初二数学第六讲一元二次方程与解法(一)(教案)

教学过程

一、复习预习

学生活动：列方程

问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，

问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？

如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，根据题意，得________． 整理、化简，得：__________．

问题（2）如图，如果

ACCB

，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． ABAC

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________．

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______． 整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 学生活动：请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

二、知识讲解

1．一元二次方程的概念：

方程的两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式

ax2 bx c 0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式.

2

一个一元二次方程经过整理化成ax bx c 0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是

二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

一元二次方程的四个特点：(1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它

2

进行整理。如果能整理为ax bx c 0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程；

2

（4）将方程化为一般形式：ax bx c 0时，应满足（a≠0）.

2. 一元二次方程的根：

为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．

3.直接开方法解一元二次方程： 适用于x a a 0 形式的一元二次方程的求解。这

2

里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。换言之：经过变形可以转化为x a a 0 形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。

2

4.配方法解一元二次方程：

配方法的理论根据是完全平方公式a 2ab b (a b)，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x 2bx b (x b)。

配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边； (2)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

2

(3)变形为(x m) n的形式，当 n 0时，x m n，x m

222

222

n ，

当n＜0时，方程没有实数根

考点/易错点1

在一元二次方程化成一般形式后，要注意二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 考点/易错点2

判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a 0. 考点/易错点3

用直接开平方的方法时要记得取正、负. 考点/易错点4

用配方法解一元二次方程时，一定要使二次项系数为1后，再配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）。

三、例题精析

【例题1】

【题干】在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项。

22

（1）2x 1 x （2） x 5x 0 22

（3）3x 12 （4） x(x 4) x 1

【答案】（1）、（2）、（3）都是一元二次方程。

（1）的其二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-1. （2）的其二次项系数是1，一次项系数是-5，常数项是0. （3）的其二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是-12.

【解析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数都是2的整式方程）去判断，在确定一元二次方程每一项时，一定要先把方程化为一般形式

ax2 bx c 0，再去判断。

【例题2】

【题干】已知关于x的方程 m 2 xm【答案】-2

【解析】因为方程为一元二次方程，所以m2 2 2，解得m 2。而当m 2时，二次2

2

x m 0,当m为何值时方程为一元二次方程。

项系数为0，所以m应取-2. 【例题3】

【题干】用直接开方法解方程 (x 5)2 492

x 4x 4 49

【答案】x1 12,x2 2；x1 5,x2 9

【解析】解：原方程可化为 解：(x 2)2

7

x 5 7，或x 5 7 ∴ x-2 7，或x-2 7 ∴ x1 12,x2 2 ∴ x1 5,x2 9

【例题4】

【题干】用配方法解方程 x2

2x

34

【答案】x1

12,x32 2

【解析】解：x2

2x 1

3

4

1 ∴ (x 1)2

14

∴ x 1 11

2

，或x 1 2

∴ x 13

12,x2

2

【变式练习1】

【题干】配方法解方程x2 10x 11 0 【答案】：x1 11,x2 1

【解析】解：移项，得 x2 10x 11 方程两边都加上( 5)2

得

x2 10x ( 5)2 11 ( 5)2 即， (x 5)2 36 两边开平方，得

x 5 6，或x 5 6

所以 ， x 11，x 1

【变式练习2】

【题干】用配方法解一元二次方程：3x 6x 1 0 【答案】解：配方，得3 x 1 2, 即 x 1

2

2

2

2. 3

x 1

x1 1x2 1 【解析】 二次项系数不为1时，用配方法解一元二次方程，先用提公因式的方法把二次项系数化为1，然后再用直接开平方法求解。 【例题5】

【题干】 把方程x2 6x 6 0化为(x m) n的形式

2

【答案】：(x 3) 3

2

【解析】x2 6x 6 x 6x 9 3

2

(x 3) 3

2

【例题6】

【题干】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【答案】证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【解析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可． 【变式练习】 【题干】方程(m－1)xm

2＋1

＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.

【答案】由题意可得，m2＋1＝2，且m－1≠0，∴m＝±1且m≠1，∴m的值是－1． 【解析】一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．方程经整理可转化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 【例题7】

【题干】你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 【答案】 （1）移项得x2=64

根据平方根的意义，得：x=±8 即x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得x2=2

根据平方根的意义，得

即x1

x2

【解析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义． 【例题8】

【题干】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率．

【答案】解：设每年人均住房面积增长率为x,有题意得： 10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．

【解析】把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．这种思想称为“降次转化

2

思想”． 由x2=p（p≥0），那么

转化为应用直接开平方法解形如（m x+n）=p（p≥0），

那么

p＜0则方程无解. 【例题9】

【题干】某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

【答案】 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x． 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得：

