2011年汕头市第一次学业水平测试（数学理）

2011年汕头市第一次学业水平测试

数学理试题

本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位

号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错

涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1．复数

1的虚部是 ?2?i11A．? B．?i

55 C．

（ ）

1 5D．i

（ ）

152. 设集合M?x0?x?3，N?x0?x?1，那么“a?M”是“a?N”的

A．充分不必要条件 C．充要条件

????B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件 SS3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足3?2?1，则数列{an}的公差是（ ）

321 A． B．1 C．2 D．3

2

4．根据表格中的数据，可以判定函数 f(x)?e?x?2的一个零点所在的区间为

x?k,k?1??k?Z?，则k的一个值为（ ）

A．0 B．-1 C．2 D．1

x ex －1 0.37 0 1 2 7.39 3 20.09 12.72 [。 2 3 x?2

- 1 -

1 4 5 甲 乙

5．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设s1,s2分别

表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，x1,x2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有 A．x1?x2，s1?s2 B．x1?x2， s1?s2 C．x1?x2， s1?s2 D．x1?x2， s1?s2 6．若函数y?Asin(?x??)（A?0，??0，|?|? 3 5 6 6 0

1 2

4 6 1 4 5

（ ）

?2?????????示，M,N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM?ON?0（o为坐标原点），则A???（ ）

）在 一个周期内的图象如图2所

7? 12677? ? C．D．637．下面为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）

A．

B．?图2

正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形

侧视图： 上半部分是半径1为1的圆，下半部分是4高为1的矩形 俯视图： 半径为1的圆

A.

3?2?3?4? B. C. D. 2343321y8．图3中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高

为2和3的两矩形所构成．设函数S?S(a)(a≥0) 是图3中阴影部分介于平行线y?0及y?a之间的那 一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为（ ） y=a123Ox图3 S(a)S(a)S(a)S(a)- 2 - O123aO123a

二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题） 9．二项式(x?2x)12的展开式中常数项是第 项。

10．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为

n，向量p=（

m,n）

,q=（

3,6）

,则向量p与q共线的概率为[ ．]

0?x?2??11．若平面区域?0?y?2是一个梯形，则实数k的取值范围是[ ．

??y?kx?2y2x212．若双曲线2－2=1的渐近线与圆(x?2)2?y2?3相切，则此双曲线的离心率

ab为 ．

13．按下列程序框图运算：若输入x?5，则输出

开始 k= ；若输出k=3，则输入x的取值范围是 ．

输入x （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，正?ABC的边长

k=0 为2，点M,N分别是边AB,AC的中点，直线

MN与?ABC的外接圆的交点为P、Q，则线段PM= ．

15．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为

x?3x?2 k= k+1 是 x?244? 否 输出x, k ??2sin?，过极点的一条直线l与圆相交于

O，A两点，且∠AOX?45?，则OA= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分l2分）

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a, b,

P A 结束 M Q N C B

- 3 -

c. m?(1,1),

n?(3?sinBsinC,cosBcosC), 且m?n. 2（Ⅰ）求A的大小; （Ⅱ）若a?1, b?3c. 求S△ABC。

17．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

1 1.5 2 日销

售量

10 25 15 频数

0.2 频率

（Ⅰ）填充上表； （Ⅱ）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立. ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率； ②已知每吨该商品的销售利润为2千元，?表示该种商品两天销售利润的和（单位： 千元），求?的分布列.

18．（本小题满分14分）

如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。 （Ⅰ）求证：BC?BE； （Ⅱ）求正方形ABCD的边长；

DEFABF （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值。 AF - 4 - CBE

19．（本小题满分14分）

x2y2给定椭圆C：2?2?1 ?a?b?0? ，称圆心在坐标原点O，半径为a2?b2的圆abF2是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是F1?2,0、????????????一动点M1满足M1F1?M1F2?23．

（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程 （Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0,

???2,0，椭圆C上

?m）?m?0?，使得过点P作直线l与椭圆C只有

一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

20.（本小题满分14分）

设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足bn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，n?N?，已知

b1?m，b2?3m，其中m?0． 2

（Ⅰ）求数列{an}的首项和公比； （Ⅱ）当m?1时，求bn；

（Ⅲ）设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有Sn?[1,3]，求实数m的

取值范围．

- 5 -

21．（本小题满分14分）

?(x2?2ax)ex,x?0已知函数f(x)??,g(x)?clnx?b,且x?2是函数y?f(x)的

bx,x?0,?

