概率论与数理统计(II)期末考试样卷1（答案）

……… _…__…__…__…__…__…__…__…____……_…：号……学_…__…__…__…__线_订__装__…__…__…__…：…名… 姓… … … … … … … … … … … …：…级…班……

…概率论与数理统计（II）期末考试样卷1参考答案

7．已知某种材料的抗压强度X~N(?,?2),现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得样本均值

……注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：

x?457.5,标准差s?35.217,则?的95%的置信区间为 [432.31,482.69] . ……?(1.71)?0.96,?(1.14)?0.87,U0.975?1.96,t0.93(8)?1.8,t0.92(9)?1.8,t0.975(9)?2.262nn…?(1)?0.84,t0.95(15)?1.753,F8．设X1,?,Xn为来自N(?,?2)的一个样本，X?12…0.95(2,12)?3.89,t0.975(12)?2.1788,?(2.67)?0.996n?X2i,S?1n?1i?1?(Xi?X)，其中参数?,?2未i?1……

知，要检验假设H??0:???0应用 t 检验法，检验的统计量是 X0…Sn 。 ……一、填空题( 每小题3分，共24分)

…… 分，共8分）

1．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时)X~N(1000,?2)二、单项选择题（每小题2，抽取一容量为9的样本，得到

1. 设……x?940,s?100F, 则P(x?940)= 0.07 . n(x)是经验分布函数，基于来自总体X的样本，而F(x)是总体X的分布函数，则下列命题错误……2．某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）为

的为，对于每个给定的x，Fn(x)（ A ）。

… 351 347 355 344 351 …线?A．是分布函数； B．依概率收敛于F(x)； C．是一个统计量； D．其数学期望是F(x)。

封?0 x?3441密则其经验分布函数F5 344?x?347…5(x)= ??2. 设X?2?351 . 1,?,Xn为来自N(0,?2)的一个样本，X和S2分别为样本均值和样本方差，则（ C ）

…?5 347?x…?45 351?x?355X2…??1 x?355A.~(n?1)X2S2F(1,n?1);B.S2~F(1,n?1);……3. 设X1,?,X6为总体X~N(0,1)的一个样本，且cY服从?2分布，这里，.nX2CD.(n?1)X2 …S2~F(1,n?1);S2~F(1,n?1).…Y??X22X2

1?X2?X3???X4?X5?X6?, 则 c? 13 .

3. 设X1,2,?,Xn是总体N(0,?2)的样本，则（ A ）可以作为?的无偏估计量.

……1n…4．设x21n1,?,x （A）16 是来自N(8,4)的样本，则P(x(16)?10)? 1?(0.84)16 . n?X （B）2i； ?1n?1?Xi；

ii?1……5．设…Xn1,?,Xn为来自U(?,1)(??0)的一个样本，X?1n?Xi,则未知参数?的矩估计量是

（C）1?nX1ni； i?1n （D）1Xi. i?1n??i?1……… 2X?1 .

4. 在假设检验中，用α和β分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则

…当样本容量一定时，下列说法正确的是（C ）。

……6．设X21,?,Xn为来自N(?,?)的一个样本，c?n?1?Xi?1?Xi?2为?2的无偏估计，则常数

A．α减小β也减小； B．α增大β也增大；

…i?1…C．α与β不能同时减小，减小其中一个，另一个往往就会增大；D．A和B同时成立。

c=

12(n?1) .

命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：

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…态分布.已知标准差??40小时,在置信度0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间。

… 三、计算题（共20分）

…解：1???0.95，故??0.05，由题意可知，X~N(?,402)，则?的置信度0.95的置信区间为

……1（6分）在总体X~N(52,6.3)2中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值x落在50.8

x?U?1???1000?U40?1000?7.84?[992.16,1007.84]

…2n0.975100…与53.8之间的概率。

………解： 由于X2,???,36),X?1?36i~N(52,6.3)(i?1X

36i，

i?1四、应用题（24分）

………故 E(X)?(136)?36?52?52, D(X)?(1362)?36?6.32?(6.36)2

1（8分）某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件， 为此，从两种…铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度为

……所以X~N(52,(6.36)2),从而X?52…6.36~N(0,1)。于是可得

镍合金： 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34 ……P{50.8?X?53.8}?P?铜合金： 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61 …?50.8?52?X?5253.8?52?线?6.366.36?6.36?

?8计算得

封?x2密 ??(1.714)??(?1.143)?0.9564?(1?0.8729)?0.8293 ?i?x??205.7958,i?1?9?y?y?2i?91.1552。根据经验，硬度服从正态分布，且方差

i?1…保持不变。试在显著性水平…??0.05下判断镍合金的硬度是否有明显提高？

…2（8分）设某厂生产的晶体管的寿命X~Exp??1?…???? ，其中??0未知。现随机地抽取5只晶体管进行

解：用X表示镍合金的硬度，用Y表示铜合金的硬度，由假定，X?N(?1,?2),Y?N(?22,?)，要…测试、测得它们的寿命(单位：小时)如下：

……518 612 713 388 434

检验的假设是：H0:?1??2,H1:?1??2，由于两者方差未知但相等，故采用两样本t检验，经计算，

…试求该厂晶体管的平均寿命的极大似然估计值。

x?73.39,y?68.2756，

从而

……解：X的密度函数为f(x;?)?1e?xn??nxi?,x?0，

则似然函数为L(xi?1…1,?,xn;?)??f(xi;?)?1?ne,xi?0，

8i?1…S12?9?y21w?m?n?2[??xi?x??i?y?]?8?9?2[205.7958?91.1552]?4.4494，从而

…ni?1i?1…令?ln??L?0，得??1n?xi?x，故?的极大似然估计为

???X，且E(X)??，从而该厂晶体管的 t?x?y73.39?68.2756…i?1S?w1m?1n4.44941?2.37，由t8?190.95(15)?1.753，可知t?t0.95(15)，故拒绝原假设，镍合金的

