2010年江苏华罗庚中学高三第一学期文科数学期中模拟试卷

江苏省华罗庚中学2010年秋学期高三文科数学自我测试（九）

一、填空题（每小题5分，共70分）

1．若(1?ai)2??1+bi（a,b?R，i是虚数单位），则a?bi? ．10

2.设全集A?{(x,y)|x?y?1},B??(x,y)|x?m2y?m,m?R?，若AB??,则m?______?1

3．已知A,B是两个非空集合，则“x?A”是“x?(A?B)”的 条件．

（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”或“既不充分又不必要”） 充分不必要 4．已知|a|=3，|b|=4，(a+b)?(a+3b)=33，则a与b的夹角为_________．120? 5．函数f(x)?sinx?(cosx?sinx)的最小正周期是_______?

6．由命题“存在x?R，使x2?2x?m?0”是假命题，求得m的取值范围是(a,??)，则实 数a的值是_________________1

7．函数f(x)?x3?3x?1在(0,1)上零点的个数为 ．1

8．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A?60?,则bsinBc? 32 9．在等式cos(★)(1?3tan10?)?1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是_______40? 10．已知函数f(x)?x2?abx?a?2b．若f(0)?4,则f(1)的最大值为 ．7 11、 函数f(x)?x?ax,x?[1,4]上单调递减，则实数a的最小值为___________4 12．如图，在正方形ABCD中，已知AB?3，M为BC的中点，若N为正方形内（含DC边界）任意一点，则AM?AN的最大值是 。

272 N?lgx,0?x?8,M13. 已知函数f(x)???，若a,b,c互不相等，且f(a)?f(b)?f(c),???1则2x?7，x?8.ABabc的取值范围是 . （8，14）

第（13）题14.已知数列{an}，{bn}满足a1?1，a2?2，b1?2，且对任意的正整数i,j,k,l，当i?j?k?l时，都有

?b?b12010aij?akl，则2010?(ai?bi)的值是 ．2012归纳猜想：3,4,5

i?1二、解答题（共90分）

f(x)?3115．（本题满分14分） 已知函数

2sin2x?cos2x?2，x?R．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c?3，f(C)?0，若sinB?2sinA，求a，b

的值．

f(x)?3sin2x1?cos2x1???15．解：（1）2?2?2?sin??2x?6???1， （3分） 则f(x)的最小值是－2， （4分）

最小正周期是

T?2?2??；

（6分）

f(C)?sin?（2）

??2C???6???1?0,则sin?????2C?6???1， 0?C??,?0?2C?2?,???6?2C??116?6?，

?2C????6?2,C?3， （8分） sinB?2sinA，

a由正弦定理，得

b?12，① （10分） c2?a2?b2?2abcos?,即3?a2?b2由余弦定理，得3?ab， ②

由①②解得a?1,b?2． （14分）

16、（本题满分14分）已知 p:f(x)?1?x3,且|f(a)|?2； q: 集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R},B?{x|x?0}且A?B??.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16. 解：对p：所以|f(a)| ? |1?a3|?2． 若命题p为真，则有 ?5?a?7；..........................2分 对q：∵B?{x|x?0}且 A?B??

∴若命题q为真，则方程g(x)?x2?(a?2)x?1?0无解或只有非正根．

????0∴??(a?2)2?4?0或??g(0)?0, ∴a??4...........................5分

????a?22?0∵p, q中有且只有一个为真命题 ∴ (1) p 真，q假：则有???5?a?7，即有?5?a??4；..........................8分

?a??4(2) p 假，q 真：则有??a?7或a??5，即有a?a??4?7；

∴?5?a??4或a?7． .......................... ..........................14分

17．（本题满分15分）已知函数f(x)?ax?lnx，a为常数且a?0. (1)如果f(x)在(1,??)上单调递增,求实数a的取值范围; (2)求f(x)在[1,??)上的最小值．

解答：（1）f?(x)?a?1x?0对x?(1,??)恒成立?a?1；----------------------------6分 （2）f?(x)?ax?1x由f?(x)?0得x?1

a

ⅰ）当

1a?1即a?1时 f?(x)?0恒成立 ?f(x)在[1,??)上单调递增

?f(x)min?a---------------------------------------------------------10分

ⅱ）当1a?1即0?a?1时

f(x)在(1,11a)上单调递减，在(a,??)上单调递增

?f(x)min?1?lna-----------------------------------------------------------------14分