极值点。 （Ⅰ）当b??2时，求a的值，讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）当b?R时，函数y?f(x)?m有两个零点，求实数m的取值范围. （Ⅲ）是否存在这样的直线l，同时满足：

l是函数y?f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线 ①

l与函数y?g(x) 的图象相切于点P(x0,y0),x0?[e?1,e]， ②

如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由。

参考答案

- 6 -

一、选择题：ABCD BCDC 1．A．解：因为

1?2?i?2?i21?????i，

?2?i(?2?i)(?2?i)55511的虚部是?

5?2?i所以复数

2．B．解：因为?N?M且N?M?a?N?a?M，且a?M?a?N，?“a?M”

是“a?N”的必要不充分条件。

3．C；解：S3?a1?a2?a3?3a1?3d，S2?a1?a2?2a1?d；

SSd?d?∴3?2??a1?d???a1???=1，因此d?2． 322?2?4．D 由表可知 k?1时 f(1)?f(2)?0?零点在(1,2)内。

5．B 解：计算得x1?x2=20，s1?14694，所以选B。 ?s2?552??2，又

6．C 解：由图像知T?4?(

?3??12)??，所以???7?7?2OM?(,A),ON?(,?A),?OM?ON??A2?0

1212144?

?A?77 ??A???1267．D 解：根据题意，该几何体图为圆柱和一个1/4的球的组合体，所以体积为

V???12?1?144???12??。 4338．C 解：由图2中阴影部分介于平行线y?0及y?a之间的那一部分的面积的增速知C答案符合。

三、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分 （二）必做题（9～13题）

6?r1r3r6?rr9． 5 。 解：?Tr?1?C6x()?C6x2,?6?r?0即r?4，所以常数项是

2x3第5项。

10．

1 . 解：向量p与q共线得6m?3n即2m?n，符合要求的（ 12m,n）

有：（1,2），（2,4），（3,6），则向量p与q共线的概率为

31?。 3612

- 7 -

0?x?2??11． ?2,??? 解：平面区域?0?y?2是一个梯形，

??y?kx?2

则图形如右图，所以实数k的取值范围是?2,???。

yy=kx-22y=kx-2by2x212．2 解：双曲线2－2=1的渐近线为y??x

aab

即bx?ay?0，圆(x?2)2?y2?3的圆心（2,0）到

o2xbx?ay?0的距离为d?-22ba?b22?3,得

所以双曲线的离心率e?c2?a2a2?b2?2。 a213． 4， （3分）； (10, 28]（2分）

解：若输入x?5，则k=4时，x?187?3?2?244，则输出k=4；

即x?28，当k=3时3(9x?8)?2?244若输出k=3，则k=2时9x?8?244即x?10

所以输入x的取值范围是(10, 28]。

（三）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．

5?1 2

解：设PM?x，则QN?x,由相交弦定理可得PM?MQ?BM?MA

即x?(x?1)?1?x?5?1. 215．___2___．

22解：圆C的直角坐标系方程为：x?(y?1)?1，圆心（0,1）到直线OA:y?x的

距离为

2，则弦长OA=2。 2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分l2分）

解：（1）

? m?n?3?sinBsinC?cosBcosC?0 …………… 2分 2?cos(B?C)??

