高数答案（下）习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设f(x,y)?x2?y2,?(x,y)?x2?y2,求:f[?(x,y),y2].

答案：f(?(x,y),y2)?(x2?y2)2?y4?x4?2x2y2?2y4

二、求下列函数的定义域：

x2(1?y)22{(x,y)|y?x?1}; 1、f(x,y)? 221?x?yy2、z?arcsin {(x,y)|y?x,x?0};

x三、求下列极限：

x2siny 1、(x,ylim （0） )?(0,0)x2?y2 2、

y(1?)3x (e6)

(x,y)?(?,2)xlimx2y四、证明极限 (x,ylim不存在. )?(0,0)x4?y2证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y?x趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在

21, 21?,(x,y)?(0,0)?xysin22五、证明函数f(x,y)?? 在整个xoy面上连续。 x?y?0,(x,y)?(0,0)? 证明：当(x,y)?(0,0)时，f(x,y)为初等函数，连续。当(x,y)?(0,0)时，

1xysin?0?f(0,0)，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 (x,ylim)?(0,0)22x?y 在整个xoy面上连续。

六、设z?x?y2?f(x?y)且当y=0时z?x2，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=x2?x，z?x2?2y2?2xy?y § 2 偏导数

y?z?z?xy?z 1、设z=xy?xex ,验证 x?y?x?y?zy?z?z?z证明：?y?ex?ex,?x?ex，?x?y?xy?xy?xex?xy?z

?xx?y?x?yyyyy?z?x2?y231??,,12、求空间曲线?:?在点（）处切线与y轴正向夹角() 122y?4??2x3、设f(x,y)?xy?(y?1)2arcsin, 求fx(x,1) ( 1)

y4、设u?x, 求

zzy?u?u?u ， ，

?y?x?zzz?uz?u1y?uzy?1 解：??2xylnx ?xlnx ?x ，

?y?zy?xyy?2u?2u?2u25、设u?x?y?z，证明 : ???

?x2?y2?z2u6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由

222

1?22xsin,x?y?0?22f(x,y)?? x?y22?0,x?y?0?10?0 limf(x,y)?0?f(0,0) 连续； fx(0,0)?limsin 不存在， fy(0,0)?lim?0

2y?0x?0x?0y?0xy?07、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 limx?0f(a?x,b)?f(a?x,b)

x （2fx(a,b)） § 3 全微分 1、单选题

（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________

(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___

(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在 （C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在

2、求下列函数的全微分：

yyy11）z?ex dz?ex(?2dx?dy)

xx 2）z?sin(xy2) 解：dz?cos(xy2)(y2dx?2xydy)

yz?11y 3）u?x 解：du?xdx?xzlnxdy?2xzlnxdz

zzzyzyyy3、设z?ycos(x?2y)， 求dz(0,)4?

解：dz??ysin(x?2y)dx?(cos(x?2y)?2ysin(x?2y))dy ?dz|(0,?4)=

?4dx??2dy

4、设f(x,y,z)?

1z(?2dx?4dy?5dz) df(1,2,1) 求： 2225x?y?22?(x?y)sin5、讨论函数f(x,y)???0,?1x?y22,(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在（0，0）点处

的连续性 、偏导数、 可微性

1(x2?y2)sin?0?f(0,0) 所以f(x,y)在（0，0）点处连续。 解：(x,ylim)?(0,0)22x?y

f(?x,0)?f(0,0)f(0,?y)?f(0,0)?0,fy(0,0)?lim?0

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)?x?yf(?x,?y)?0 ?0，所以可微。

22(?x)?(?y) §4 多元复合函数的求导法则

dzvt1、 设z?u,u?sint,v?e，求

dttdzet?1 解：=cost.(sint)?et?lnsint?(sint)e?et

dt?z?z2x?3y,，求, 2、 设z?(x?y)?x?y?z2x?3y?1?(2x?3y)x(?y)?3x(?y2x?)3ylnx?( y), ?y?z?zyn?2y?nz 3、 设z?xf(2)，f 可微，证明x?x?yxfx(0,0)?lim?2z?2z?2z4、 设z?f(x?y,2xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求，， 22?x?x?y?y?z?2xf1??2yf2? , 解：?x2?z?z?2x(f11??(?2y)?f12??2x)?2f2??2y(f21??(?2y)?f22??2x) ??2yf1??2xf2? ,

?x?y?y22 =2f1??4xyf11???4(x2?y2)f12???4xyf22??

2?z?2z22?????????2f1??4y2f11???8xyf12???4x2f22?? ?2f?4xf?8xyf?4yf ,111122222?y?xyx?2z5、 设z?f(xy,)?g()，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求

xy?x?y?zy1?f1?y?2f2??g? ， 解：?xxy?2z11y11x?f1??y(f11??x?f12??)?2f2??2(f12??x?f22??)?2g??3g??

?x?yxxxxyydu6、 设u?F(x,y,z)，z?f(x,y)，y??(x)，求

dxdu??F1??F2???(x)?F3?(fx?fy???(x))。 解：dx?u?x?2y?2z?2z?2z?2z?0， 7、设z?z(u,v)，且变换? 可把方程62??2=0 化为 ?u?v?xv?x?ay?x?y?y? 其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值 (a?3)

?2z?2z?2z?2u?z?z?z?z?z?z??? 证明： ??2?a ??

?y?u?v?x?u?v?x2?u2?u?v?v22?2z?2z?2z?2z?2u2?u?42?4a?a??22?(a?2)?a2 22?u?v?x?y?u?v?y?u?v?u?v?2z?2z2?2z2?u?(6?a?a)2?0 a=3 得：(10?5a)?u?v?v8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,f1/(1,1)?a,f2/(1,1)?b

又，?(x)?f?x,f[x,f(x,x)]? 求 ?(1).和?/(1) (1) ,

(a+ab+ab2+b3)

§ 5 隐函数的求导公式

dy1、 设ylny?x?y，求

dxdy1?解：令F(x,y)?ylny?x?y，Fx??1,Fy?lny,? dxlnyz2222、 设z?z(x,y)由方程x?y?z?yf()确定，其中f可微，证明

y?z?z(x2?y2?z2)?2xy?2xz

?x?yx?2zy?z3、 设z?z(x,y)由方程?e所确定，其中f可微，求

z?x?yz?zz?zz?2z???,??, 3?xx(1?z)?y1?zx(1?z)?x?y?x2?y2?z2?1dyxdzdydz??4、 设?，求， ( ，?0) 22dxydxdxdx?z?x?y?z?z, 5、 设z?z(x,y)由方程F(xy,y?z,xz)?0所确定，F可微，求

?x?yFyFxF1?y?zF3??zF1?x?F2??z????,????解：令F(x,y,z)?F(xy,y?z,xz) ，则 ?xFz?yF????F2?xF3F2?xF3z6、设z?f(x,y)由方程z?x?y?ez?x?y?0所确定，求dz (dz??dx?dy) 7、设z=z(x,y)由方程 3xy?xcos(yz)?z3?y所确定，求

