2015届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题(教师版)

第1页，共53页 2014届高三理科数学一轮复习试题选编14：数列的综合问题

一、选择题

1 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有

n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足

1(0)a m m =>,11, 1=1, 0 1.n n n n n

a a a a a +->???<≤??， 则下列结论中错误．．

的是 （ ）

A ．若34a =,则m 可以取3个不同的值

B

．若m =则数列{}n a 是周期为3的数列

C ．T ?∈*N 且2T ≥,存在1m >,{}n a 是周期为T 的数列

D ．Q m ?∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数列

【答案】 D ．

2 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足

条件11a >,9910010a a ->,99100101

a a -<-.给出下列结论: ① 01q <<; ② 9910110a a ?->;

③ 100T 的值是n T 中最大的;④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是

（ ）

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④ 【答案】 B ． 二、填空题

3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭

区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n )1(≥n ，恰好被拉到与4

重合的点所对应的坐标为)(n f ，则=)3(f ；=)(n f .

【答案】27,25,23,21； 22

-n j （这里j 为]2,1[n 中的所有奇数） 4 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数

成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij

a 2 4

（14题

第2页，共53页 （*

,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥

. 【答案】5,16 12

n m + 解：由题意可知第一列首项为

14，公差111244d =-=，第二列的首项为14，公差311848d =-=，所以511154444a =+?=，521153488

a =+?=，所以第5行的公比为525112a q a ==，所以53525158216a a q ==?=。由题意知111(1)444

m m a m =+-?=，211(2)488m m a m =+-?=，所以第m 行的公比为2112m m a q a ==，所以11111(), 3.422n n mn m n m m a a q m --+==?=≥ 5 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于各数互不相等的整数数组(i 1,i 2,i 3,,i n )(n 是不小

于3的正整数),若对任意的p,q ∈{1,2,3,,n},当pi q ,则称i p , i q 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于___________;若数组(i 1,i 2,i 3,,i n )的逆序数为n,则数组(i n ,i n-l ,i 1)的逆序数为___________. 【答案】232

n n - 6 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）数列{21}n -的前n 项1,3,7,,21n -组成集合

{1,3,7,,21}(n n A n *=-∈N ,从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n =个数,其所有可能的k 个数的乘

积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12n n S T T T =+++.例如当1n =时,1{1}A =,11T =,11S =;当2n =时,2{1,3}A =,113T =+,213T =?,213137S =++?=.则当3n =时,3S =______;试写出n S =______.

【答案】63,(1)

221n n +-

7 ．（2013届北京西城区一模理科）记实数12,,

,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为

第3页，共53页 12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为

max{,,}min{,a b c a t b c a b =?,}b c c a

． （ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．

【答案】1，1[1,)2

+． 8 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）对任意x ∈R ，函数()f x

满足

1(1)2

f x ++，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 【答案】34

【解析】因

为1(1)]2f x ++，所

以1(1)]02f x +-≥，，即1

(1)2f x +≥。两边平方得221[(1)]()[()]2f x f x f x +-=-，即

221[(1)](1)()[()]4f x f x f x f x +-++=-，即

221[(1)](1)[()]()4f x f x f x f x +-++-=-，即114n n a a ++=-，即数列{}n a 的任意两项之和为14-，所以15151317()416S a =?-+=-，即

15316a =-。所以2153[(15)](15)16a f f =-=-，解得3(15)4f =或1(15)4f =（舍去）。

9 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）定义映射

:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:

①(,1)1f m =；②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-， 则(2,2)f = ，(,2)f n = ．

【答案】2 22n -

解：根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(1,1)212f f f f f =+=+==?=。

3(3,2)(21,2)2[(2,2)(2,1)]2(21)622

f f f f =+=+=?+==-，

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