综上：f(x)?a,a?1min???1?lna,0?a?1-----------------------------------------------------15分

18．(本题满分15分)已知工厂生产某种产品，次品率p与日产量x（万件）间的关系为

?1,0?xp????6?x?c;(其中c为常数,且0?c?6)，每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品

?2??3,x?c.亏损1.5元． （I）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（Ⅱ）为使日盈利额最大，日产

量应为多少万件?

18. 解：（Ⅰ）当x?c时，p?23，

?y?13?x?3?233?x?2?o ----------------------------------------------------------2分

当0?x?c时，p?16?x，

?y???1??1?6?x???x?3?1339x?2x26?x?x?2?2?6?x---------------------------------5分 ?日盈利额?y（万元）与日产量?x（万件）的函数关系为

?39x?2x2y???2,0?x???6?x?c；--------------------------------------------------------------7分 ?0,x?c.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x??c.时，日盈利额为?0.------------------------------------------8分

?y?39x?2x2当0?x?c时，2?6?x?，

?y??3?9?4??2?x??6?x??9x?2x2?6?x?2?3?x?3??x?9??6?x?2， 令y??0得x?3或x?9（舍去）-----------------------------------------------------------9分 ?①当o?c?3时，?y??0，?y在区间?0,c?上单调递增，来源学§科§网

?y?f?c??3?9c?2c2?最大值2?6?c?，此时x?c；----------------------------------------------12分

②当3?c?6时，在（0，3）上，y??0，在（3，6）上y??0，

?y最大值?f?3??92，------------------------------------------------------------------------------14分 综上，若0?c?3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；

若3?c?6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大-------------------------------------------15分

19．(本题满分16分)公差d?0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?2?2，S3?12?32. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；

（Ⅱ）记bn?an?2，若自然数?1,?2,...,?k,...满足1??1??2?...??k?...，并且

b?1,b?2,...,b?,...成等比数列，其中?1?1,?； k2?3，求?k（用k表示）

（Ⅲ）记cSnn?n，试问：在数列{cn}中是否存在三项cr,cs,ct(r?s?t,r,s,t?N*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由.

19．解：（Ⅰ）?a1?2?2，S3?3a1?3d?12?32，?d?2…………… 2分

所以an?2n?2，S2n?n?(2?1)n……………………………5分 （Ⅱ）由题意，bn?2n，首项b1?2，又数列b?1,b?2,...,b?,...的公比q?b3b?3 …7分 k1?b?k?2?3k?1，又b?k?2?k，??k?3k?1……………………………10分

（Ⅲ）易知cn?2?1，假设存在三项c2n?r,cs,ct成等比数列，则cs?cr?ct，

即[s?(2?1)]2?[r?(2?1)][t?(2?1)],整理得(2s?r?t)2?rt?r?t?s2?2s…12分

①当2s?r?t?0时，2?rt?r?t?s2?2s2s?r?t，?r,s,t?N*，?rt?r?t?s2?2s2s?r?t是

有理数，这与2为无理数矛盾…………………14分

②当2s?r?t?0时,则rt?r?t?s2?2s?0,从而??s2?rt?2s?r?t?0,

解得r?t,这与r?t矛盾.

综上所述，不存在满足题意的三项cr,cs,ct ………………16分

20．（本题满分16分）已知函数fmx1(x)?4x2?16,f2(x)?(1|x?m|2),其中m?R． (1)若0?m?2,试求函数f(x)?f1(x)?f2(x),x?[2,??)的最大值； (2)设函数g(x)???f1(x),x?2,?f若对于任意大于等于2的实数x1,总存在唯一的小于2的实数x2,使得

2(x),x?2,g(x1)?g(x2)成立,试确定实数m的取值范围．

解答:(1)因为f1(x),f2(x)都是单调递减 所以f(x)在[2,??)上单调递减

?f(x)mmax?f(2)??(1)2?m162----------------------------------------------6分 （2）由题意可知：f1(x)值域是f2(x)值域的子集

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