123

）=2.56，即（x+）2=2．56 22333

x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6

222

（1+x+

方程的根为x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数，

所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．

【解析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．

【例题10】

【题干】如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？

【答案】

解：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=504

整理，得：x2-36x+68=0,即(x-18)2=256，解得x-18=16或x-18= -16, 所以x1=34,x2=2，根据题意，x1=34不合题意舍去，所以道路的宽为2m

【解析】通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程. 【例题11】

【题干】 （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0 【答案】 （1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6 x-1=6，x-1=-6 x1=7， x2=-5

1

=0 21

x2-2x=

2

（2）x2-2x-

1

+1 23

（x-1）2=

2

x2-2x+12=

即

x2

，x2

=1-

22

x1

可以验证：x1

=1+

【解析】化成x2=p或（m x+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

p≥0）．

四、课堂运用

【基础】

1.判断下列方程，是一元二次方程的有____________.

32

（1）x 2x 5 0 （2）x 1 （3）

2

5x2 2x

13 x2 2x 45

2

2(x 1) 3(x 1) （5）x2 2x x2 1； （6）ax2 bx c 0 （4）

【答案】 （2）、（3）、（4）

【解析】 判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.（1）中最高次数是三不是二；（5）中整理后是一次方程；（6）中只有在满足的条件下才是一元二次方程．

2. 下列方程中不含一次项的是（ ）

22

A．3x 5 2x B．16x 9x C．x(x 7) 0 D．(x 5)(x 5) 0

【答案】D

【解析】 首先要对方程整理成一般形式，D选项为x2-25=0，不含一次项.

3. 方程3(x 1)2 5(x 2)的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.

【答案】3；-11；-7

【解析】 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化成一般形式，同时注意系数符号问题.

2

4. 下列各数是方程(x 2) 2解的是（ ）

13

A、6 B、2 C、4 D、0 【答案】 B

【解析】 将各数值分别代入方程，只有选项B能使等式成立．

5.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.

（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长. 【答案】 解：（1）依题意得，4x 25， 化为一元二次方程的一般形式得，4x 25 0. （2）依题意得，x(x 2) 100，

化为一元二次方程的一般形式得，x 2x 100 0. （3）依题意得，x (x 2) 10， 化为一元二次方程的一般形式得，x 2x 48 0. 【解析】 考察对一元二次方程一般形式的掌握程度.

6.将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 【答案】 去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0

222

2

222

其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．

【解析】 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

7.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 【答案】 去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1

移项，合并得：2x2+2x-4=0

其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4． 【解析】 通过完全平方公式和平方差公式化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 【巩固】

1. 若关于x的一元二次方程(m 1)x 2x m 1 0的常数项为0，求m的值是多少？ 【答案】 m 1

2

2

m2 1 0【解析】 解:由题意得， 时，即m 1时，

m 1 0

(m 1)x2 2x m2 1 0的常数项为0.

2m 1 10x m

0＝2 B.【答案】C

【解析】由题意得，2m 1 2，解得m

2

3

. 2

3. 若n(n 0)是关于x的方程x mx 2n 0的根，则m n的值为（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】D

【解析】本题有两个待定字母m和n，根据已知条件不能分别求出它们的值，故考虑运用整体思想，直接求出它们的和.将x=2代入方程，得到4+2m+2n=0,所以m+n=-2 4.若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2-1=0的一根是0，则a= . 【答案】a=1

解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2-1=0 ∴a2-1=0，即a=±1； ∵a+1≠0，∴a≠-1； ∴a=1．

【解析】 本题主要考查了方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用，容易出现的错误是忽视二次项系数不等于0这一条件．

4

x-2=0应把它先变形为（ ）． 3

18218110

A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2=

3939339

5.配方法解方程2x2-【答案】D

【解析】用配方法时二次项系数要化1. 【拔高】

1. 已知关于x的方程(m 1)x (m 1)x m 0． （1）x为何值时，此方程是一元一次方程？

（2）x为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.

2

2

m2 1 0

【答案】 解：（1）由题意得， 时，即m 1时，

m 1 0

方程(m 1)x (m 1)x m 0是一元一次方程 2x 1 0.

（2）由题意得，(m 1) 0时，即m 1时，方程(m 1)x (m 1)x m 0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m 1、一次项系数是 (m 1)、常数项是m.

【解析】 本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.

2

22

222

2. 方程x 3x 0的解为( )

A、x 0 B、x 3 C、x1 0,x2 3 D、x1 0,x2 3 【答案】D

【解析】 考察了方程的解，因式分解法解一元二次方程。 3.用配方法证明【答案】

2

5x2 7x 4的值恒小于0.

