2019届湖南省邵阳市高三第一次大联考（理科）数学试卷含答案及解析

2019届湖南省邵阳市高三第一次大联考（理科）数学

试卷【含答案及解析】

姓名___________ 班级____________ 分数__________

题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题

1. 已知集合 A. B.

2. 复数 A. B.

，

C. D.

，

（ ）

的虚部为（ ） C. D.

， ，则其前 项的和 3. 已知等差数列

A. B. C. D.

（ ）

4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. B.

C. D.

5. 点 是双曲线 的右支上的一点， 是圆 上的一点，点

的坐标为 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D.

6. 如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ ”表示 除以 的余数），若输入的 ， 分别为 ， ，则输出的 （ ）

A. B. C. D.

7. 若函数 则函数

（ 且 ）在 的大致图象是（ ）

上既是奇函数又是增函数，

A.

B.

C.

D.

8. 在

中，角 ， ， 对应边分别为 ， ， ，已知三个向量 ，

，

共线，则

形状为（ ）

A. 等边三角形________ B. 等腰三角形________ C. 直角三角形________ D. 等腰直角三角形

9. 如图所示，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为 ，设直角三角形中较大的锐角为 ，则 （ ）

A. B.

10. 设抛物线 点，且满足

C. D.

（ ）的焦点为 ，已知点 ， 为抛物线上的两个动 ，过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，

则 的最大值为（ ）

D.

A. B. C.

是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时， 11. 设函数

，则使得 成立的 的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

，恒有 成立；②当 12. 已知函数 满足：①对任意

时， ．若 ，则满足条件的最小的正实数 的值为（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 若二项式展开式

的第三项系数为80，则实数

__________ ．

14. 已知向量 ， 的夹角为

15. 已知数列 项为1，且

， ， ，则 __________ ．

为等比数列，且 （ 为自然对数的底数），数列 ，则 的值为 __________ ．

首

16. 已知 ， 满足

则 的取值范围为 __________ ．

三、解答题

17. 已知

的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足

．

（1）求 的值； （2）若

的面积为

，求 的值．

，

18. 如图所示，已知三棱柱

．

中， ， ，

（1）求证： （2）若

； ，

，求二面角 的余弦值．

19. 空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大．p

Ⅰ 优 可正常活20. ly:宋体; font-size:10.5pt\指数 级别 类别 户外活动建议

动 Ⅱ 良 Ⅲ 轻微污染 易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动． 轻度污染

Ⅳ 中度污染 心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普

遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动． 中度重污染

Ⅴ 重污染 健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年

人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动．

现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求这60天中属轻度污染的天数； （2）求这60天空气质量指数的平均值；

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