33 即 ?cosA? ……………… 4分 22- 8 -

?0?A?? ……………… 5分 ?A为?ABC的内角，?A??6 ……………… 6分

2222（2） 若a?1, b?3c.由余弦定理b?c?a?2bc?cosA得c?1 … 2分

所以S?ABC?1323 ……………… 6分 bc?sinA?c?24417．（本小题满分12分）

解：（ 1 ） 求得0.5 a?b?0.3. …… 2分 （ 2） ①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概

率p?0.5 …… 1分

设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5,0.5） …… 2分

2P(X?2)?C5?0.52?(1?0.5)3?0.3125 …… 4分

?的可能取值为4,5,6,7,8，则 ②

P(??4)?0.22?0.04

P(??5)?2?0.2?0.5?0.2

P(??6)?0.52?2?0.2?0.3?0.37

P(??7)?2?0.3?0.5?0.3

P(??8)?0.32?0.09 （

分

每个1分） …… 9

?的分布列:

?

p

4 0.04

5 0.2

6 0.37

7 0.3

8 0.09

…… 10分 18．（本小题满分14分）

解：（1）? AE是圆柱的母线?AE?底面BEFC, …… 1分 又BC?面BEFC ?AE?BC …… 2分 ?又?ABCD是正方形 ?AB?BC

又AE?AB?A?BC?面ABE …… 3分 又BE?面ABE ?BC?BE …… 4分

- 9 -

（2）?四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方形 ?EF//BC

?BC?BE?四边形EFBC为矩形 ?BF为圆柱下底面的直径 …… 1分 设正方形ABCD的边长为x，则AD=EF=AB=x

在直角?AEB中AE=2，AB=x，且BE2+AE2= AB2，得BE2=x2-4

在直角?BEF中BF=6，EF=x，且BE2+EF2= BF2，的BE2=36-x2 …… 2分

解得x=25，即正方形ABCD的边长为25 …… 3分 （3）解法一：如图以F为原点建立空间直角坐标系, z则A（

25，0，2） ,B（ 25，4，0） ,E（ 25，0，0）DFA?（ 25，0， 2） ,FB?（ A25，4，0） , FE?（

25，

0

，

0

）

FCy 设面AEF的法向量为n?（

x，y，xEBz） ，则

??n?FA?(x ，y ，z )?(25,0 ,-2)?25x-2z?0 ?n?FB?(x ，y ，z )?(25,4 ,0)?25x-4y?0 … 3分 令x?1，则y?552,z?5,即n?（ 1，

2，5） …… 4分 设直线EF与平面ABF所成角的大小为?，则

sin??COS?n,EF??n?EF25n?EF??229 …… 6分 25?54?1?529所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为

22929。 …… 7分

解法二：如图以E为原点建立空间直角坐标系, 则A（0，0，2） ,B（4，0，0） ,F（0，25，0） , zDAy - 10 - FCEBx,

…… 1分

BF?（-4，25，0）, AF?（0，25，-2） EF?（0，25，0） …… 1分

设面AEF的法向量为n?（x，y，z） ，则

,

?n?AF?(x ，y ，z )?(0 ,25,-2)?25y-2z?0 …… 3分 ??n?BF?(x ，y ，z )?(-4 ,25,0)?25y-4x?0令y?1，则x?55，1，5） …… 4分 ,z?5,即n?（

22设直线EF与平面ABF所成角的大小为?，则

sin??COS?n,EF??n?EFn?EF?25229 …… 6分 ?29525??1?54229。 …… 7分 29所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为19．（本小题满分14分）

解：（1）由题意得：2a?23得a?3，半焦距c?2 …… 2分

x2则b?1椭圆C的方程为．．．3分 ?y2?1 ．

3“伴随圆”的方程为x?y?4 ．．．．5分 （2）假设y轴上存在点P（

0,

22m） ?m?0?，

则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y?kx?m， …… 1分

则

?y?kx?m?2 ?x2?y?1??32整理得1?3k2??x?2．．．．．．3分 ?6kmx?3m2?3?0 ．

??所以???6km??41?3k23m2?3?0???，

．．．．5分 3k2?1?m2 ①

又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，

22?m?m?2k?1 化简得??222???2??k?1?22则有2??② ．．．．7分

- 11 -

联立①②解得，k2?1,m2?4，所以k??1,m??2(?m?0)

