2015希望杯四年级一试试题及详解

第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛

四年级 第1试试题

2015年3月15日上午8:30至10:00

以下每题6分，共120分.

1.计算：2468 629 1234 37

【出处】2015希望杯四年级初赛第1题

【考点】计算

【难度】☆

【答案】34

【解析】原式=2468 629 1234 37

=2468 1234 629 37

=2 17

=34

2.有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是【出处】2015希望杯四年级初赛第2题

【考点】计算

【难度】☆☆

【答案】17

【解析】（1）被除数÷除数=7，因此我们能得到被除数是除数得7倍.

（2）如果设除数是1份，那么被除数就是7份，它们的和是136.

所以每份量为：136 8=17.即除数是17.

3.定义a b a b ab，则 2 3 4的值为【出处】2015希望杯四年级初赛第3题

【考点】定义新运算——计算

【难度】☆☆

【答案】59

【解析】有括号先算括号： 2 3 =2+3+2 3=11

.、

那么 2 3 4=11 4=11+4+11 4=59

4.买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔【出处】2015希望杯四年级初赛第4题

【考点】应用题

【难度】☆☆

【答案】8

【解析】1元7角相当17角，15元相当于150角.

可列出如下算式：150 17=8...14

故最多可以买这样的水彩笔8支. 支.

5.王雷是国庆节那天出生的.若他年龄的3倍减去8刚好是他出生那月的总天数，则王雷今年

______岁.

【出处】2015希望杯四年级初赛第5题

【考点】年龄问题——应用题

【难度】☆☆

【答案】13

【解析】（1）因为王雷是国庆节出生的，他出生那月（也就是10月）的总天数是31天.

（2）他年龄的3倍减去8刚好是31，因此他的年龄是： 31 8 3 13.

6.数一数，图1中共有 个三角形.

图1

【出处】2015希望杯四年级初赛第6题

【考点】图形计数——计数

【难度】☆☆☆

【答案】24

【解析】（1）有一个小单元组成的三角形有：8个；

（2）有两个小单元组成的三角形有：3 2 2 8个；

（3）有三个小单元组成的三角形有：2 2 4个；

（4）有四个小单元组成的三角形有：2 2 4个；

（5）有五、六、七、八个小单元组成的三角形都不存在.

因此图中共有：8 8 4 4 24个.

7.某班30个人参加跳绳比赛，开始时有4人迟到没有参加比赛，这时平均成绩为20个，后来这4位同

学赶到了比赛场地，分别跳了26,27,28,29个.这时全班同学的平均成绩是 【出处】2015希望杯四年级初赛第7题

【考点】平均数——应用题

【难度】☆☆

【答案】21

【解析】（1）刚开始来到的26人跳的总个数： 30 4 20 520个；

（2）30人跳的总个数：520 26 27 28 29 630个；

（3）全班平均成绩为：630 30 21个.

8.明明临摹一本练习毛笔字，临摹第一遍时，他每天写25个字，临摹第二遍时，他每天多写3个字，

结果恰好比第一遍少用了3天，则这本字帖共有 【出处】2015希望杯四年级初赛第8题

【考点】盈亏问题——应用题

【难度】☆☆☆

【答案】700

【解析】法一：盈亏方法解应用题

第一遍比第二遍多用了3天，又因为每天写25个字，因此这三天多写了3 25 75个字.

因为这两遍写的字数是一样的，因此第二遍用的天数：75 3 25天.

所以字帖共有：25 25 3 700个.

法二：列方程解应用题

设第一遍摹了x天，那么第二遍摹了x 3天，根据题意可列方程如下： 字. 个.

x 25 x 3 28

解方程得：x 28

因此共有字：28 25 700个.

