2012年高考真题分类汇编3：导数 word解析版

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2012高考试题分类汇编（数学文）

3 导数

1.【2012高考重庆文8】设函数f(x)在R上可导，其导函数f?(x)，且函数f(x)在x??2处取得极小值，则函数y?xf?(x)的图象可能是

【答案】C

【解析】：由函数f(x)在x??2处取得极小值可知x??2，f?(x)?0，则xf?(x)?0；

x??2，f?(x)?0则?2?x?0时xf?(x)?0，x?0时xf?(x)?0

【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数

A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.

【解析】若ea?2a?eb?3b，必有ea?2a?eb?2b．构造函数：f?x??ex?2x，则f??x??ex?2?0恒成立，故有函数f?x??ex?2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余

选项用同样方法排除．

2+lnx 则（） x11A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点

223.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=

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C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点【答案】D. 【解析】?f?(x)??21x?2??2,令f?(x)?0,得x?2.当0?x?2时, f?(x)?0;当2xxx2x?2时, f?(x)?0.所以函数f(x)??lnx在(0,2)上单调递减,在(2,??)上单调递增,

x故x?2为f(x)的极小值点,故选D. 4.【2012高考辽宁文8】函数y=

x?㏑x的单调递减区间为 2（A）（?1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B 【解析】?y?121x?lnx,?y??x?,由y?≤0，解得-1≤x≤1,又x?0,?0?x≤1,故2x选B

【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：

①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C．

6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，?2，

过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) ?4 (D) ?8

【答案】C

【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，?2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由x?2y,则y?212x,?y??x,所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，?2，所2以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y?4x?8,y??2x?2,联立方程组解得

x?1,y??4,故点A的纵坐标为?4

【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，

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属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ 【答案】y?4x?3

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.

?【解析】∵y?3lnx?4，∴切线斜率为4，则切线方程为：4x?y?3?0.

8.【2012高考上海文13】已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,1)、

12C(1,0)，函数y?xf(x)（0?x?1）的图像与x轴围成的图形的面积为

【答案】

1。 41?2x,0?x???2【解析】根据题意，得到f(x)??，

??2x?2,1?x?1??21?22x,0?x???2y?xf(x)??所以围成的面积为

??2x2?2x,1?x?1?2?1从而得到

S??2xdx??1(?2x2?2x)dx?212011，所以围成的图形的面积为 .

44【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图

形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.

9【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。【答案】

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10.【2012高考江苏18】（16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点。

已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点．（1）求a和b的值；

（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；

2]，求函数y?h(x)的零点个数．（3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，【答案】（1）由f(x)?x3?ax2?bx，得f'(x)?3x2?2ax?b。 ∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点，

∴ f'(1)?3?2a?b=0，f'(?1)?3?2a?b=0，解得a=0，b=?3。（2）∵ 由（1）得，f(x)?x3?3x ，

∴g?(x)?f(x)?2=x3?3x?2=?x?1??x?2?，解得x1=x2=1，x3=?2。 ∵当x0， ∴x=?2是g(x)的极值点。

∵当?21时，g?(x)>0，∴ x=1不是g(x)的极值点。 ∴g(x)的极值点是－2。

（3）令f(x)=t，则h(x)?f(t)?c。

先讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况：d???2, 2?

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当d=2时，由（2 ）可知，f(x)=?2的两个不同的根为I 和一2 ，注

意到f(x)是奇函数，∴f(x)=2的两个不同的根为一和2。

当

d<2时，∵f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0，

f(1)?d=f(?2)?d=?2?d<0 ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是f(x)=d的根。

由（1）知f'(x)=3?x?1??x?1?。

① 当x??2，???时，f'(x)>0 ，于是f(x)是单调增函数，从而

f(x)>f(2)=。2

此时f(x)=d在?2，???无实根。

② 当x??1 2，?时．f'(x)>0，于是f(x)是单调增函数。又∵f(1)?d<0，f(2)?d>0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，f(x)=d在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当x???1 ，1?时，f'(x)<0，于是f(x)是单调减两数。又∵f(?1)?d>0， f(1)?d<0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同的根x1，x2满足x1=1， x2=2；当d<2 时 f(x)=d有三个不同的根x3，x1，x5，满足xi<2， i=3, 4, 5。现考虑函数y?h(x)的零点：

( i ）当c=2时，f(t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1，t2=2。而f(x)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y?h(x)有5 个

零点。

( 11 ）当c<2时，f(t)=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足

ti<2， i=3, 4, 5。

而f(x)=ti ?i=3, 4, 5?有三个不同的根，故y?h(x)有9 个零点。综上所述，当c=2时，函数y?h(x)有5 个零点；当c<2时，函数y?h(x)有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

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【解析】（1）求出y?f(x)的导数，根据1和?1是函数y?f(x)的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，f(x)?x3?3x，求出g?(x)，令g?(x)=0，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分d=2和d<2讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况；再考虑函数y?h(x)的零点。

11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）已知函数f(x)?131?a2x?x?ax?a，x32其中a>0.

