高二数学选修1-1复习课资料

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 选修1－1复习课

二. 教学目的

1、通过复习本册知识结构，系统把握本章内容。 2、总结本章的重点题型，把握解题的主要思路和方法

三. 教学重点、难点

重点问题专题讲解

四. 知识分析

（一）命题与量词： 1、逻辑联结词

对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的考查，一般融入到具体的数学问题之中，以代数、三角、解析几何的内容为载体，考查对逻辑知识的运用，一般难度不大。注意以下几点： （1）“或”与日常生活用语中“或”的意义有所不同，日常用语中的“或”有时带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x?6或x?9。

（2）集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”密切相关。

①A?B?{x|x?A，或x?B}，集合的并集是用“或”来定义的。 ②A?B?{x|x?A，且x?B}，集合的交集是用“且”来定义的。

/A}，集合的补集与“非”密切相关。 ③CUA?{x|x?U且x?④“或”、“且”的否定形式；“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”。 （3）对于“p或q”，只有p，q都为假时才为假，其他情况为真；对于“p且q”，只有p，q都为真时才为真，其他情况为假；非p的真假与p的真假相反。

2、四种命题。 原命题：如果p，那么q（或若p，则q）； 逆命题：如果q，则p； 否命题：如果?p，则?q； 逆否命题：如果?q，则?p。 注意：原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与它的否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。

3、充分条件与必要条件：

充分条件与必要条件是对命题进行研究的重要途径，因而这部分知识是高考的必考内容。高考一般以选择题形式出现，考查同学们的逻辑推理能力，往往与其它知识结合起来考查。应用充分条件、必要条件、充要条件时应注意以下几点：

（1）充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点： ①确定条件是什么，结论是什么；

②尝试从条件推结论，结论推条件； ③确定条件是结论的什么条件；

④要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立。证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性。 （2）对于充要条件，要熟悉它的同义词语。 在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”，“必须且只需”，“等价于”，“反过来也成立”，准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的。

4、全称量词与存在量词

全称量词与存在量词是新课标中的新增内容，在以往的高考中没有出现，为了体现新课标的精神，在今后的高考中一定会有体现，预计主要以选择题和填空题的形式出现，并且是和其他知识结合起来进行考查。

①全称量词：短语“对所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示。

注意：

（1）将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，?表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“?x?M，p(x)”。 （2）全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题。

（3）要判断全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题。

②存在量词 ：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示。 注意：

p(x)”（1）存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号简记为“?x?M，。

（2）存在性命题就是陈述在某集合中（存在）一些元素具有某性质的命题。

（3）要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，能找到一个x?x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题。

③关于全称命题与存在性命题的否定：

全称命题p：?x?M，p(x)，它的否定是?p：?x?M，?p(x)，全称命题的否定是存在性命题。

存在性命题p：?x?M，p(x)，它的否定是?p：?x?M，?p(x)，存在性命题的否定是全称命题。

［典型例题］

例1. 分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假。 （1）p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；

22（2）p：方程x?x?1?0的两实根符号相同，q：方程x?x?1?0的两实根绝对值相等；

（3）p：π是有理数，q：π是无理数。 解析：（1）p或q：菱形的对角线相等或互相垂直，真； p且q：菱形的对角线相等且互相垂直，假； 非p：菱形的对角线不一定相等，真。

2（2）p或q：方程x?x?1?0的两实根符号相同或绝对值相等，假； 2p且q：方程x?x?1?0的两实根符号相同且绝对值相等，假；

非p：方程x?x?1?0的两实根符号不同，真 （3）p或q：π是有理数或是无理数，真； p且q：π是有理数且是无理数，假； 非p：π不是有理数，真。

点评：判断含有逻辑联结词“且”、“或”、“非”的命题的真假，首先要弄清结构，先确定命题的构成形式以及构成它的命题p，q的真假，然后根据结论判断命题的真假。

2例2. 命题p：方程x?mx?1?0有两个不等的负实数根，命题q：方程

24x2?4(m?2)x?1?0无实数根。若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，试求m的??1?m2?4?0?解析：由p得?m?0