0,

所以y轴上存在点P（

20.（本小题满分14分）

?2）

．．．．9分

⑴由已知b1?a1，所以a1?m； ．．．．1分

3mb2?2a1?a2，所以2a1?a2?m，解得a2??； ．．．．2分

221所以数列{an}的公比q??； ．．．．3分

2?1?⑵当m?1时，an?????2?n?1， ．．．．1分

bn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，………………………①，

1， ．．．．2分 ?bn?na2?(n?1)a3???2an?an?1，……………………②

23②－①得?bn??n?a2?a3???an?an?1，

21??1???1????2???2???n????n?1?1???1??， ．．．．4分 ????3?2?1??????1????2??n3所以?bn??n?22n22?1?6n?2?(?2)1?nbn??????? ．．．．．5分

399?2?9n?1?m[1????]n2m??1??2??⑶．．．1分 Sn????1?????， ．3?2?1??????1?????2??1?因为1?????0，所以由Sn?[1,3]得

?2?nn1?1?1?????2?n≤2m≤33?1?1?????2?n，．．．．2分

?1??3?注意到，当n为奇数时，1??????1,?； ．．．．3分

22?????1??3当n为偶数时，1??????,?2??4nn?1?， ．．．．4分 ?

- 12 -

33?1?所以1????最大值为，最小值为． ．．．．5分

24?2?对于任意的正整数n都有

n1?1?1?????2?n≤2m≤33?1?1?????2?n，

42m所以≤．．．6分 ≤2，解得2≤m≤3， ．

3321．（本小题满分14分）

解：（1）x?0时,f(x)?(x2?2ax)ex,

?f?(x)?(2x?2a)ex?(x2?2ax)ex?[x2?2(1?a)x?2a]ex．

．．．．1分

由已知得，f'(2)?0,?2?22?2a?22a?0,解得a=1． ……2分

?f(x)?(x2?2x)ex,?f'(x)?(x2?2)ex．

当x?(0,2)时，f?(x)?0，当x?(2,??)时，f?(x)?0．又f(0)?0， ．．．．3分 当b?1时，f(x)在(??,0)，(2,??)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ………4分 （2）由（1）知，当x?(0,2)时，f(x)单调递减，f(x)?((2?22)e2,0)

当x?(2,??)时，f(x)单调递增，f(x)?((2?22)e2,??). ………………2分 要使函数y?f(x)?m有两个零点，则函数y?f(x)的图象与直线y?m有两个不同的交点.

①当b?0时，m=0或m?(2?2)e2； ．．．．3分 ②当b=0时，m?((2?22)e2,0)； ．．．．4分 ③当b?0时,m?((2?22)e2,??).

．．．．5分

2x2x（3）假设存在， x?0时，f(x)?(x?2x)e,?f'(x)?(x?2)e

?f(2)?0,f'(2)?2e2

2函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线l的方程为：y?2e(x?2), ．．．．1分

?直线l与函数g(x)的图象相切于点P(x0,y0),x0?[e?1,e]，

cc?y0?clnx0?b，g'(x)?，所以切线l的斜率为g'(x0)?,

xx0- 13 -

所以切线l的方程为:y?y0?c(x?x0) x0

即l的方程为：y?cx?c?b?clnx0 …………2分 x0

c???2e2c?2e2x0?得? ??x022?b?c?clnx0?4e??c?b?clnx??4e0?得b?2e2(x0?x0lnx0?2)其中x0?[e?1,e]

．．．．3分

记h(x0)?2e2(x0?x0lnx0?2)其中x0?[e?1,e]

?h'(x0)?2e2(1?(lnx0?1))??2e2lnx0

令?h'(x0)?0得x0?1

1 0 ．．．．4分

x0 h'(x0) h(x0) (e?1,1) + (1，e) - 极大值?2e 2又h(e)??4e2，h(e?1)?4e?4e2??4e2

?x0?[e?1,e],?h(x0)?[?4e2,?2e2]

所以实数b的取值范围的集合：{b|?4e2?b??2e2}

…………5分

- 14 -

- 15 -

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

- 16 -

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