7 749 49

5x2 7x 4 5 x2 x 4 5 x2 x 4 5 5100 100 7 497 31

5 x 4 5 x

10 20 10 20

2

2

2

22

7 7 7 31

因为 x 0 5 x 0，所以 5 x 0，

10 10 10 20

即 5x 7x 4 0

【解析】 本题难点在于该式不是等式，因而不能按照通常的方法一样进行配方；先将前两项结合起来，将二次项系数-5提出来， 使二次项系数为1后，再加上一次项系数一半的平方进行配方，配成完全平方式再进行判断。

2

课程小结

1. 一元二次方程的概念.判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a 0. 2.直接开方法：适用于x2=a (a≥0)形式的一元二次方程的求解。 这里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。 3.配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1；

（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； （5）变形为 x p q的形式，如果q ≥ 0，方程的根是x=-p±q；

2

如果q ＜ 0, 方程无实根．

课后作业

【基础】

1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A

3 x 1 2 x 1

2

B

11

2 02

xx

C

ax2 bx c 0

D

x2 2x x2 1

【答案】A

2

【解析】 此题考查了一元二次方程的定义。A选项化为一般式为：3x 4x 1 0，是一元二次方程；B选项分母中含有x，不属于整式方程；C选项中的a没有给出a≠0的条件；D选项化为一般式后，两边的x抵消掉，转化为一元一次方程2x 1。 2.解方程2x 8 0

【答案】 解：2x 8 x 4

x1 2,x2 2

【解析】 观察可知，此方程可以采用直接开平方法进行求解。需要注意的是方程的解有两个，并且它们互为相反数。 3. 用配方法解一元二次方程：x 2x 2 0．

【答案】 解：

2

2

2

2

2

x2 2x 2，

2

x 2x 1 2 1，

(x 1)2 3，

∴x1 1 3， x2 1 3.

【解析】用配方法解一元二次方程的关键是，在二次项系数为1的条件下，给方程两边同时加一次项系数一半的平方.

4.配方法解方程(1)x2=196； (2)4x2-3=0； (3)(x-2)2=5． 【答案】解：(l)x=±14，

∴x1=14

，x2

=-14． (2)移项并整理，得

(3)因为x-2

是5

的平方根，

【解析】考查选用合适的方法进行一元二次方程求解 5.直接开方法解方程

⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50 ⑶(2 x-1)2+4=0 【答案】

解：⑴2y2=8 ⑵ 2(x-8)2=50

⑷4x2-4x+1=0

个性化教案

y=4 (x-8)=25 y=±2 x-8=±5 ∴y1=2，y2=-2 x-8=5或x-8=-5 ∴x1= 13，x2= 3

⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0 (2 x-1)2=-4<0 (2 x-1)2=0 ∴原方程无解 2 x-1=0

∴x1= x2=

1

2

【解析】考查选用合适的方法进行一元二次方程求解

6.方程x 3x 2 0的解是（ ）

A．x1 1，x2 2 B．x1 1，x2 2 C．x1 1，x2 2 D．x1 1，x2 2 【答案】 A

【解析】 考查一元二次方程的解法，可用配方法.

2

【巩固】

1.当m取何值时，方程 m 1 x

2

m2 1

2mx 3 0是关于x的一元二次方程？

【答案】 题意，得m 1 2， m 1 m 1.

当m 1时m 1 0，此时方程为一元一次方程. 当m 1时，m 1 2，此时方程为一元二次方程.

【解析】 题目中隐含了a≠0的条件，根据一元二次方程的定义，先令次数等于2，求出

2

m值后，再根据a≠0舍取m的值。 2.解方程（3x-4）2=（3-4x）2

【答案】解：开方得：①3x-4=3-4x，②3x-4=-（3-4x）， 解方程①得：3x+4x=3+4， 7x=7， x=1， 解方程②得：3x-4x=-3+4， -x=1， x=-1， 即原方程得解：x1=1，x2=-1．

【解析】开方得出两个一元一次方程，求出每个方程的解即可． 【拔高】

1.已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为（ ）

A.0 B.1 C.2 D.不确定 【答案】A

【解析】解：把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得： a a2+ba+c=0， ba2+ca+a=0， ca2+a a+b=0， 相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0， （a+b+c）（a2+a+1）=0，

∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0， ∴a≠0， ∴a2+a+1≠0， ∴a+b+c=0，

【答案】2010

【解析】∵m是方程x2+x-1=0的根， ∴m2+m-1=0， ∴m2+m=1，

∴m3+2m2+2009=m（m2+m）+m2+2009， =m+m2+2009， =1+2009=2010，

错题总结

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qg7e.html