?z?z, , ?x?yyz()?z3xy.yln3?cos?zx.3xyln3?xzsin(yz)?1 , ???x?y3z2?xysinyz()3z2?xysin(yz)

§ 6 微分法在几何中的应用

1、 求螺旋线x?2cost,y?2sint,z?3t 在对应于t??4处的切线及法平面方程

解：切线方程为

x?2y?2???22z?3?4 3 法平面方程?2(x?2)?2(y?2)?3(z?3?)?0 4?x2?y2?z2?502、 求曲线? 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 222?z?x?yx?3y?4z?5 解：切线方程为 ，法平面方程：4x?3y?0 ??4?302223、 求曲面2x?3y?z?9在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为2(x?1)?3(y?1)?2(z?2)?0

x?1y?1z?2 及法线方程 ??2?324、 设f(u,v)可微，证明由方程f(ax?bz,ay?bz)?0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定

向量平行

证明：令F(x,y,z)?f(ax?bz,ay?bz)，则

????????Fx?f1a,Fy?f2a,Fz??bf1?bf2,?n?(f1a,f2a,?bf1?bf2)

23232323 ?n?(b,b,a)?0 ，所以在（x0,y0,z0）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。 5、 证明曲面x和为a

2?y?z?a(a?0）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方

2?32?32?3证明：令F(x,y,z)?x?y?z?a，则Fx?x,Fy?y,Fz?z,

333 在任一点?x0,y0,z0?处的切平面方程为x0 在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z132313?1323232323111(x?x0)?y0(y?y0)?z0(z?z0)?0

1323?13?13a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和为a2

23y?xf()上任意一点M(x0,y0,z0),(x0?0)处的切平面都通过原点

x7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有F(tx,ty,tz)?tkF(x,y,z) k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：F(tx,ty,tz)?tkF(x,y,z) 两边对t 求导，并令t=1 xFx?yFy?zFz?kF(x,y,z)

设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：

Fx(x0,y0,z0)(x?x0)+Fy(x0,y0,z0)(y?y0)+Fz(x0,y0,z0)(z?z0)=0 此平面过原点（0，0，0）

§ 7 方向导数与梯度

1、 设函数

f(x,y)?x2?xy?y2， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。

2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向 解：梯度为 grad(1f,3)??i?5j,

到

最小值的方向为?s?f?l(1,3)??cos??5sin? , 方向导数达到最大值的方向为s?(?1,5)，方向导数达

?(1,?5)。

2、 求函数u?xy2?yz2?zx2在（1，2，-1）处沿方向角为??600??900??1500的方

?u?l?1?向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。

33，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 (1,2,?1)2?u gradu(1,2,?1)?2i?5j?3k，此时最大值为 38 (1,2,?1)??l解：：方向导数 为3、 求函数u?xy2z3在（1，1，-1）处沿曲线x?t,y?t2,z?t3在（1，1，1）处的切线正方

向（对应于t增大的方向）的方向导数。

?u?u?u?y2z3,?2xyz3,?3xy2z2，s?(1,2,3)，?该函数在点（1，1，-1）处的方 ?x?y?z?u4? 向导数为， (1,1,?1)?l142224、求函数u?ln(y?z?x)在（1，1，-1）处的梯度。

?u2x?u2y?u2z?2,?,?解：：， 22222222?xx?y?z?yx?y?z?zx?y?z解：：

gradu(1,1,?1)?222i?j?k 333

§ 8

多元函数的极值及求法

1、求函数f(x,y)?3x2?3y2?2x?2y?2的极值。

11 答案：（，）极小值点

33 2．求函数f(x,y)?x2?y2?2lnx?18lny的极值 答案：极小值f(1,3)?10?18ln3

3. 函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、求函数z?x2?y2?1在条件x?y?3?0下的条件极值

解：F(x,y,?)?x2?y2?1??(x?y?3)

?Fx?02211 ，极小值为 ?(,)?F?0332?y5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。 （长和宽2米，高3米）

6、 在球面x2?y2?z2?5r2（x?0,y?0,z?0）上求一点，使函数

f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证

a?b?c5明?a,b,c 有abc3?27()

52222证明：令L?lnx?lny?3lnz??(x?y?z?5r) ?L?L?L?0,?0,?0，x2?y2?z2?5r2解得驻点x?y?r,z?3r。所以函数令?x?y?zf(x,y,z)?lnx?lny?3lnz在x?y?r,z?3r处达到极大值。极大值为ln(33r5)。x2?y2?z25)，令即xyz?33r?xy(z)?27(r)?27(5a?b?c5x2?a,y2?b,z2?c,得abc3?27()。

535222325x2y2 7、求椭球面??z2?1被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的

32 长度

x2y2?z2?1)??2(x?y?z) 解： F?x?y?z??1(?322222?1x?F?2x???2?0?x3?F?2y??y???0y12??3?2??2??2? ?Fy?2z?2?1z??2?0 x?，y?，z?

2(3??)2??2(1??)111?22?x??3?y?z2?1?x?y2?z?0

?1??(x2?y2?z2)??d2 ??11?136 长半轴 11?136， 短半轴 11?131?6

第八章 自测题

一、选择题：（每题2分，共14分）

?xy21、设有二元函数f(x,y)???x2?y4,(x,y)?(0,0), 则 [ ]

??0,(x,y)?(0,0),A、ylim)?(0,0)f(x,y)存在；

(x,B、(x,ylim)?(0,0)f(x,y)不存在；

C、(x,ylimy)在(0,0)处不连续； )?(0,0)f(x,y)存在， 且f(x,D、

(x,ylim)?(0,0)f(x,y)存在， 且f(x,y)在(0,0)处连续。

2、函数f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在且连续是f(x,y)在P0(x0,y0)连续的[ A、必要条件； B、充分条件；

C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。

?xy3、函数f(x,y)???x?y,x?y, 在(0,0)点处 [ ]

??0,x?yA、极限值为1； B、极限值为-1；

C、连续； D、无极限。

4、z?f(x,y)在P0(x0,y0)处fx(x,y)，fy(x,y)存在是函数在该点可微分的 [ ] （A）必要条件； （B）充分条件；

（C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。 5、点O(0,0)是函数z?xy2的 [ ]

（A）极小值点； （ B）驻点但非极值点； （C）极大值点； （D）最大值点。

6、曲面ez?z?xy?3在点P(2,1,0)处的切平面方程是 [ ]

（A）2x?y?4?0； （B）2x?y?z?4； （C）x?2y?4?0； （D）2x?y?5?0

]

7、已知函数u?f(t,x,y),x??(s,t),y??(s,t)均有一阶连续偏导数，那么

(A)fx?t?fy?t; (B) ft?fx?t?fy?t; (C) f??t?f??t; (D) ft?f??t?f??t 二、填空题：（每题３分，共18分）

?u?[ ] ?tx2siny? （ 0 ） 1、lim(x,y)?(0,0)x2?y2?3fz1?3xyz?x2y2z2) ） ２、设f(x,y,z)?e，则?（ exy(?x?y?z?sin(xy),xy?0,?３、设f(x,y)??y2则fx(0,1)?( 0 )