9.图2由16个1 1的小正方形组成，图中 ABC的面积是

A

B

图2C

【出处】2015希望杯四年级初赛第9题

【考点】毕克定理、图形分割——几何

【难度】☆☆

【答案】7

【解析】法一：毕克定理

由正方形格点下的毕克定理可知：面积=内点数+边点数÷2-1

那么 ABC的面积为：6 4 2 1 7

法二：图形分割

ABC和另外三个边外的三角形恰好组成一个正方形；

因此 ABC的面积为：4 4 4 2 2 2 3 2 4 1 2 7

10.乌龟和兔子在全长为1000米的赛道上比赛，兔子的速度是乌龟的15倍，但兔子在比赛过程中休息了

一会儿，醒来时发现乌龟刚好到达终点，而此时兔子还差100米才到终点，则兔子休息期间乌龟爬行了 米.

【出处】2015希望杯四年级初赛第10题

【考点】行程问题

【难度】☆☆☆

【答案】940

【解析】（1）乌龟走1000米，兔子走了：1000 100 900米；

（2）因为兔子是乌龟速度的15倍，那么兔子爬900米，乌龟应该爬：900 15 60米；

而乌龟爬了1000米，所以乌龟多爬的1000 60 940米是在兔子休息期间进行的。

11.任意一个一位奇数与任意一个一位偶数相乘，不同的乘积有______个.

【考点】加乘原理——计数

【难度】☆☆☆☆

【答案】19

【解析】（1）一位数奇数有：1、3、5、7、9；一位数偶数有0、2、4、6、8.

（2）0和任意数相乘得数相同，因此0与奇数相乘的不同乘积有：1个；

2、4、6、8和奇数相乘得意得到的乘积有：4 5 20个.

法一：计算找相同乘积

通过计算可知：2 3 6 1;2 9 6 3重复了2个；

因此不同的乘积有：20 1 2 19个.

法二：通过因数分析找相同乘积

（i） 8里面有3个2相乘，而2、4、6均没有3个2，奇数里没有2，故8和任

意奇数相乘的结果不会和其他偶数与奇数相乘的结果相同.

（ii） 4里面有2个2，而2、6、8均不是有2个2，奇数里没有2，故4和任意

奇数相乘的结果不会和其他偶数与奇数相乘的结果相同.

（iii） 2和6里面都有1个2因数，因此可能会出现相同的乘积；

6里面还有3这个因数，因此要想相同，2乘的另一个奇数一定是3的倍

数，因此可以很快检验出2 3 6 1;2 9 6 3这两个乘积结果重复了.

因此不同的乘积有：20 1 2 19个.

12.一个长方形的相框长为40 厘米，宽为32 厘米，放入一张长为32厘米宽为28厘米的相片，则相框

中没有被照片覆盖的部分的面积是______平方厘米.

【出处】2015希望杯四年级初赛第12题

【考点】面积——几何

【难度】☆☆

【答案】384

【解析】由题意可知：40 32 32 28 32 40 28 384平方厘米.

13.爷爷，爸爸，小明今年的年龄分别是60岁，35岁，11岁，则再过_______年爷爷的年龄等于小明和

爸爸年龄的和.

【考点】年龄问题——应用题

【难度】☆☆

【答案】14

【解析】（1）要想爷爷的年龄等于小明和爸爸年龄的和，则小明和爸爸增加的总和要比爷爷增加的多：

60 35 11 14岁.

（2）每过一年，小明、爸爸、爷爷都增加1岁，小明和爸爸的增加的总和比爷爷多增加了1岁；因此要再过：14 1 14年，小明和爸爸的年龄和等于爷爷的年龄.

14.一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是_____厘米.

【出处】2015希望杯四年级初赛第14题

【考点】面积问题——几何

【难度】☆☆☆

【答案】54

【解析】根据题意可画出下图：

阴影部分的面积是90平方厘米，通过变形把3×宽的阴影部分移动到右下角空白长方形

处.因此：90 3 长 3 宽 .

那么：长 3 宽=90 3=30=90 3=30厘米

长+宽=30 3=厘米27

故原长方形的周长为：27 2=54厘米.

15.甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，若要使甲筐内的鸡蛋的个数变为乙筐内鸡蛋个数的

两倍，那么应从乙筐内取出_______个鸡蛋放入甲筐.

