2011年汕头市第一次学业水平测试(数学理)
更新时间:2024-03-30 20:20:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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2011年汕头市第一次学业水平测试
数学理试题
本试卷共21小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位
号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时.请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错
涂、多涂的.答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。 1.复数
1的虚部是 ?2?i11A.? B.?i
55 C.
( )
1 5D.i
( )
152. 设集合M?x0?x?3,N?x0?x?1,那么“a?M”是“a?N”的
A.充分不必要条件 C.充要条件
????B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 SS3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足3?2?1,则数列{an}的公差是( )
321 A. B.1 C.2 D.3
2
4.根据表格中的数据,可以判定函数 f(x)?e?x?2的一个零点所在的区间为
x?k,k?1??k?Z?,则k的一个值为( )
A.0 B.-1 C.2 D.1
x ex -1 0.37 0 1 2 7.39 3 20.09 12.72 [。 2 3 x?2
- 1 -
1 4 5 甲 乙
5.甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示设s1,s2分别
表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差,x1,x2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数,则有 A.x1?x2,s1?s2 B.x1?x2, s1?s2 C.x1?x2, s1?s2 D.x1?x2, s1?s2 6.若函数y?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|? 3 5 6 6 0
1 2
4 6 1 4 5
( )
?2?????????示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且OM?ON?0(o为坐标原点),则A???( )
)在 一个周期内的图象如图2所
7? 12677? ? C.D.637.下面为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )
A.
B.?图2
正视图: 半径为1的半圆以及高为1的矩形
侧视图: 上半部分是半径1为1的圆,下半部分是4高为1的矩形 俯视图: 半径为1的圆
A.
3?2?3?4? B. C. D. 2343321y8.图3中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高
为2和3的两矩形所构成.设函数S?S(a)(a≥0) 是图3中阴影部分介于平行线y?0及y?a之间的那 一部分的面积,则函数S(a)的图象大致为( ) y=a123Ox图3 S(a)S(a)S(a)S(a)- 2 - O123aO123a
二、填空题:本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分,满分30分) (一)必做题(9~13题) 9.二项式(x?2x)12的展开式中常数项是第 项。
10.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为
n,向量p=(
m,n)
,q=(
3,6)
,则向量p与q共线的概率为[ .]
0?x?2??11.若平面区域?0?y?2是一个梯形,则实数k的取值范围是[ .
??y?kx?2y2x212.若双曲线2-2=1的渐近线与圆(x?2)2?y2?3相切,则此双曲线的离心率
ab为 .
13.按下列程序框图运算:若输入x?5,则输出
开始 k= ;若输出k=3,则输入x的取值范围是 .
输入x (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图,正?ABC的边长
k=0 为2,点M,N分别是边AB,AC的中点,直线
MN与?ABC的外接圆的交点为P、Q,则线段PM= .
15.(坐标系与参数方程选做题)
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为
x?3x?2 k= k+1 是 x?244? 否 输出x, k ??2sin?,过极点的一条直线l与圆相交于
O,A两点,且∠AOX?45?,则OA= .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分l2分)
已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a, b,
P A 结束 M Q N C B
- 3 -
c. m?(1,1),
n?(3?sinBsinC,cosBcosC), 且m?n. 2(Ⅰ)求A的大小; (Ⅱ)若a?1, b?3c. 求S△ABC。
17.(本小题满分12分)
某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下:
1 1.5 2 日销
售量
10 25 15 频数
0.2 频率
(Ⅰ)填充上表; (Ⅱ)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立. ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为2千元,?表示该种商品两天销售利润的和(单位: 千元),求?的分布列.
18.(本小题满分14分)
如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。 (Ⅰ)求证:BC?BE; (Ⅱ)求正方形ABCD的边长;
DEFABF (Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值。 AF - 4 - CBE
19.(本小题满分14分)
x2y2给定椭圆C:2?2?1 ?a?b?0? ,称圆心在坐标原点O,半径为a2?b2的圆abF2是椭圆C的“伴随圆”. 已知椭圆C的两个焦点分别是F1?2,0、????????????一动点M1满足M1F1?M1F2?23.