?xy?0,?0,x４、设z?(x?2y)，则在点(1,0)处的全微分.dz?(dx?2dy)

xyz2??y?x５、曲线?在点P0(1,1,1)处的切线方程为

2??x?zx?1y?1z?1( ) ??214?x2?y2?z2?3xx?1y?1z?1６、曲线?在点(1,1,1)处的切线方程为( ) ??2102x?4y?6z?4?三、计算题（每题6分）

1、设f(x,y)?xln(x?y)，求f(x,y)的一阶偏导数

222xy2x2f(x,y)? ， 。 fx(x,y)?ln(x?y)?2y222x?yx?y22?x??，求此函数在点P0(1,1)处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 f(x,y)?ln?x???y??1?f2?(2,?1) P0到P方向的方向导数 ( ，) df?dx?dy1(1,1)?l25?2z?2y?３、设z?f?xy,?,f具有各二阶连续偏导数，求

x??x?y?2?2z?1???y??z3解： ?2xf1?2f2?2xf11?yf12?3f22xx?x?y?x?y1?2222,x?y?0?x?ysin22４、设f(x,y)?? 求fx(x,y)和fy(x,y)。 x?y?0,x2?y2?0?1xsin2f(x,0)?f(0,0)x不存在，故f(0,0)不存在，同理，f(0,0)也不存在。 lim ?limyxx?0x?0x?0x 当(x,y)?(0,0)时，有

2、设

fx(x,y)?fy(x,y)?xx2?y2y

x2?y212y1 sin?2cos23/2222222(x?y)x?yx?yx?yz?x?ysin1?2x1 cos(x2?y2)3/2x2?y2５、设z?f(x,y)由方程z?x?y?e?0所确定，求dz ( dz??dx?dy)

?2z６、设z?f[?(x)?y,?(y)?x]，f具有连续的二阶偏导数，?,?可导，求

?x?y?2z?z???f12????(y)]?[?f21???f22????(y)] ???(x)[?f11 ?f1???(x)?f2?

?x?y?x???[??(x)??(y)?1]f12?????(y)f22?? ????(x)f1122??u???x?y?u??0７、设?确定函数u?u(x,y),???(x,y)，求。 ,222??x?y?xy?u???0?u4xu?u2??4x???y2?,??x2(u2??2)?x2(u2??2)

?u2y??xy???2yu?xy??2,?22?y?yu??u??21?2u?2u?2u222８、设u?f(x?y?z)，式中f二阶可导，求2?2?2

222?x?y?zx?y?z解：记r?x2?y2?z2，则 f(r)u??f(r)?r?1

r?uf?(r)r?f(r)?uf?(r)r?f(r)?uf?(r)r?f(r)?x,?y，?z 3?xr3?yr3?zr?2ur2f??(r)?3[f?(r)r?f(r)]2f?(r)r?f(r)??x? 253?xrr类似地，有

?2ur2f??(r)?3[f?(r)r?f(r)]2f?(r)r?f(r)??y? 253?yrr?2ur2f??(r)?3[f?(r)r?f(r)]2f?(r)r?f(r)??z? 253?zrr

?2u?2u?2ur2f??(r)?3[f?(r)r?f(r)]23[f?(r)r?f(r)]?2?2??r? 253?x?y?zrrf??(r)?

r四、（１０分）试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。

111设三个正数为x,y,z，则x?y?z?a，记F???，令

xyz

6、求圆柱体x2?y2?2Rx包含在抛物面x2?y2?2Rz和xoy平面之间那部分立 体的体积

123?R32 解：V??? (x?y)dxdy?2R4x2?y?2Rx 第九章 自测题

一、选择题: （40分） 1、?dx?011?x0f(x,y)dy=( )

1?x0 A?dy?f(x,y)dx B ?dy?00111000111?x0f(x,y)dx f(x,y)dx.

D C ?dy?f(x,y)dx D?dy?1?y0 2、设D为x2?y2?a2,当a?( )时,??a2?x2?y2dxdy??. A 1 B 3331 C 3 D 3 2423、设I???(x2?y2)dxdy,其中D由x2?y2?a2所围成,则I=( B ).

D2?a2?a1 A?d??a2rdr??a4 B?d??r2?rdr??a4;

000022?a2?a2 C?d??r2dr??a3 D?d??a2?adr?2?a4.

00003 4、设?是由三个坐标面与平面x?2y?z=1所围成的空间区域,则

???xdxdydz=( ).

?1111 B ? C D ? .

24482448z2x2y2 5 、设?是锥面2?2?2(a?0,b?0,c?0)与平面x?0,y?0,z?c所围成的

cabxydxdydz=( ). 空间区域在第一卦限的部分,则???z?1111 Aa2b2c B a2b2b C b2c2a D cab.

36363636 6、计算I????zdv,?为z2?x2?y2,z?1围成的立体,则正确的为( )和（）

A

? A I??d??rdr?zdz B I??d??rdr?zdz

00000r2?112?11 C I??d??dz?rdr D I??dz?d??zrdr.

00r0002?1112?z 7、曲面z?x2?y2包含在圆柱x2?y2?2x内部的那部分面积s?( )

A 3? B 2? C 5? D 22?.

8、由直线x?y?2,x?2,y?2所围成的质量分布均匀(设面密度为?)的平面薄板,关于x轴的转动惯量Ix=( ).

A 3? B 5? C 4? D 6?

二、计算下列二重积分:（20分）

1、??(x2?y2)d?,其中D是闭区域:0?y?sinx,0?x??. (?2?D40) 92、??arctand?,其中D是由直线y?0及圆周x2?y2?4,x2?y2?1,y?x所围

Dyx 成的在第一象 限内的闭区域 . (

32

?) 64

3、??(y2?3x?6y?9)d?,其中D是闭区 域:x2?y2?R2 (

D?4R4?9?R2)

5?.) 2D三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）

4、??x2?y2?2d?,其中D:x2?y2?3. ( 1、?dy?012y0f(x,y)dx??dy?133?y0f(x,y)dx (?dx?x023?xf(x,y)dy)

2 2、?dx?011?1?x2xf(x,y)dy

22y?y210(?dy?f(x,y)dx??dy?00a1y2f(x,y)dx)

a 3、?d??f(rcos?,rsin?)rdr (?d??f(rcos?,rsin?)rdr)

0000??四、计算下列三重积分:（15分）

1、???ycos(x?z)dxdydz,?:抛物柱面y?x及平面y?o,z?o,x?z???2所围

成的区域 (

1?) 1622、???(y2?z2)dv,其中?是由xoy平面上曲线y2?2x绕x轴旋转而成的曲面与

??2250?) 3xyz五、（5分）求平面???1被三坐标面所割出的有限部分的面积 .

abc122ab?b2c2?c2a2) (211y11六、（5分）设f(x)在[0,1]上连续,试证: ???f(x)f(y)f(z)dxdydz?[?f(x)dx]3

0xx60 平面x?5所围 (

F(x)??f(t)dt,则F?(x)?f(x)0x且F(t)??f(x)dx,F(0)?001

1x?0?x?xf(x)f(y)f(z)dxdydz??f(x)dx?f(y)[F(y)?F(x)]dy?