（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）若函数f(x)在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（III）当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t?3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[?3,?1]上的最小值。【答案】

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12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）

设0?a?1，集合A?{x?R|x?0}，B?{x?R|2x2?3(1?a)x?6a?0}，

D?A?B.

（1）求集合D（用区间表示）

（2）求函数f(x)?2x3?3(1?a)x2?6ax在D内的极值点. 【解析】（1）令g(x)?2x?3(1?a)x?6a，

2??9(1?a)2?48a?9a2?30a?9?3(3a?1)(a?3)。

① 当0?a?1时，??0， 3www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱：canpoint@188.com

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，

方程

g(x?)3a?3?9a2?30a?9的0两个根分别为x1?43a?3?9a2?30a?9， x2?4所

以

g(x?的解集为

3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9(??,)?(,??)。

44因

为

x1,x2?0，所以

3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9D?A?B?(0,)?(,??)。

44② 当综

1?a?1时，??0，则g(x)?0恒成立，所以D?A?B?(0,??)， 310?a?上所述，当时

3，

3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9D?(0,)?(,??)；

44当

1?a?1时，D?(0,??)。 3（2）f?(x)?6x2?6(1?a)x?6a?6(x?a)(x?1)，令f?(x)?0，得x?a或x?1。

① 当0?a?1时，由（1）知D?(0,x1)?(x2,??)， 3因为g(a)?2a2?3(1?a)a?6a?a(3?a)?0，g(1)?2?3(1?a)?6a?3a?1?0，所以0?a?x1?1?x2，

所以f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (0,a) a 0 极大值 ? ↗ (a,x1) ? ↘ (x2,??) ? ↗ 所以f(x)的极大值点为x?a，没有极小值点。

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② 当

1?a?1时，由（1）知D?(0,??)， 3所以f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (0,a) ? ↗ a 0 极大值 (a,1) ? ↘ 1 0 极小值 (1,??) ? ↗ 所以f(x)的极大值点为x?a，极小值点为x?1。综上所述，当0?a?当

1时，f(x)有一个极大值点x?a，没有极小值点； 31?a?1时，f(x)有一个极大值点x?a，一个极小值点x?1。 3

13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）已知函数f(x)?axsinx?3??3???(a?R),且在,?0,?上的最大值为， 22?2?（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

由（1）知f（x）=xsinx-∴f（x）在[0,

33??-3，f（0）=-<0，f（）=>0， 2222??]上至少有一个零点，又由（1）知f（x）在[0, ]上单调递增， 22故在[0,

????']上只有一个零点，当x??，??时，令g（x）=f(x)=sinx+xcosx， 2?2????????g（）=1>0，g（?)=-?<0，g（x）在?，??上连续，∴m??，??，g（m）=0

2?2??2?www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱：canpoint@188.com

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??????'g（x)=2cosx-xsinx<0，∴g（x）在?，??上递减，当x??，m?时，

?2??2?g(x)>g（m）=0，

'f（x)>0，f（x）递增，∴当m?（

????3，m）时，f（x）≥f（）=>0

222∴f（x）在（m，π）上递增，∵f（m）>0 ，f（π）<0,

∴f（x）在（m，π）上只有一个零点，综上f（x）在（0，π）上有两个零点，【答案】（1）f（x）=xsinx-3；（2）2个零点 2【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想。

14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)

an已知a为正实数，抛物线y??x?与x轴正半轴相交于点A，设f(n)n为自然数，

2为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。

2（Ⅰ）用a和n表示f(n)；（Ⅱ）求对所有n都有

f(n)?1n?成立的a的最小值；

f(n)?1n?1111??????与

f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)（Ⅲ）当0?a?1时，比较

6?f(1)?f(n?1)的大小，并说明理由。

f(0)?f(1)【命题立意】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想【答案】【解析】

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15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) ?1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1

[@#中国教育出版网[z 存在x0∈（x1,x2）,使f?(x0)?k恒成立.

【答案】解：f?(x)?ex?a,令f?(x)?0得x?lna.

当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递减；当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递增，故当

x?lna时，f(x)取最小值f(lna)?a?alna.

于是对一切x?R,f(x)?1恒成立，当且仅当

a?alna?1. ①

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令g(t)?t?tlnt,则g?(t)??lnt.

当0?t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递增；当t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递减. 故当t?1时，g(t)取最大值g(1)?1.因此，当且仅当a?1时，①式成立. 综上所述，a的取值集合为?1?.

f(x2)?f(x1)ex2?ex1（Ⅱ）由题意知，k???a.

x2?x1x2?x1ex2?ex1令?(x)?f?(x)?k?e?,则

x2?x1xex1x2?x1??(x1)??e?(x2?x1)?1?, ??x2?x1ex2x1?x2??(x2)?e?(x1?x2)?1?. ??x2?x1令F(t)?et?t?1，则F?(t)?et?1.