(Ⅰ)求椭圆C及其“伴随圆”的方程 (Ⅱ)试探究y轴上是否存在点P(0,
???2,0,椭圆C上
?m)?m?0?,使得过点P作直线l与椭圆C只有
一个交点,且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22.若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由。
20.(本小题满分14分)
设数列{an}为等比数列,数列{bn}满足bn?na1?(n?1)a2???2an?1?an,n?N?,已知
b1?m,b2?3m,其中m?0. 2
(Ⅰ)求数列{an}的首项和公比; (Ⅱ)当m?1时,求bn;
(Ⅲ)设Sn为数列{an}的前n项和,若对于任意的正整数n,都有Sn?[1,3],求实数m的
取值范围.
- 5 -
21.(本小题满分14分)
?(x2?2ax)ex,x?0已知函数f(x)??,g(x)?clnx?b,且x?2是函数y?f(x)的
bx,x?0,?
极值点。 (Ⅰ)当b??2时,求a的值,讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当b?R时,函数y?f(x)?m有两个零点,求实数m的取值范围. (Ⅲ)是否存在这样的直线l,同时满足:
l是函数y?f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线 ①
l与函数y?g(x) 的图象相切于点P(x0,y0),x0?[e?1,e], ②
如果存在,求实数b的取值范围;不存在,请说明理由。
参考答案
- 6 -
一、选择题:ABCD BCDC 1.A.解:因为
1?2?i?2?i21?????i,
?2?i(?2?i)(?2?i)55511的虚部是?
5?2?i所以复数
2.B.解:因为?N?M且N?M?a?N?a?M,且a?M?a?N,?“a?M”
是“a?N”的必要不充分条件。
3.C;解:S3?a1?a2?a3?3a1?3d,S2?a1?a2?2a1?d;
SSd?d?∴3?2??a1?d???a1???=1,因此d?2. 322?2?4.D 由表可知 k?1时 f(1)?f(2)?0?零点在(1,2)内。
5.B 解:计算得x1?x2=20,s1?14694,所以选B。 ?s2?552??2,又
6.C 解:由图像知T?4?(
?3??12)??,所以???7?7?2OM?(,A),ON?(,?A),?OM?ON??A2?0
1212144?
?A?77 ??A???1267.D 解:根据题意,该几何体图为圆柱和一个1/4的球的组合体,所以体积为
V???12?1?144???12??。 4338.C 解:由图2中阴影部分介于平行线y?0及y?a之间的那一部分的面积的增速知C答案符合。
三、填空题:本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分,满分30分 (二)必做题(9~13题)
6?r1r3r6?rr9. 5 。 解:?Tr?1?C6x()?C6x2,?6?r?0即r?4,所以常数项是
2x3第5项。
10.
1 . 解:向量p与q共线得6m?3n即2m?n,符合要求的( 12m,n)
有:(1,2),(2,4),(3,6),则向量p与q共线的概率为
31?。 3612
- 7 -
0?x?2??11. ?2,??? 解:平面区域?0?y?2是一个梯形,
??y?kx?2
则图形如右图,所以实数k的取值范围是?2,???。
yy=kx-22y=kx-2by2x212.2 解:双曲线2-2=1的渐近线为y??x
aab
即bx?ay?0,圆(x?2)2?y2?3的圆心(2,0)到
o2xbx?ay?0的距离为d?-22ba?b22?3,得
所以双曲线的离心率e?c2?a2a2?b2?2。 a213. 4, (3分); (10, 28](2分)
解:若输入x?5,则k=4时,x?187?3?2?244,则输出k=4;
即x?28,当k=3时3(9x?8)?2?244若输出k=3,则k=2时9x?8?244即x?10
所以输入x的取值范围是(10, 28]。
(三)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.
5?1 2
解:设PM?x,则QN?x,由相交弦定理可得PM?MQ?BM?MA
即x?(x?1)?1?x?5?1. 215.___2___.
22解:圆C的直角坐标系方程为:x?(y?1)?1,圆心(0,1)到直线OA:y?x的
距离为
2,则弦长OA=2。 2三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分l2分)
解:(1)
? m?n?3?sinBsinC?cosBcosC?0 …………… 2分 2?cos(B?C)??