011y1

1?011111f(x){[(F2(1)?F2(x)]?F(x)F(1)?F2(x)}dx=F3(1)?F3(1)?F3(1)=F3(1)

22626

第十章 曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分

1设 L关于x轴对称，L1表示L在x轴上侧的部分，当f?x,y?关于y是偶函数时，

?f?x,y?ds?

LA.0 B. 2?f?x,y?ds C. ?2?f?x,y?ds D.ABC都不对

L1L12、设L是以点A?1,0?,B?0,1?,C??1,0?,D?0,?1?为顶点的正方形边界,则?Ldsx?y=

A. 4 B.2 C. 42 D. 22

t2t33、有物质沿曲线L：x?t,y?,z??0?t?1?分布，其线密度为??2y,，则它

23 的质量m?

1241211 A.?t1?t?tdt B.?t001?t?tdt C.

24?01?t?tdt D.

24?0t1?t2?t4dt

4．求?xds,其中L为由y?x,y?x2所围区域的整个边界

L解：?011y1?dy?4y1?02xdx?12 55?1?122??5．?yds,其中L为双纽线(x2?y2)2?a2(x2?y2)(a?0)

L解：原积分=4?yds?4?r???sin?r?rd??4a4?2'22L10???40sin?d??2a22?2

??6．?x2?y2ds, 其中L为x2?y2?axL??a?0?

原积分=2?2?acostadt?2a2

027．?x2ds,其中L为球面x2?y2?z2?a2与平面x?y?0的交线

L解：将x?y代入方程x2?y2?z2?a2得2x2?z2?a2于是 L的参数方程：x?原积分=?2?a2cost,y?a2sint,z?asint，又ds?adt

0a2?cos2tadt?a3 228、求均匀弧x?etcost,y?etsint,z?et????t?0? 的重心坐标

0ds?3edt,M?t???13edt?3，x0?Mt0???etcost3etdt?211，y0??,z0? 552

§2 对坐标的曲线积分 一、选择题

1.设L关于x轴对称，L1表示L在x轴上侧的部分，当P?x,y?关于y是偶函数 时，?P?x,y?dx? A.0 B. 2?P?x,y?dx C.?2?P?x,y?dx D.ABC都不对

LL1L12．设L为x?y?1的正向，则?Lxdx?ydy? A.0 B.4 C.2 D.-2 x?yx2?y2? A.2?3．L为x2?y2?a2的正向，?L(x?y)dx?(x?y)dy B.-2? C.0 D.?

二、计算

1．?x2?y2dx?x2?y2dy，其中L由曲线y?1?1?x?0?x?2?从

???? A?2,0?到O?0,0?方向

解：B?1,1?AB:y?2?x,x:2?1;BO:y?x,x:1?0

_______LI?___??____????x212??2?x?dx?x??2?x?2??2???1?dx???x102?x2dx???4 3ABBO2．?x2?y2dx?y(xy?ln(x?x2?y2)dy 其中L是正向圆周曲线

L?? x2?y2?a2

解： 由奇偶对称性

?Lx2?y2dx?0，L：x?acost,y?asint,t:????

?23I?????a4sintcostdt?asintcostln?a?1?cost??dt?2???a4asintcostdt??

4422

3．?xdx?ydy??x?y?1?dz其中为从点A?1,1,1?到B?2,3,4?的有向线段

? 解：?方程：x?t?1,y?2t?1,z?3t?1，

I???14t?6?dt?13

01三、过O?0,0?和A?,0的曲线族y?asinx?a?0?，求曲线L使沿该曲线从O?0,0?到

A??,0?的积分??1?y3?dx??2x?y?dy的值最小

???解：I?a???1?a3sin3x??2x?asinx?acosxdx???4a??L?I'?a??4a?1?0,?a?1?I''?1??8?0。a?1, I?a?最小，此时 y?sinx

?0243a 3?四、空间每一点处P?x,y,z?有力F?x,y,z?，其大小与P?x,y,z?到z轴的距离成反比，方向垂直指向z轴，试求当质点沿圆周x?cost,y?1,z?sint从点M?1,1,0?到

?N?0,1,1?时，力F?x,y,z?所作的功

解：由已知F?x,y,z??{??kxx?y22,?2?kyx?y22,0}

W??xL?kx2?y2dx??kyx2?y2dy??cos0?kcost2t?1dcost?kln2 2五、将积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化为对弧长的积分,其中L 沿上半圆周

x2?y2?2x?0从O(0,0)到B(2,0).

解：y?2x?x2,dy?1?x2x?x2dxds?1?y?2dx?12x?x2dx

cos??dx?ds2x?x2,cos??dy?1?x，于是 ds2x?x2?Q(x,y)(1?x)?ds

???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???P(x,y)L??

§3 格林公式及其应用

一、选择题

1.若L是上半椭圆??x?acost,取顺时针方向,则 ydx?xdy=

Ly?bsint,?? A.0 B.ab C.?ab. D 2?ab

2?2. 设L为x?y?a的正向，则?222Lxy2dx?x2ydyx?y22?

A．2? B.-2? C.0 D.?

3.设L为曲线x2?y2?9的正向，则??2xy?2y?dx??x2?4x?dy?

LA．9? B.-18? C. -9? D.0

二、计算题

1.设L是圆x?y?2x?1取逆时针方向，则?22lnx2?y2dx?eydyx2?y2?2x??2?

L解：将方程代入被积函数在由格林公式得 ?ln?1?2x?dx?eydy???(0?0)dxdy?0

2LD?2．??2xy3?y3cosx?dx??1?2ysinx?3x2y3?dy,其中L为点O?0,0?到A??,1?的抛物线

?L?2? y2?解：因

2?x的弧段

?Q?P??故积分与路径无关，取B???,0?

?x?y?2?2?????2??2?? ?0?1?2ysin?3??ydy???224???0?1I?OB???BA?3．求I??Lydx?xdyx?y22，L为(1)?x?1?2??y?1?2?1 (2) 正方形边界x?y?1的正向

解：(1)直接用格林公式=0

222 (2) 设l为圆周：x?y?r取逆时针方向，其参数方程

x?rcost,y?rsint,t:0?2?

原积分为

l??L???????0dxdy??l?Dl所以

?Lydx?xdyx?y22??lydx?xdyx?y222???0?r2sin2t?r2cos2tr2dt??2?

4、验证 解：

?y2?yexdx?2xy?exdy在xoy面上是某函数u?x,y?的全微分，求出u?x,y?