当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递减；当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递增.

t故当t?0，F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0.

从而ex2?x1?(x2?x1)?1?0，ex1?x2ex1ex2?0,?0, ?(x1?x2)?1?0,又

x2?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0.

因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在

x0?(x1,x2)使?(x0)?0,即f?(x0)?k成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值

f(lna)?a?alna.对一切x∈R，f(x) ?1恒成立转化为f(x)min?1从而得出求a的取值集

合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，

通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

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16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）

设函数f(x)= ex－ax－2 (Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最大值【答案】

17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数f(x)?ax3?bx?c在x?2处取得极值为c?16

（1）求a、b的值；（2）若f(x)有极大值28，求f(x)在[?3,3]上的最大值．

【解析】（Ⅰ）因f(x)?ax3?bx?c 故f?(x)?3ax2?b 由于f(x) 在点x?2 处取得极值

故有??f?(2)?0?12a?b?0?12a?b?0?a?1即? ，化简得?解得?

?f(2)?c?16?8a?2b?c?c?16?4a?b??8?b??1232（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)?x?12x?c，f?(x)?3x?12

令f?(x)?0 ，得x1??2,x2?2当x?(??,?2)时，f?(x)?0故f(x)在(??,?2)上为增函数；

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当x?(?2,2) 时，f?(x)?0 故f(x)在(?2,2) 上为减函数当x?(2,??) 时f?(x)?0 ，故f(x)在(2,??) 上为增函数。

由此可知f(x) 在x1??2 处取得极大值f(?2)?16?c，f(x) 在x2?2 处取得极小值

f(2)?c?16f(?3?)由题设条件知

1?6c? 得

c?12此时

c?9?f21，f,?c?(2)?c??16???4因此f(x) 上[?3,3]的最小值

为f(2)??4

【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数f(x)进行求导，根据f?(2)?0=0，f(2)?c?16，求出a，b的值．（1）根据函数

f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，

求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极

小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．

18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）设函数

方程为x+y=1.

（1）求a,b的值；

（2）求函数f(x)的最大值（3）证明：f(x)< 【答案】

，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线

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【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有e,lnx等的函数求导的运算及其应用考查.

19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）

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1?b(a?0) ax设定义在（0，+?）上的函数f(x)?ax?（Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?3x，求a,b的值。 2【解析】（I）（方法一）f(x)?ax?当且仅当ax?1(x?11?b?2ax??b?b?2， axax1)时，f(x)的最小值为b?2。 a

（II）由题意得：f(1)?313?a??b?， ① 2a2113f?(x)?a?2?f?(1)?a??， ②

axa2由①②得：a?2,b??1。

20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分）

已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在?0,1?上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a的取值范围；

（2）设g(x)= f(-x)- f′(x)，求g(x)在?0,1?上的最大值和最小值。

x 【解析】（1）f(0)?c?1，f(x)?(a?b?c)e?0,a?b??1，f'(x)?(2ax?b)e因xf'(x)?(2ax?b)e?0即2ax?b?0解得a?1 为在[0,1]上单调递减则令

2?xxg(x)?(ax?bx?1)e?(2ax?b)e（2）

g'(x)?(2ax?b)e?x?e?2x(ax2?bx?1)?2aex

【答案】

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21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)

设f(x)?lnx?x?1，证明：

3（ x?1） 29(x?1) (Ⅱ)当1?x?3时，f(x)?

x?5 (Ⅰ)当x﹥1时，f(x) ﹤ 【答案】

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【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。

22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a∈R，函数f(x)?4x3?2ax?a （1）求f(x)的单调区间

（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ 2?a＞0. 【解析】（1）由题意得f?(x)?12x2?2a，

当a?0时，f?(x)?0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为???,???. 当a?0时，f?(x)?12(x??aa?aa,此时函数f(x)的单调递增区间为??)(x?)，?.

66?66?33(2)由于0?x?1，当a?2时，f(x)?a?2?4x?2ax?2?4x?4x?2. 333当a?2时，f(x)?a?2?4x?2a(1?x)?2?4x?4(1?x)?2?4x?4x?2.

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2设g(x)?2x3?2x?1,0?x?1，则g?(x)?6x?2?6(x?则有 x 33)(x?). 33?3???3,1?? ??+ 增 1 0 ?3?0,??3?? ??- 减 3 30 极小值 g?(x) g(x) 1 1 所以g(x)min?g(343)?1??0. 393当0?x?1时，2x?2x?1?0.

故f(x)?a?2?4x3?4x?2?0.

23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数f(x)?13x?x2?ax 3（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设f(x)有两个极值点x1,x2，若过两点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y?f(x)上，求a的值。

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24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)

已知函数f(x)?lnx?k(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y?f(x)在点xe(1,f(1))处的切线与x轴平行.