【出处】2015希望杯四年级初赛第15题

【考点】应用题

【难度】☆

【答案】24

【解析】最终想让甲筐内的鸡蛋是乙筐内的两倍，如果把乙筐的数量看成1份，那么甲筐的就是2份，

总数不变，因此3份量等于：54 63=117个

1份量为：117 3=39个

后来的乙的数量为1份量也就是39个，因此需要拿出：63 39=24个放到甲筐内.

16.王蕾和姐姐从家步行去体育馆打羽毛球，已知姐姐每分钟比王蕾多走20米，25分钟后姐姐到体育馆，

这时姐姐发现没有带球拍，于是立即按原路返回取球拍，在离体育馆300米的地方遇到了王蕾，则王蕾家到体育馆的路程是______米.

【出处】2015希望杯四年级初赛第16题

【考点】行程问题

【难度】☆☆☆

【答案】1500

【解析】根据题意可画下图：

（1） 相遇时，姐姐比王蕾多走了：300 2=600米.

（2） 姐姐和王蕾花费的时间相同，姐姐每分钟比王蕾多走20米，相遇时一共多走了600米，

因此他们从家到体育馆花费了：600 20=30分钟.

（3） 25分钟姐姐到达体育馆，可知后来的300米姐姐花费了30 25=5分钟；因此姐姐的速

度为：300 5 60（米/分）.

（4） 家到体育馆的距离为：60 25 1500米.

17.如图3，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第25个图形需要小正方形______个

.

（1） （2） （3）

图3 （4）

【出处】2015希望杯四年级初赛第17题

【考点】等差数列——计算

【难度】☆☆

【答案】625

【解析】通过观察可知第25个图形的小正方形总数为：1 3 5 7 ... 47 25 2 1

法一：等差数列

计算该等差数列得： 1 49 25 2 625个.

因此第25个图形需要625个小正方形.

法二：特殊计算（天下无双，个数平方）

总和：1 3 5 7 ... 47 25 2 1 25 25 625个.

因此第25个图形需要625个小正方形.

18.若abc cba 1069，则这样的abc有 _____个.

【出处】2015希望杯四年级初赛第18题

【考点】位置原理——数论

【难度】☆☆☆

【答案】8

【解析】（1）通过位值原理可得：

abc cba

100a 10b c 100c 10b a

101a 101c 20b

101 a c 20b

1069

（2）根据101 a c 20b 1069的个位数字9可知：a c的个位一定是9；

又因为a、c最大值均不超过9，因此a c 9，可得b一定是8.

（3）分析a c 9有多少种情况：

因为a、c都出现在第一位上，因此均不可能为0.

当a 1时，b 8；当a 2时，b 7；

当a 3时，b 6；当a 4时，b 5；

当a 5时，b 4；当a 6时，b 3；

当a 7时，b 2；当a 8时，b 9； 因此每种组合对应着一种情况，故abc存在8个不同的数。

19.某地希望杯组委会给当地参加希望杯考试的考生安排考场，若每个考场安排30名考生，则会有一个

考场有26名考生；若每个考场安排26名考生，则会有一个考场有20名考生，并且要比前一种方案多用9个考场，则该地区参加考试的考生有______名.

【出处】2015希望杯四年级初赛第19题

【考点】盈亏问题——应用题

【难度】☆☆☆

【答案】1736

【解析】（1）第二种方案比第一种方案多用9个考场，这9个考场中总人数为：26 8 20 228人.

（2）因为总人数相等，最后9个考场中多出228人，因此前面和第一种方案相比较一定少了228人.由于第一种方案最后一个考场有26人，恰好和第二种方案中的对应考场人数相等，因此228人是在：

前228 30 26 57个考场中错出来的。

（3）因此第一种方案中每个考场坐30人的有57个考场；坐26人的考场有1个.

总考生人数为：57 30 26 1736人.

20.图4由3个边长是6的正方形组成，则图中阴影部分的面积是_______

.

【出处】2015希望杯四年级初赛第20题

【考点】等积变形——几何

【难度】☆☆☆☆

【答案】36

【解析】等积变形如下:

阴影部分面积： 6 2 6 2 36.

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