取值范围。

解得m>2

2由q知，?2?16(m?2)?16

2?16(m?4m?3)?0

解得1?m?3

因为“p或q”为真，“p且q”为假， 所以p为真，q为假；若p为假，q为真。

?m?2?m?2??m?1或m?3?即；或?1?m?3

解得m?3或1?m?2即为所求。

点评：该例涉及一元二次方程、一元二次不等式（组）、补集以及“p或q”，“p且q”两类命题的判断等知识。解答时，应注意层层推进，先将p，q化简，然后依题设条件“p或q”为真，“p且q”为假，推导出所有可能情况。

例3. 写出命题“当abc?0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

解析：原命题：如果abc?0，则a=0或b=0或c=0，是真命题。 逆命题：如果a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题。 否命题：如果abc?0，则a?0且b?0且c?0，是真命题。 逆否命题：如果a?0且b?0且c?0，则abc?0，是真命题。

点评：把原命题改成“如果p，则q”的形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题。在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律。

例4. 设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：

①如果存在常数M，使得对任意x?R，有f(x)?M，则M是函数f(x)的最大值； ②如果存在x0?R，使得对任意x?R，且x?x0，有f(x)?f(x0)，则f(x0)是函数

f(x)的最大值；

③如果存在x0?R，使得对任意x?R，有f(x)?f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值。

这些命题中，真命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：①错。原因：“=”可能取不到。 ②，③都正确。故选C。

例5. 写出下列命题的否定并判断其真假。 （1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

（2）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （3）p：某些梯形的对角线互相平分。 解析：（1）?p：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题。 （2）?p：任何一个三角形，它的内角和不大于180°，真命题。 （3）?p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题。

点评：首先要弄清楚命题是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定。

2例6. 是否存在实数p，使“4x?p?0”是“x?x?2?0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围。

2解析：x?x?2?0的解是x?2或x??1

由4x?p?0得要使

x??px??p4

4时，x?2或x??1成立，必须有

x??p4??1?x2?p4??1，即p?4。

当p?4时，有

?x?2?0

2所以当p?4时，“4x?p?0”是“x?x?2?0”的充分条件。

2点评：“4x?p?0”是条件，“x?x?2?0”是结论，先解出这两个不等式，再探究符合条件的p的范围。

（二）圆锥曲线：圆锥曲线是高中数学的重要内容，也是高考的热点问题。无论在选择题、填空题还是解答题中经常出现，学习时应引起同学们的足够重视，下面就圆锥曲线中的几个重要方面进行复习：

1、椭圆、双曲线、抛物线的定义：要准确的理解和掌握这三种曲线的定义，注意在定义中满足的几何条件，并能够应用定义解决一些简单的问题。

2、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：掌握三种曲线的标准方程，结合图形来进行记忆，弄清它的焦点在哪一个坐标轴上。

3、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质：这三种曲线的几何性质有许多类似的地方，应该对比来加以记忆，注意区分它们的不同点。下面几个方面同学们应注意：

（1）离心率的范围：椭圆中0?e?1，双曲线中e?1，抛物线中e?1；

（2）双曲线的渐近线：渐近线是双曲线特有的性质，要注意对它的理解掌握； （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线、一条对称轴。

［典型例题］

例7. 在△ABC中，BC=24，AC，AB边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹方程。

解析：如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。

知

设M是△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质

|BM|?23|BD|，|CM|?23|CE|。

于是

|BM|?|CM|?2323(|BD|?|CE|)

根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为焦点的椭圆。 因为2a?|BM|?|CM|?26，所以a=13。 又2c?|BC|?24，所以c?12。

22222于是b?a?c?13?12?25

??39?26x2。

点评：有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B，C以及△ABC的重心有关系，因此考虑以BC的中点为原点建立坐标系。解本题的关键是由三角形中线的性质推导出动点M到两个定点距离之和为定值。