????Q?P??2y?ex，u?x,y??xy2?yex， ?x?y?1,1?5、设曲线积分?xy2dx?y??x?dy与路径无关，其中??x?具有连续的导数，且

??0??0，计算

?0,0??xy2dx?y??x?dy的值

解：取路径：沿x?0从?0,0?到?0,1?；再沿y?1从?0,1?到?1,1?则

11I??0y??0?dy?xdx??01 2或

?Q?P???'?x??2,又??0??0得??x??x2 ?x?y

§4 对面积的曲面积分 1、计算曲面积分 ??(z?2x??xyz4y)ds，其中?是平面???1在第一卦限的部

2343x3(1?)2分 解：I?Dxy??[4(1?24y61xy?)?2x?]dxdy??dx02333?04.61dy?461 32、求曲面积分???21ds ，其中?是界于平面z=0和z=H之间的圆柱面 222x?y?zy2R?y2H x2?y2?R 解：I?2??1R?z221?Dyzdydz?2R?201R?z22Rdz.?1R?y22dy

?RHR =2[arctan]0.[arcsin]?R?2?arctanzRyRH R

3、求曲面积分??(xy?yz?zx)ds ，其中?是锥面z??x2?y2被柱面

x2?y2?2ax所截得的有限部分

解：

?I?Dxy??[xy?(x?y)x?y]2dxdy=

22??22acos?d??22[r?cos?sin??r(cos??sin?).r]2rdr=0642a4 15

§ 5 对坐标的曲面积分 一、选择题

1.设?关于yoz面对称反向，若P?x,y,z?关于x为偶函数，?1是?在yoz面的前侧部分，则??P?x,y,z?dydz?（ ）

? A.0 B.2??P?x,y,z?dydz C. ?2??P?x,y,z?dydz D.ABC都不对

?1?12.设?:x2?y2?z2?a2?z?0?取上侧,则下述积分不等于零的是（ ） A ??x2dydz B ??xdydz C ??ydxdy D ??zdxdz

????3.设?为球面x2?y2?z2?1取外侧,?1为其上半球面,则有（ ） A.??zds?2??zds B.??zdxdy?2??zdxdy C.??z2dxdy?2??z2dxdy D. 0

??1??1??1二、计算

1．??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy其中?由x?y?z?1及三个坐标面所围成闭曲面的外侧

?解：??zdxdy????1?x?y?dxdy??dx??1?x?y?dy?2?Dxy00211?x2112

由轮换对称性原式?14

2．???x?y?dydz其中?为锥面z?x2?y2被平面z?1所截部分的外侧

?解：由对称性 ??ydydz?0?原式???xdydz???x??zx?dxdy???x2?y2?1??x2x2?y22?1dxdy?22d?rcos?dr???00?3

3.??(x?y)dydz??y?z?dzdx??z?x?dxdy其中?为z?x2?y2被平面z?1所截部

?分，其法向量与z轴成锐角

解：由对称性??ydydz???zdzdx?0??22原式?????2x?2y??z?x????dxdy??x2?y2?1???x2?y2?x?dxdy

???d???r3?r2cos??dr??002?1?2三、用两类曲面积分之间的关系计算

1． 求??(x3cos??y3cos??z3cos?)dS其中?是柱面x2?y2?a2在0?z?h部分，

?cos?,cos?,cos?是?的外法线的方向余弦

解：原式???x3dydz?y2dzdx?zdxdy? 由奇偶对称性 及 dxdy=0 得?

ha22原式???xdydz?2??xdydz?2?dz??a?y33??0?a?32dy?4ha4344costdt??ah?4022．??(f(x,y,z)?x)dydz??2f(z,y,z)?y?dzdx??f(x,y,z)?z?dxdy其中f(x,y,z)为连续函数，??为平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧

解：?的法向量为n?{1,?1,1} ?cos??原式?13,cos???13,cos??13.

111(x?y?z)dS = ?1?3dxdy??233???Dxy???四、试求向量A?i?zj?ezx2?y2?k穿过由z?x2?y2及z?1及z?2所围成圆台外侧

面（不含上下底）的流量

解：?=??dydz?zdzdx??ezx?y22dxdy????2???dxdy?由奇偶对称性知??dydz???zdzdx?0? ??x2?y2????ez2???d??erdr?2?e?1?e?01 §6 高斯公式

1. 设?是抛物面z?(x2?y2)介于z?0及z?2之间部分的下侧，求

???z?2?xdydz?zdxdy

?128?

2．设?为x2?y2?z2?1取外侧,求

222xx?1dydz?yy?1dzdx?zz?1?dxdy? ????????32? 5

13.设?为平面x?y?z?1在第一卦限部分的上侧，则??xydydz?yzdzdx?xzdxdy=

8?

4.求矢量场A?x3i?y3j?z3k穿过曲面z?R?R2?x2?y2?R?0?与z?x2?y2所围成的闭曲面外侧的通量 5. 求???285?R 51y?x?1?f?dydz??y?x???x?f??y??dzdx?zdxdy，其中f?u?有连续的二阶导数，?是 ??2?2 y?x2?z2,y?8?x2?z2所围立体的外侧

解：原式????dV?? 6.求 ??xz2????8?2?x?y??dxdy??d???8?2r?rdr?16?

dydz??xy?z?dzdx??2xy?yz?dxdy，其中?是

222x2?y2?400232 z?a2?x2?y2及z?0所围曲面的外侧

?解：原式?7.???????x?2?y2?z2?dV?32?4?d??sin?d??rdr?0002a2?5a 5xdydz?ydzdx?zdxdy(x?y?z)1R3?222，其中?为x2?y2?z2?R2取外侧

1R32解：原式????xdydz?ydzdx?zdxdy?????3dV?4?

? §7 斯托克斯公式

1、设L为依参数增大方向的椭圆：

x?asin2t,y?2asintcost,z?acos2t?0?t?2??，求

?L?y?z?dx??z?x?dy??x?y?dz （0）

2．设L为平面x?y?z?1与坐标面交线，从z轴看去为逆时针方向，求 ?L?y?z?x?dx??x?y?z?dy??y?x?z?dz （2）

3.设L为圆周x2?y2?z2?R2,x?y?z?0若从ox轴正向看依逆时针方向，则 ?L?y?1?dx??z?2?dy??x?3?dz （?3?R2）

4、?Lydx?zdy?xdz其中L为圆周x2?y2?z2?R2,x?y?z?0若从ox轴正向看依逆时针方向。

解：?????cos??cos??cos??dS??3??cos?dS??3??dS??3?R2

???x2?y2?z?a25． ?Lydx?zdy?xdz,其中L为曲线?2?z?0,a?0?从ox轴正 2?x?y?ax 向看依逆时针方向。

222?2解1：?为球面被L所围部分z?a2?x2?y2,x2?y2?ax.?x,y,z?取凸侧?xyz??上点 ?x,y,z?处的法向量为?,,?，由斯托克斯公式?aaa?yz??xI??2???zcos??xcos??ycos??dS??2???z?x?y?dSaaa?????xy??2???x?y??a2?x2?y2x2?y2?ax?注：由对称性??ydxdy???DD???dxdy??2??xdxdy??a3?4x2?y2?ax?xydxdy?0222a?x?ypp ?22解2：L的参数方程x=acos2q,y=acosqsinq,z=asinq,q:-6． ?L(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz,其中L为椭圆

xz x2?y2?a2,??1(a?0,b?0)若从x轴正向看，此椭圆依逆时针方向。

ab解：所围区域?，其法向量为?b,0,a?原积分??2???cos??cos??cos??dS??2?a?ba?b22??dS

?2?a?b???dxdy??2?a?a?b???ax2?y2?a2

第十章 自测题 一、填空（每题4分，共20分）

1、设平面曲线L为下半圆周y=-1-x2，则曲线积分

22(x?y)ds?_______ （p） ?L

2、设L为椭圆

x2y2??1，其周长为a,则43??2xy?3xL2?4y2ds?(12a)