33 即 ?cosA? ……………… 4分 22- 8 -
?0?A?? ……………… 5分 ?A为?ABC的内角,?A??6 ……………… 6分
2222(2) 若a?1, b?3c.由余弦定理b?c?a?2bc?cosA得c?1 … 2分
所以S?ABC?1323 ……………… 6分 bc?sinA?c?24417.(本小题满分12分)
解:( 1 ) 求得0.5 a?b?0.3. …… 2分 ( 2) ①依题意,随机选取一天,销售量为1.5吨的概
率p?0.5 …… 1分
设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨,则X~B(5,0.5) …… 2分
2P(X?2)?C5?0.52?(1?0.5)3?0.3125 …… 4分
?的可能取值为4,5,6,7,8,则 ②
P(??4)?0.22?0.04
P(??5)?2?0.2?0.5?0.2
P(??6)?0.52?2?0.2?0.3?0.37
P(??7)?2?0.3?0.5?0.3
P(??8)?0.32?0.09 (
分
每个1分) …… 9
?的分布列:
?
p
4 0.04
5 0.2
6 0.37
7 0.3
8 0.09
…… 10分 18.(本小题满分14分)
解:(1)? AE是圆柱的母线?AE?底面BEFC, …… 1分 又BC?面BEFC ?AE?BC …… 2分 ?又?ABCD是正方形 ?AB?BC
又AE?AB?A?BC?面ABE …… 3分 又BE?面ABE ?BC?BE …… 4分
- 9 -
(2)?四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方形 ?EF//BC
?BC?BE?四边形EFBC为矩形 ?BF为圆柱下底面的直径 …… 1分 设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x
在直角?AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2= AB2,得BE2=x2-4
在直角?BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2= BF2,的BE2=36-x2 …… 2分
解得x=25,即正方形ABCD的边长为25 …… 3分 (3)解法一:如图以F为原点建立空间直角坐标系, z则A(
25,0,2) ,B( 25,4,0) ,E( 25,0,0)DFA?( 25,0, 2) ,FB?( A25,4,0) , FE?(
25,
0
,
0
)
FCy 设面AEF的法向量为n?(
x,y,xEBz) ,则
??n?FA?(x ,y ,z )?(25,0 ,-2)?25x-2z?0 ?n?FB?(x ,y ,z )?(25,4 ,0)?25x-4y?0 … 3分 令x?1,则y?552,z?5,即n?( 1,
2,5) …… 4分 设直线EF与平面ABF所成角的大小为?,则
sin??COS?n,EF??n?EF25n?EF??229 …… 6分 25?54?1?529所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为
22929。 …… 7分
解法二:如图以E为原点建立空间直角坐标系, 则A(0,0,2) ,B(4,0,0) ,F(0,25,0) , zDAy - 10 - FCEBx,
…… 1分
BF?(-4,25,0), AF?(0,25,-2) EF?(0,25,0) …… 1分
设面AEF的法向量为n?(x,y,z) ,则
,
?n?AF?(x ,y ,z )?(0 ,25,-2)?25y-2z?0 …… 3分 ??n?BF?(x ,y ,z )?(-4 ,25,0)?25y-4x?0令y?1,则x?55,1,5) …… 4分 ,z?5,即n?(
22设直线EF与平面ABF所成角的大小为?,则
sin??COS?n,EF??n?EFn?EF?25229 …… 6分 ?29525??1?54229。 …… 7分 29所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为19.(本小题满分14分)
解:(1)由题意得:2a?23得a?3,半焦距c?2 …… 2分
x2则b?1椭圆C的方程为...3分 ?y2?1 .
3“伴随圆”的方程为x?y?4 ....5分 (2)假设y轴上存在点P(
0,
22m) ?m?0?,
则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为:y?kx?m, …… 1分
则
?y?kx?m?2 ?x2?y?1??32整理得1?3k2??x?2......3分 ?6kmx?3m2?3?0 .