25故△ABC重心的轨迹方程为169?y2?1(y?0)

例8. 若一个动点P（x，y）到两个定点F1（－1，0），F2（1，0）的距离之差的绝对值为定值a（a?0），求P的轨迹方程。

xa2?2y2()解析：（1）当0

（2）当a=0时，轨迹为F1F2的垂直平分线，即y轴，方程为x?0。 （3）当a=2时，轨迹是两条射线y?0(x?1)或y?0(x??1)。

（4）当a>2时，轨迹不存在。

点评：由题设条件，容易联想到双曲线，但注意到双曲线定义中的条件|F1F2|?a，而题中a与2的大小不确定，故需讨论。对双曲线定义的理解要准确，不能忽视定义中的限制条件。

2例9. 如图所示，AB为抛物线y?x上的动弦，且|AB|?a（a为常数且a?1），则弦AB的中点M与x轴的最小距离为__________。

解析：设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，且A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A'，M'，B'。 由抛物线的定义知：

|AF|?|AA'|?y1?y1?|AF|?1p2?y1?14，

1|BF|?|BB'|?y3?p2?y3?14

4所以

又M是线段AB的中点，

，y3?|BF|?4

所以

y2?12(y1?y3)

12)???121212(|AF|?|BF|?(|AB|?(a?12)12)

1等号在定长为a的弦AB过焦点F时成立，此时M点与x轴的距离最小，最小值为2（

a?12）。

2点评：本题运用了抛物线的定义，并注意挖掘题目中隐含的几何条件（三角形的性质），使解题过程简明快捷。另外，抛物线y?x过焦点的弦的最小长度为1，故a?1的条件保证了AB过焦点，即本题的最小值可以取到。

3?2，5例10. 已知双曲线过P1（

524）和P2（3?ny27，4）两点，求双曲线的标准方程。

解析：设所示双曲线方程为mx

45?4m?n?1??4??112m?16n?1??9 1?m????16??n?19?解得?

?1(mn?0)。

因为P1，P2在双曲线上，所以有：

y2

16所以所求双曲线方程为9。

点评：解完后才知焦点只能在y轴上！设的技巧值得同学们学习、掌握。

?x2?1 例11. 已知双曲线以2x?3y?0为渐近线，且过点（1，2），求该双曲线的方程。

2 解法一： 如图，由（1，2）在（1，3）的上方，可知焦点在y轴上。

y22 于是可设双曲线方程为a2?a???b3??41??2?12?b由已知?a?xb22?1(a?0，b?0)。

32?2?a?9??b2?8?2

9y故所求双曲线方程为32?x28?122解法二：设所求双曲线方程为4x?9y??(??0) 将（1，2）代入得??4?36??32 22故所示双曲线方程为4x?9y??32

9y2

点评：实际上，若利用已知渐近线的双曲线方程的巧设去处理，可使问题变得容易解决，解法二实际上是整体思维的模式，用处广泛，应引起同学们的重视。

8即32?x2?1

例12. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点（－3，m）到焦点的距离为5，求抛物线的方程。

2解析：若焦点在y轴的正半轴上，则可设方程为x?2py(p?0)

准线方程为

y??p2， 所以

m?(?p2)?5

?p2?5又因为9?2pm，所以

m?992p，所以2p。解得p=1或p?9。

22所以抛物线方程为x?2y或x?18y

2若焦点在y轴的负半轴上，则可设方程为x??2py(p?0)

pp准线方程为y?2，所以2?m?5

又因为9??2pm，所以

pm??92p。

所以2?92p?5。解得p=1或p=9

22所以抛物线方程为x??2y或x??18y。

点评：应分焦点在y轴正半轴和负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数求抛物线方程。

x22例13. 如图所示，从椭圆a?yb22?1(a?b?0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆

的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB与OM平行。 （1）求椭圆的离心率；

（2）设Q是椭圆上的任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；

（3）设Q是椭圆上一点，当QF2?AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若?F1PQ的面积为203，求此时椭圆的方程。

b?c，a） 解析：（1）设椭圆半焦距为c，则M（

2b2ba?因为AB//OM，所以?c?a

所以b?c，a?2c。故

e?ca?22。

|QF2|?r2，∠F1QF2??， （2）设|QF1|?r1，|F1F2|?2c 则r1?r2?2a1，cos??r1?r2?4c2r1r2222?(r1?r2)2?2r1r2?4c2r1r22所以

?2b2

r1r2?1?(2b2r1?r2?1?0)22

当且仅当r1?r2时，上式等号成立。

???[0，]2。 所以0?cos??1。即

（3）因为b?c，a?x2c，

22所以可设椭圆方程为2c?yc22?1

因为PQ⊥AB，

kAB??22，所以kPQ?2

所以直线PQ的方程为y?2(x?c)

22代入椭圆方程，得5x?8cx?2c?0

所以

|PQ|?(1?2)?[(8c5)2?4?2c5263c?2]?625c

因为点F1到直线PQ的距离所以由

S?F1PQ＝12d?|PQ|?12?d?c

c?435c2263625。

435c2?2032，得c?25

x225故所求椭圆方程为50

点评：本题主要考查椭圆的定义与性质、直线方程、点到直线的距离、解三角形、不等式等知识，综合性较强。

?y2?1

22例14. 已知直线ax?y?1?0(a??3)与双曲线3x?y?1交于A，B两点。 （1）若以AB为直径的圆过原点，求实数a的值；

（2）若A，B在双曲线的两支上，求实数a的范围。

?ax?y?1?0?22解析：由?3x?y?1

可得：(3?a)x?2ax?2?0 由于直线与双曲线有两个交点， 因此，可得：

??(?2a)222?4(3?a)?(?2)?062

??6?a?

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

y1则x1?y2x2??1

2即(ax1?1)(ax?1)??x1x2

2也就是(a?1)x1x2?a(x1?x2)?1?0

所以

解得a??1

23?a2(a2?1)??23?a2?a?2a3?a2?1?0

（2）若A，B在双曲线的两支上，则x1x2?0 即

??0

于是可得?3?a?3。

点评：涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常常将直线方程与圆锥曲线方程联立构成方程组，消元后，得到关于x（或y）的一元二次方程，再利用根与系数的关系进行求解，这是常用的方法，本题就是利用这个解题方法进行求解的。

2例15. 过点（－2，0）的直线l与抛物线y?x交于A、B两点，求AB的中点的轨迹程。

解析：易知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y?k(x?2)

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点坐标为（x，y），则x1?x2?2x。

2??y1?x1?2?y2?x2 于是?

相减得：y2?y1?(x2?x1)(x2?x1)

y2?y1那么x2?x1k?y?2x

?y2?y1x2?x1?2x由于

x?2

所以y?2x(x?2)

2即y?2x?4x

?y?k(x?2)?2又由?y?x，得： x?kx?2k?0

2由??(?k)?4?(?2k)?0，得： k>0或k??8。又k=2x， 所以x>0或x<－4

22 因此轨迹方程为y?2x?4x(x?0或x??4)。 点评：整体运算是一种运算策略，它通过整体推理、整体代换等手段有效地绕过许多中间环节使运算直指结论。本题借助整体运算产生中点轨迹方程，其过程既简炼，运算又简单。

（三）导数及其应用：此部分内容要求大家掌握以下几点内容： 1、导数的定义、基本初等函数导数表、导数的运算法则； 2、会用导数来研究曲线的切线问题；

3、会利用导数求函数的单调区间和极值（最值）问题。

［典型例题］

例16. 若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 A. 4x?y?3?0 B. x?4y?5?0

C. 4x?y?3?0 D. x?4y?3?0

解析：与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x在某一点的导数为4，而y??4x，所以y?x在（1，1）处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0，故选A

点评：准确理解导数的几何意义是解决此问题的关键。

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