲车间。

6.14[解]：有关计算如下表： 地块 甲 乡 乙 乡 编号 平均产量 产量比重（%） 播种平均播种 粮食产量 亩产 m x1 1 100 2 150 3 400 比重 累 计 面积亩 m/x1 2500 3.70 3.70 25 15000 22.22 25.92 50000 74.08 100.00 合计 —— 67500 100.0 ——— 250 —— 250 — 甲乡的平均亩产：x1??m67500??270 （公斤/亩） m250?x1面 积f 125 50 75 X2f 比重（%） 累计（%） 产x2 100 12500 25 7500 15 30000 60 25 40 100 100 150 125 400 50000 100 ——— 乙乡的平均亩产：x2??x2f50000??200 （公斤/亩） 250?f结果表明：甲乡的平均亩产量明显高于乙乡。主要原因是：平均亩产量偏低的1号和2号地块的产量累计比重甲乡仅为25.92%，而乙乡则高达40%；反之，平均亩产量最高（400公斤/亩）的3号地块的产量比重甲乡高达74.08%，而乙乡则只达到60%，从而导致甲乡的平均亩产高于乙乡。

6.15[解]：由于4个车间属于流水线作业，每一个车间的产品合格率的高低，对后续车间产品的合格率至关重要。该企业产品总合格率是4个车间产品合格率的连乘积。因此，宜采用“简单几何平均法”。于是该企业产品的平均合格率为：

4GM?NX1?X2?....?XN?90%?97%?95%?98%?94.95%

6.16[解]：此题属于“加权几何平均法”。该产品的平均合格率为：

fff?fGM?X11?X22?...?XNN?10?90%???92%???94%???98%?

2341 =92.97%

6.17[解]：依题意知：N?60 X男?75 ?男?6 X女?80 ?女?6 （1）当N男?N女?N?30时，则： 2?N男?X女?N女75?30?80?30全班的平均成绩X?X男??77.5

?60N男N女?X2因为：标准差???X2

N所以：

22?X男?X男2对于男生而言：?男??X男......?6??752

30N男2解此方程得：?X男 ?16983022?X女?X女2对于女生而言：?女??X女........?6??802

30N女2解此方程得：?X女?193080

于是，全班考试成绩的标准差为：

22??X女169830?193080?X男???X2??77.52?6.5(分)

60N男?N女（2）当N男?36 N女?24时，则全班考试成绩的平均数为：

?N男?X女?N女75?36?80?24X?X男??77(分)

36?24N男?N女与前面相同的道理，可以推导出：

2?36?36?752?36?1296?202500?203796??X男 ?22?36?24??24?864?153600?15446480??X女于是全班考试成绩的标准差为：

22??X女203796?154464?X男???X2??772?6.48(分)

36?24N男?N女（3）当N男?24 N女?36 时，则全班考试成绩的平均数为：

75?24?80?36N?NX?X男男X女女??78(分)

?24?36N男N女2?36?24?752?24?864?135000?135864??X男同理可以推导出：? 22??X女?36?36?80?36?1296?230400?231696则全班考试成绩的标准差为：

22??X女135864?231696?X男???X2??782?6.48(分)

24?36N男?N女（4）比较：当“男女生人数各占一半”时，全班平均成绩为（70+80）÷2=77.5由于“男生的平均成绩”低于“女生的平均成绩”，因而当“男生人数”多于“女生人数”时，则势必会拉低全班的平均成绩；而当“女生人数”多于“男生人数”时，则又会拉高全班的平均成绩。

（5）情况（2）和（3）相比，二者的“标准差”均等于6.48。这是因为：“男生考试成绩的标准差”等于“女生考试成绩的标准差”，均为6分，改变“男女生的人数比例”并不会改变“标准差的大小”。

（6）根据情况（1）计算可知：在“男女生人数各占一半”的条件下，全班考试成绩的均值X?77.5，标准差??6.5。又根据经验可知：全部数据落在“X?2?”

X?2??77.5?2?6.5?77.5?13，范围内的“概率=95%”。于是本题中：即：（64.5，

90.5），进而表明当“男女生人数各占一半”时，全部考试成绩有95%的人数考试成绩在64.5分至90.5分之间。

则：当男女生人数各占一半时，全班学生考试成绩在54.5分至90.5分之间的大致人数=60?95%?57人。

18、解：列计算表如下： 批次 价格（元/公斤） x 第一批 35 第二批 40 第三批 45 第四批 50 合 计 — 平均每公斤价格为：xH

=

采购金额（元） m 10000 20000 15000 5000 50000 采购量（公斤） m/x 286 500 333 100 1219 ?m=50000/1219=41.02（元/公斤） m?x19、解：此题不能直接计算加权均值，故变形为调和平均数。

平均计划完成程度?649?108.17`0?实际产值?100%??m?99.75?210?339.25m99.75210339.25?计划产值???x0.951.051.15

?

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