……平均寿命的极大似然估计值为???x?518?612?713?388?434硬度有明显提高。 5?533 ……

……

…3（6分）从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X服从正

命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：

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…2（8分）有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%，为检验之，随机调查该地150名S…e?ST?SA?8.233,fe?12，则，F?SAfAS?9.3287?13.59，在显著性水平??0.05下，efe0.6863…成年人，发现有30名大学毕业生。（I）试给出检验的p值；（II）问在??0.05下该人看……F0.95(2,12)?3.89，故拒绝域为W?{F?3.89}，由于F?13.59?3.89，故认为三种方法对…法是否成立？

…含水率有显著影响。

…解：(I)解：以p表示成年人中的大学生毕业生比例，X表示该地150名成人中的大学生毕…(2)每种水平含水率的均值估计分别为??…业生人数，则X?b(150,p)，则检验问题为：H1?y1.?7.98,??2?y2.?6.4,?3??3y.?9.12,而误差

0:p?0.3,H1:p?0.3，由于样本容量较大，

……方差的无偏估计为?MS.68630?.8284，故??0.05，则

…可以采用大样本U检验，注意到：X?AN(p,p(1?p)?2?e?0.6863,???0150)，

…t?(f?2.1788，??t0.975(12)x?30?150(0.2?0.3)??1.22471?2e)?t0.975(12)5?0.8072，于是三个水平均值的0.95的置信区间为

……150?0.2,u?n(x?p0)p0(1?p0)0.3(1?0.3)0.458??2.67，故

…?1:7.98?0.8072?[7.17,8.79],?2:6.40?0.8072?[5.59,7.21],…P(U??2.67)?1??(2.67)1?0.996?0.004?，即检验的p值为0.004.

?0.8072?[8.31,9.93]

3:9.12?……(II)由??0.05?0.004?p，因此，在显著性水平??0.05下，拒绝H0，即该地成年人中五、综合题（共24分）．

线封密大学毕业生比例不低于30%不真。

1（12分）设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?2)的样本，

……3（8分）某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响。现取一批粮食分成 （1）求…?,?2的矩法估计??,??2； （2）求E(??2).

……若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测的的含水率如下表： 解： （1） EX??,Var(X)??2?EX2??2??2; 令

……储藏方法 含水率数据 Ti T2i …?ny2??ij i?1????x,…?n?? ?x?2…A1 7.3 8.3 7.6 8.4 8.3 39.9 1592.01 319.39 ????2???2?12?n?xi,?? 2?1nn?x2i?x?S*2

…32 1024 208.66 i?1?i?1…A2 5.4 7.4 7.1 6.8 5.3 …A3 7.9 9.5 10.0 9.8 8.4 45.6 2079.36 419.26 所以?和?2的矩法估计分别为???x,? 2?1?nx2*2ni?x2?S

…i?1…（1） 假定各种方法储藏的粮食含水率服从正态分布，且方差相等，试在??0.05水平下

…nS*2（2） 因为?(xi?x)22……检验这三种方法对含水率有无显著影响；

?2?~?(n?1).?E??nS*2??2?2??n?1.

??……（2） 对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间。

所以 E(? 2?ES*2?n?1…n?2 …解：rmrST22?26.89,f12T24695.372T???yij?n?947.31?117.5T?14,SA?mi?1j?1?Ti?n?5?117.51515?18.657,fA?2

i?1 命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：

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…2（12分）设总体密度函数为p(x;?)??x??1,0?x?1,??0,，x1,x2,?,xn是其样本。 ……（1） 求该总体分布的费希尔信息量I(?)； （2） 求g(?)?1/?的最大似然估计； ………（3）求g(?)的有效估计。

……解：(1) lnP(x;?)?ln?x??1?ln??(??1)lnx，

?lnP(x;?)2lnP(x;?)????1?lnx,?…??2??1?2，于是，

…I(?)?E(??2lnP(x;?)??2)?1?2

………(2) …(Xn1?x1,?,Xn?xn)的似然函数为L(x11,?,xn;?)???x??i??n(x1?x?1n)?

i?1………令?lnL???0，得g?(?)??1n…?nlnxi

i?1……（3）令Y??lnx,则P(Y?y)?P(?lnX?y)?P(X?e?y)?1?e??y，从而

线封密Y?Exp(?)?Ga(1,?),E[g?(?)]?n1n1n????g(?),Var[g?(?)]?(n?)2?n?2,而g?(?)??1?2,

………于是g(?)[g?(?)]2的任一无偏估计的C-R下界为1nnI(?)?n?2，从而g?(?)??1n…?lnxi是g(?)的无偏

i?1………?n估计，且方差达到了C-R下界，所以g()的有效估计为g?(?)??1n?lnXi。

…i?1…… ……

………………………… 命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 第 4 页 （共 4页）

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