多项式除以多项式

多项式除法示例 多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．

（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下： 例1 计算(x?9x?20)?(x?4) 规范解法

2 ∴ (x2

?9x?20)?(x?4)?x?5.

解法步骤说明： （1）先把被除式x（2）将被除式x22?9x?20与除式x?4分别按字母的降幂排列好．

22 ?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．

（3）以商的第一项x与除式x?4相乘，得x?4x，写在x（4）从x222?9x?20的下面．

22?9x?20减去x?4x，得差5x?20，写在下面，就是被除式去掉x?4x后的一部分．

（5）再用5x?20的第一项5x除以除式的第一项x，得5x?x?5，这是商的第二项，写在第一项x的后面，写成代数和的形式．

（6）以商式的第二项5与除式x?4相乘，得5x?20，写在上述的差5x?20的下面． （7）相减得差0，表示恰好能除尽． （8）写出运算结果，(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.

22例2 计算(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)． 规范解法

- 1 -

5422

∴ (6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)

32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．

注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．

∴ (6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)

32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．

54228．什么是综合除法？

由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．

如：计算(2x?3x?4)?(x?3)．

3

因为除法只对系数进行，和x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．

还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：

- 2 -

将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．

多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求x?3x?3x?3x?12除以x?1的商式和余式． 规范解法

432

∴ 商式?x?2x?x?2，余式＝10．

32

例2 用综合除法证明2x?15x?10x?9能被x?3整除．

规范证法 这里x?3?x?(?3)，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）

532

因余数是0，所以2x?15x?10x?9能被x?3整除．

当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求2x?x?7除以2x?1的商式和余数． 规范解法 把2x?1除以2，化为x?353212，用综合除法．

但是，商式?2x?x?式；余数没有变．

∴ 商式?x?2232，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商

12x?34，余数??734．

为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．

- 3 -

用2x?x?7除以x?312，得商式2x?x?232，余数为?734，即

∴ 2x?x?3??x?3??1??3?32??2x?x???7 2??2?4??2 ??2x?1??x?12x?3?3． ?7?4?412x?34，余数仍为?7即 2x?x?3除以2x?1的商式?x?

3234．

综合除法与余数定理

综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。

一、综合除法

一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式f(x)除以除式g(x),(g(x)?0)得商式

q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：

f(x)?g(x)?q(x)?r(x)。

其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)?0。当r(x)?0时，就是f(x)能被g(x)整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求2x?14x?4?7x除以x?2所得的商和余式。

432解：

?740?6?14?12?42?4

?82?3?6?2?????????余式商的各项的系数∴(2x?14x?4?7x)?(x?2)的商是2x?3x?6x?2，余式是8。 上述综合除法的步骤是：

（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。

（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同

-7相加，得到商的第二项系数-3。

（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，

同0相加，得到商的第三项的系数-6。

（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，

同14相加，得到商的第三项系数2。

（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到

余式8。

前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？

- 4 -

4332例2、求(3x?10x?23x?16)?(3x?2)的商式Q和余式R。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用x?即可。

3223去除被除式，再把所得的商缩小3倍

33?10?2?23?8?15?16?10233?31∴Q=x?4x?5， R=6。

2?12?5?6

?4下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。

例3、用综合除法求(3x?7x?11x?10x?4)?(x?3x?2)的商Q和余式R。

43223?7?9?11?66?10?4?3?2?4?3?2?2

解：

?32?2?1?3∴Q=3x?2x?5， R=3x?2。

二、余数定理

余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。

余数定理：多项式f(x)除以x?a所得的余数等于f(a)。 略证：设f(x)?Q(x)?(x?a)?R 将x=a代入得f(a)?R。

例4、确定m的值使多项式f(x)?x?3x?8x?11x?m能够被x-1整除。 解：依题意f(x)含有因式x-1，故f(1)?0。 ∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－17。

求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。 解：设f(x)?x?ax?b

∵f(x)被x?3除余1，∴f(3)?9?3a?b?1

①

2543∵f(x)被x?1除和x?2除所得的余数相同，∴f(1)?f(2)即1?a?b?4?2a?b ② 由②得a??3，代入①得b?1 ∴f(x)?x?3x?1。

注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。

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