?3、设为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分

?Lxdy?2ydx?_________（p）

4、设W 是由锥面z=x2+y2与半球面z=R2-x2-y2围成的空间区域，3?是W 的整个边界的外侧，则???xdydz?ydzdx?zdxdy?_________(2-2)pR

W325、设?为球面(x-R)2+(y-R)2+(z-R)2=R2外侧，则曲面积分 ??Sxdydz?ydzdx?zdxdy?_______ （0） 2223/2(x?y?z)二、选择题（每题5分，共15分）

1、 设?:x2?y2?z2?a2?z?0?,?1是?在第一卦限部分.则有 A．??xdS?4??xdS B.??ydS?4??ydS

??1??1C.??zdS?4??zdS D.??xyzdS?4??xyzdS

??1??12、设?:x2?y2?z2?a2?z?0?,取上侧，则下述积分不正确的是

A．??x2dydz?0 B. ??xdydz?0 C.??y2dydz?0 D.??ydydz?0

????3、设L是从点(0,0)沿折线、y=1-|x-1|至点A(2,0)的折线段，则曲线积分 I???ydx?xdy为（ ） A 0 B -1 C 2 D –2

L三、计算（每题8分）

1．计算曲面积分??zds，其中S为锥面z=x2+y2在柱体x2?y2?2x

S内的部分

?2222cos?2?rdr?0 I?2x?y?2x??22.x?ydxdy?2??d??2322 92、过O?0,0?和A??,0?的曲线族y?asinx?a?0?，求曲线L使沿该曲线从O?0,0?到A??,0?的积分??1?y3?dx??2x?y?dy的值最小

L解：I?a?????1?a03sin3x??2x?asinx?acosxdx???4a??43a3

I'?a??4a2?1?0,?a?1?I''?1??8?0。a?1, I?a?最小，此时 y?sinx

??3、计算曲线积分I=?4xLxdy?ydx2?y2，其中L是以?1,0?为中心，R(R?1)为半径

的圆周（取逆时针方向）

222解：设l为圆周：4x?y?r取逆时针方向，其参数方程

x?rcost,y?rsint,t:0?2? 2原积分为

2222????????0dxdy???4x?y4x?yLlxdy?ydx?xdy?ydx2??l?L?l?Dl?0121rcos2t?r2sin2t22dt?? 2r4、计算I??(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz其中L是平面

Lx+y+z=2与柱面x+y=1的交线，从z轴正向看上去为逆时针方向.

（-24）

5．计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy 其中?是曲面

Sz?1?x2?y2(z?0)的上侧。 （-?）

S 6．计算曲面积分I???xdydz?z2dxdy222x+y=R其中S是由曲面与两222x?y?z2平面z=R,z=-R(R>0)围成立体表面的外侧 （1?2R） 7．设S是椭球面

2x2y点P??z2?1的上半部分，

22?x,y,z??S,?为S在点

SP处切平面, ??x,y,z?为点o?0,0,0?到切平面的距离,求 ??（3?）

2zdS ??x,y,z?四、（9分）在变力F?yzi?xzj?xyk作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

?????x2a2?y2b2?z2c2?1第一卦限的点P(x，h，z)，问x，h，z取何值时，

力F所作的功最大？求出W的最大值。 （

3abc) 9

第十一章 无穷级数

§ 1 常数项级数的概念和性质

?3n1、 设级数?n，则其和为（ ）

n?05 A

3515 B C D

5322?n?1

2、 若liman?0，则级数?an（ ）

n?? A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0

C 发散 D 可能收敛也可能发散 3 、若级数?un收敛于S，则级数?(un?un?1)（ ）

n?1n?1?? A 收敛于2S B收敛于2S+u1 C收敛于2S-u1 D发散

?11)的值 4、若limbn???，bn?0,求 ?(?n??bbn?1nn?11111111111 ?)?(?)?(?)?......(?)??b1b2b2b3b3b4bnbn?1b1bn?11 所以limSn?

n??b1解： Sn?((5、若级数?an收敛，问数列{an}是否有界

n?1

?

解：由于liman?0，故收敛数列必有界。

n??6、若liman?a，求级数?(an?an?1)的值

n??n?1? 解：Sn?(a1?a2)?((a2?a3))?......(an?an?1)?a1?an?1 故?(an?an?1)?lim(a1?an?1)?a1?a

n?1n???7、求?(2n?1a?2n?1a)的值

n?1? 解：Sn?(3a?a)??n?1(5a?3a)?......(2n?1a?2n?1a)?2n?1a?a

n??故?(2n?1a?2n?1a)=?lim(2n?1a?a)?1?a 8、求 ?11的和 ()

4n?1n(n?1)(n?2)? § 2 常数项级数的审敛法

一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性 1、判定级数 ?1的敛散性

(3n?2)(3n?1)n?1???1111 解：由于<2 ,而?2收敛，故?收敛

(3n?2)(3n?1)nn?1(3n?2)(3n?1)n?1n2、判定敛散性 ?n?1?1nnn

n?(n?1).12n?1??2 nn??1111 故n>,而级数?发散，故?发散

n2n2nnnn?1n?1nn 解： nn= nn.1.1.....1?3、判定敛散性 ??1 (a?0) nn?11?a? a?1, 收敛; 0?a?1, 发散

nen4、判定敛散性 ? (收敛); 2?n3n?2nen?11?ne 二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性

3n.n!5、判定级数?n的敛散性

n?1n??an?133n.n!?>1,所以?n发散 解：limn??aen?1nn4n6、判定级数?n的敛散性 n5?3n?1??an?144n??1，所以?n 解：lim收敛 nn??a55?3n?1n 7、 ?n.tann?1??2n?1 收敛

an 8、 ?() ，a?1 收敛

n?1n?1?n三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 7、?(?1)n?1?n?1n3n?1 （绝对收敛）

10、

n?1?(?1)n?1(n?1?n) （条件收敛）

??四、判定?n?1n3sin2n?3是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛 n

n?n?3nsin??n3n33绝对收敛 3解：||?n，用比值判别法知?n收敛,所以?nn222n?1n?12 §3 幂级数

n3sin

1、设幂级数?anxn在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）

n?0?A 绝对收敛 B 条件收敛 C发散 D 可能收敛也可能发散

?(?1)n?1(x?2)n的收敛域 （0，4] 2、级数?n?1nn?12?(?1)nn13、 求幂级数?[nx?3nxn]的收敛半径 （）

32n?14、若级数?an(x?2)n在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是

n?1?否绝对收敛 （绝对收敛 ）

?(x?5)2n?15、求幂级数?的收敛域 n2n?4n?1解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收 敛域为（-7，-3）