??所以???6km??41?3k23m2?3?0???,
....5分 3k2?1?m2 ①
又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22,
22?m?m?2k?1 化简得??222???2??k?1?22则有2??② ....7分
- 11 -
联立①②解得,k2?1,m2?4,所以k??1,m??2(?m?0)
0,
所以y轴上存在点P(
20.(本小题满分14分)
?2)
....9分
⑴由已知b1?a1,所以a1?m; ....1分
3mb2?2a1?a2,所以2a1?a2?m,解得a2??; ....2分
221所以数列{an}的公比q??; ....3分
2?1?⑵当m?1时,an?????2?n?1, ....1分
bn?na1?(n?1)a2???2an?1?an,………………………①,
1, ....2分 ?bn?na2?(n?1)a3???2an?an?1,……………………②
23②-①得?bn??n?a2?a3???an?an?1,
21??1???1????2???2???n????n?1?1???1??, ....4分 ????3?2?1??????1????2??n3所以?bn??n?22n22?1?6n?2?(?2)1?nbn??????? .....5分
399?2?9n?1?m[1????]n2m??1??2??⑶...1分 Sn????1?????, .3?2?1??????1?????2??1?因为1?????0,所以由Sn?[1,3]得
?2?nn1?1?1?????2?n≤2m≤33?1?1?????2?n,....2分
?1??3?注意到,当n为奇数时,1??????1,?; ....3分
22?????1??3当n为偶数时,1??????,?2??4nn?1?, ....4分 ?
- 12 -
33?1?所以1????最大值为,最小值为. ....5分
24?2?对于任意的正整数n都有
n1?1?1?????2?n≤2m≤33?1?1?????2?n,
42m所以≤...6分 ≤2,解得2≤m≤3, .
3321.(本小题满分14分)
解:(1)x?0时,f(x)?(x2?2ax)ex,
?f?(x)?(2x?2a)ex?(x2?2ax)ex?[x2?2(1?a)x?2a]ex.
....1分
由已知得,f'(2)?0,?2?22?2a?22a?0,解得a=1. ……2分
?f(x)?(x2?2x)ex,?f'(x)?(x2?2)ex.
当x?(0,2)时,f?(x)?0,当x?(2,??)时,f?(x)?0.又f(0)?0, ....3分 当b?1时,f(x)在(??,0),(2,??)上单调递增,在(0,2)上单调递减. ………4分 (2)由(1)知,当x?(0,2)时,f(x)单调递减,f(x)?((2?22)e2,0)
当x?(2,??)时,f(x)单调递增,f(x)?((2?22)e2,??). ………………2分 要使函数y?f(x)?m有两个零点,则函数y?f(x)的图象与直线y?m有两个不同的交点.
①当b?0时,m=0或m?(2?2)e2; ....3分 ②当b=0时,m?((2?22)e2,0); ....4分 ③当b?0时,m?((2?22)e2,??).
....5分
2x2x(3)假设存在, x?0时,f(x)?(x?2x)e,?f'(x)?(x?2)e
?f(2)?0,f'(2)?2e2
2函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线l的方程为:y?2e(x?2), ....1分
?直线l与函数g(x)的图象相切于点P(x0,y0),x0?[e?1,e],
cc?y0?clnx0?b,g'(x)?,所以切线l的斜率为g'(x0)?,
xx0- 13 -
所以切线l的方程为:y?y0?c(x?x0) x0
即l的方程为:y?cx?c?b?clnx0 …………2分 x0
c???2e2c?2e2x0?得? ??x022?b?c?clnx0?4e??c?b?clnx??4e0?得b?2e2(x0?x0lnx0?2)其中x0?[e?1,e]
....3分
记h(x0)?2e2(x0?x0lnx0?2)其中x0?[e?1,e]
?h'(x0)?2e2(1?(lnx0?1))??2e2lnx0
令?h'(x0)?0得x0?1
1 0 ....4分
x0 h'(x0) h(x0) (e?1,1) + (1,e) - 极大值?2e 2又h(e)??4e2,h(e?1)?4e?4e2??4e2
?x0?[e?1,e],?h(x0)?[?4e2,?2e2]
所以实数b的取值范围的集合:{b|?4e2?b??2e2}
…………5分
- 14 -
- 15 -
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
- 16 -
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