?(?x)n6、求幂级数?n?1的收敛域

3nn?1解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以 收敛域为（-3，3]

x4n?111?x17、求幂级数?的和函数 （ ln?arctanx?x -1

41?x2n?14n?1?8、求幂级数?n(n?2)xn的和函数

n?1?d2?n?1d?n解：?n(n?2)x??n(n?1)x??nx?x2(?x)?x(?x)

dxn?1dxn?1n?1n?1n?1x(3?x) = （-1

11、将函数f(x)=2展开成x的幂级数

x?3x?211?解：f(x)= (1?x)(2?x)?111和的幂级数展开式可得f(x)= ?(1-n?1)xn x?(?1,1) 由

2(1?x)(2?x)n?1?n?n?n2、将函数f(x)=ln(x?1?x2)展开成x的幂级数

1111.34x?..... x?[?1,1] 解：f'(x)? 而=1?x2?2222.41?x1?x两边积分得ln(x?1?x)?x??(-1)n2n?1?(2n-1)!!x2n?1 x?(?1,1) nn!2(2n?1)3、将函数f(x)=解：f(x)=

1展开成x的幂级数

(1?x)(1?x2)(1?x4)(1?x8)1?x?(1?x)(1?x16)(1?x32)?.....?1?x?x16?x17?x32?x33?...... 161?xx4、将函数f(x)=2展开成x-5的幂级数

x?5x?6?3232?解： f(x)= =?(-1)n(n?1-n?1)(x-5)n x?(3,7)

2?(x?5)3?(x?5)n?123(?1)n?1x2n?1的和函数展开成(x?1)的幂级数．5、将级数?n?1?

(2n?1)!n?12??(?1)n?1x2n?1(?1)n?1x2n?1xx?1?1?2?()?2sin解：?n?1?=?2sin

(2n?1)!222n?12n?1(2n?1)!1x?11x?1?2sincos?2cossin

22221?(?1)n1?(?1)n2n?2sin(x?1)?cos(x?1)2n?1??nn x?R 2n?02?(2n)!2n?02(2n?1)!? §5函数幂级数展开式的应用

1、计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001）

111解：在lnx的幂级数展开式中令x=2 ln2=1-???.......(?1)n?1?....

234 考虑误差范围可求得ln2?0.6931

122?x2edx的进似值（要求误差不超过0.0001） 2、计算定积分?0?解：e2?x212nx =?(?1)n!n?0n???120e?x2dx?2??120[?(?1)nn?0?12n111x]dx=(1?2?4?......) n!2.32.5.2!?120再考虑误差范围可求得3、计算积分?12??e?xdx?0.5205

2sinxdx的进似值，（要求误差不超过0.0001） 0x1sinxsinxx3x4111?1???.... ?dx?1????.....

0x3!5!x3.3!5.5!7.7!sinxdx?0.9461 0x §7 傅里叶级数

1、设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[-?,?)上的表达式为

???,???x?0f(x)=? 试将f(x)展开成傅立叶级数

?x,0?x??再考虑误差范围可求得?1解：a0?bn=

11?????f(x)dx???2 an?1?????f(x)cosnxdx?1n2?[(?1)n?1]

?????1f(x)sinnxdx?[1?2(?1)n]

n再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式 2、将函数f(x)???x2???x2,(0?x??)展开成正弦级数

(1??sinnx,(0,?]) n?1n3、将函数f(x)?x2?1, x?1?1?2(0?x??)展开成正弦级数和余弦级数

2n2?n?1?[?n3?(?1)?(2n3??2n)]sinnx,[0,?))

?121 x?1?1???4?(?1)n2cosnx,[0,?)

3nn?12§8 一般周期函数的傅立叶级数

1、将f(x)=2+|x|(-1?x?1)展开成以2为周期的傅立叶级数后求?54解：展开f(x)=?22??cos(2n?1)?x1?2 代x=0得? ??22(2n?1)8(2n?1)n?0n?0?1的值 2nn?0?

?n?0????1111?2+? 得 ?2? 2=?22n6(2n?1)(2n)nn?0n?0n?0

2、将f(x)=x-1(0?x?2)展开成周期为4的余弦级数

22n?x422解：a0??(x?1)dx?0 an??(x?1)cosdx?22[(?1)n?1]

2202n?1(2k?1)?xcos (0?x?2) ?2?2k?1(2k?1)23、将f(x)=x-1(0?x?2)展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8)

f(0?0)?f(0?0)1?1解：s(8)=s(0)=??0

221x?[0,]?a0?x24、设f(x)=?，S(x)= ??ancosn?x,x?R,

f(x)=

8??2?2xx?(12n?12,1)其中a17n=2?0f(x)cosn?xdx,n?0,1,2,3.....求S(2)

解：S(7f(1?0)?f(1?0)2)=S(12)=222=34 第十一章 自测题 一选择题:（40分）

1、下列级数中,收敛的是( ).

??? (A)1； (B)n?1n?1；

n?1nn? (C)?1?； (D)?(?1)n2.

n?13nn?12、下列级数中,收敛的是( ).

? (A) ?(5)n?1?； (B)?(4)n?1；

n?14n?15? (C)?(?1)n?1(5?)n?1； (D)54n?14?(?)n?1.

n?1453、下列级数中,收敛的是( )

? (A)?(n!)2?3nn!2n2； (B)?n；

n?1n?1n?? (C) ?1?n?12sinn?2nn； (D)?.

n?1n(n?2)?4、部分和数列?sn?有界是正项级数?un收敛的( )

n?1 (A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件

?5、设a为非零常数,则当( )时,级数?arn收敛 .

n?1 (A)r?1； (B)r?1； (C)r?a； (D)r?1

(x?1)n6、幂级数?(?1)的收敛区域是( ).

nn?1 (A) (0,2]；(B) [0,2)； (C) （0,2） (D) [0,2]

?n?17、limun?0是级数?un收敛的( )

n??n?1? (A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 8、幂级数?n(n?1)xn的收敛区间是( )

n?1? (A) (?1,1]； (B) (?1,1)； (C) [?1,1)； (D) [?1,1]. 二、（8分）判别下列级数的收敛性

?(n!)1、?2； 2、?n?12nn?1?n?1三、（6分）判别级数?(?1)nln的敛散性 .

nn?1?2ncos22nn?3

四、（6分）求极限 lim[2?4?8???(2)] .

n??13191271n3n五（8分）求下列幂级数的收敛区间:

??3n?5nnnx； 2、?nx2n. 1、?nn?1n?12xn六（6分）求幂级数?的和函数 .

n(n?1)n?1?n2七（6分）求数项级数?的和 .

n?1n!1八（6分）试将函数展开成x的幂级数.

(2?x)2九（6分）设f(x)是周期为2?的函数,它在[??,?]上的表达式为

?0,x?[??,0) f(x)??x将f(x)展开成傅立叶级数 .

e,x?[0,?)??1,0?x?h十（8分）将函数f(x)??分别展开成正弦级数和余弦级数 .

?0,h?x?? 自测题答案 一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D； 6、A； 7、B； 8、B. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.

?

四、48. (提示:化成2)

11五、1、[?,)； 2、(?2,2).

551??1?(?1)ln(1?x),x?(?1,0)?(0,1)六、s(x)??. 七、2e. x?0,x?0??1nn?1?x,x?(?2,2) 八、?2n?1(2?x)n?12e??11?(?1)ne??1n((?1)n?1e??1)??[cosn?sinnx]x 九、f(x)?222??n?11?nn?1 (???x???且x?n?,n?0,?1,?2,?).

2?1?cosnhsinnx,x?(0,h)?(h,?) 十、f(x)???n?1nh2?sinnhcosnx,x?[0,h)?(h,?). f(x)?????n?1n

12n?2???n??333 第十二章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

22

1、由方程x-xy+y=C所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy

2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） A. y=xy?+y?2 B.y=Cx+y?2 C. xy?+y?2=C D. y?=xy?+y?2

3如函数满足初始条件：y=(C1+C2x)e2x , y|x=0=0 , y?|x=?=1，则C1,C2的值为（ ） A. C1=0 , C2=1 B. C1=1 , C2=0 C. C1=? , C2=0 D. C1=0 , C2=? 14.微分方程y?=写成以y为自变量，x为函数的形式为（ ）

2x?ydy1dx1?? A. B. C. x?=2x-y D. y?=2x-y dx2x?ydy2x?y5. 已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2) y|x=?=1,y?|x=?=0, 确定C1, C2 解：y=C1sin(x-C2), y?=C1cos(x-C2)

?代入y|x=?=1,y?|x=?=0得C1=1,C2=2k?+

26 .设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点 (-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。

解：设在时刻t，物体B位于(x,y)处，则

dyy?(1?vt) ?dxxd2ydt1 整理可得：x2??v ○

dxdxds?dy?dx?1???而2v? dtdxdt??2dt1?dy?2 ?1??? ○dx2v?dx?其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。 有

d2y1?dy?2代入○1得：x2?1????0 将○

dx2?dx?初始条件：y(-1)=0, y?(-1)=1 §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式。

dxQ(x,y)?? C.不是微分方程 D.不能变成 dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ）

A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=ex+C

3、方程满足初始条件：y?=e2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）

e2x?11y2x

A. e=e+1 B. y?ln C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C

22y4、已知y=y(x)在任一点x处的增量?y??x??，且当?x?0时，?是?x 21?x 的高阶无穷小，y(0)=?,则y(1)=( )

2 A. 2? B. ? C. e D. ?e?5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=

4解：分离变量为tanydy=tanxdx

即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC cosy=ccosx

2?代入初始条件：y|x=0=得：C?

24特解为：2cosy=cosx

dy1x?y?cos?x?y??cos6、求微分方程满足y(0)=?的特解。 dx22?4?4

解：由

dyx?yx?ydyx?cos?cos?0得：??sin

ydx2222sin2yyx积分得：lncsc?cot?2cos?C

2x2代入初始条件：y(0)=?，得C= -2

/2x?y27、求微分方程yy?e?0满足y(0)=0的特解

8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁，穿透墙壁后速度为100m/s飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。

解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。子弹在墙壁

dv1中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得： 又??kv2v?dtkt?C1v(0)=v0=400.解得C=

400400 v?400kt?1可设子弹穿透墙壁所用时间为T，且墙壁后h=20cm,知?v(t)dt?0.2

0T400dt11T??ln(400kt?1)?0?ln(400kT?1)?0.2

00400kt?1kk0.2k

e=400kT+1 (*)

由题设知：子弹在时刻T时，飞出墙壁，且速度为100m/s，即

400v(T)??100，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即

400kT?13 T?400ln2 §3 齐次方程

1 .(x2+y2)dx-xydy=0，其通解为（ ） A. y2=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y2=2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C

xy2.y???, y|x=1=2，则特解为（ ）

yx A. y2=2x2(lnx+C) B.y2=2x2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+2 xx???x?1??3.?1?2ey?dx?2ey???dy?0的通解为（ ） ??y????即：?v(t)dt??TT A. x=2y+C B. xye?2 C.x?2ye?C D.以上都不对

4、求y?x2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。

xyxyyy?y?解：y?????,令?u，则

xx?x?dudx2x?解得：y? 2u(u?2)x1?x5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解

dyx2?2xy?y2y?2,令u?解： 2dxy?2xy?xxdu?u3?u2?u?1?可得x dxu2?2u?1解得：lnx+lnC=ln(u+1)-ln(1+u2)

即x(1+u2）=C(1+u),代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y

??y?x2?y2dx?xdy?0(x?0)6、求初值问题?的解

??y|x?0?02??dyy?y???1??? 解：原方程化为

dxx?x?令y=xu这里可得： dudx? 2x1?u2lnu?1?u2?lnx?lnCu?1?u2?Cxy?y??1????Cxx?x?y?x2?y2?Cx2121x? 227、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距 解：设曲线上任一点P(x,y)，曲线：y=y(x)，则由题意知：Y-y=y?(X-x)

y又x2?y2?x?

y?2??

将y|x=1=0代入的特解为y?x2?y2?x2或y??x?xdxx?1??,令u??得? ?y?ydyy??du?1?u2 整理得：?ydy2解得：lnu?1?u2?lny?C 得通解x?x2?y2?C

??x?2y?1的解。

2x?4y?1解：令u=x+2y，则u?=1+2y'

1u?1 (u??1)?22u?12u?1du?4dx u2u-lnu=4x+C

2(x+2y)-ln(2+2y)=4x+C

§4 一阶线性微分方程 1、微分方程(y2+1)dx=y(y-2x)dy的通解是（ ）

1?131?13??A. y?2?y?C? B. x?2?y?C?

y?1?3y?1?3??1?131?13??y?Cx?C. y?2 D. ???y? 2x?1?3y?1?3??12、微分方程xy?+2y=xlnx满足y(1)=?的解为（ ）

91111 A. y?xlnx?x B. y?xlnx?x

3939111 C. x2y?C?x3lnx D. y?lnx?x

3393、y?+y=y2(cosx-sinx)的通解为（ ）

1 A .y=Cex-sinx B.=Cex-sinx

y C. Cyex-ysinx=C D.y=ex-sinx+C

六、求y??4、求 通解 x?13dy3?y?x2.3y dx222dy333dz3?y?x2，令z?y3得x解：xy?z?x2 dx22dx2dz12?z?x2 dxx311??dx?dx?2?2x? z?ex?C?xe???3??1?213???x?C? x?34?1C即3y2?x2?

6x2y

2.xdy-ydx=yedy

dx1?x??yey 解：整理得

dyyy?23

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