浅谈反证法在中学数学中的应用

浅谈反证法在中学数学中的应用

论文摘要： 阐明反证法的定义、逻辑依据、种类、证明的一般步骤、，探索了反证

法在中学数学中的应用。

关 键 词： 反证法 证明 矛盾

Reduction to Absurdity Applied in Mathematics in Middle School

Wu-shilei

Abstract: In this paper, we give the definition ，the logical basis and

species of reduction to absurdity. Besides, we illustrate its procedures and

explore its applications of on mathematics in the middle school.

Key-words: reduction to absurdity proof contradict

一. 引言

有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，

独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基本的一些性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。

二. 反证法的定义、逻辑依据、种类及模式

定义：反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。

不仿设原命题为p?q，s是推出的结论，s一般是条件、某公理定义定理或临时假设，用数学术语可以简单地表示为：p?q?s?s?p?q，即

??p?q?s?s?p?q。

逻辑依据：反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。 其主要思维过程：假定“结论不成立”，结论一不成立就会出现毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，或者与公理、定理矛盾，或者与临时假定矛盾，或者自身矛盾的方式暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？我们的推理没有错误，已知条件，已知公理、定理没有错误，这样，唯一有错误的地方就是一开始假定的“结论不成立”有错误。“结论不成立”与 “结论成立”必然有一个正确，既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。

种类：运用反证法的关键在于归谬，因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同，分为简单归谬法和穷举归谬法。

模式：设待证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有三个步骤：

反设：作出与求证结论相反的假设；

归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

??三. 反证法的适用范围

反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其它各部分内容，如代数、

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三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。

1.否定性命题

即结论以“没有??”“不是??”“不能??”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。

例 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。

证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大于900不成立。所以，一个三角形不可能有两个钝角。

2.限定式命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。 例 在半径为5的圆中，有半径等于1的九个圆，证明：至少有两个小圆的公

?共部分的面积不小于9。

?2C?36个公共部99证明：每个小圆的公共部分的面积都小于，而九个小圆共有

36??9分，九个小圆的公共部分面积要小于

?4?，又大圆面积为5?，则九个小圆应

占面积要大于9??4??5?，这是不可能的，故至少有两个小圆的公共部分面积不少

?于9。

222x?(a?1)x?a?0，x2?2ax?2a?0中至少x?4ax?4a?3?0例 已知方程，

有一个方程有实数值，求实数a的取值范围。

分析：此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦，可用反证法，假设三个方程都无实数根，然后求满足条件a的集合的补集即可。

证明：假设三个方程都无实根，则有：

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?(4a)2?4(?4a?3)＜0?22?(a?1)?4a＜0?4a2?8a＜0?3-＜a＜-1解得 2

例6 已知点

E，F，G，H分别在单位正方形ABCD的四边上(图

又四边形EFGH的四个内角中，至少有一个内角不大于90°(否则，四边形内角和将大于360°)，因此，不妨设∠EFG≤90°，则EG2≤EF2+EG2(可根据勾股定理及广勾股定理证明．请读者自证)，所以EG2＜1，EG＜1．但在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB与CD间距离为1，所以EG≥1，与EG＜1矛盾．

说明 在利用反证法证题时，推出的矛盾，可以是推出的事实与已知条件、已知定义、公理、定理相矛盾，也可以是推出的事实(如本题中的EG＜1)与推出的事实(如本题中的EG≥1)相矛盾．这一点要根据推证过程，灵活判断． 例7 已知m，n，p都是正整数，求证：在三个数

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中，至多有一个数不小于1．

证 假设a，b，c中至少有两个数不小于1，不妨设a≥1，b≥1，则

m≥n+p，n≥p+m．

两式相加，得2p≤0，从而p≤0，与p是正整数矛盾． 所以命题成立．

说明 “不妨设”是为了简化叙述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各种情况时，证明过程是同样的．

3a??或a??12∴所求a的范围为.

3.无穷性命题

即涉及各种“无限”结论的命题。 例 求证：2是无理数。

分析：由于题目给我们可供便用的条件实在太少，以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的，“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设2是有理数时，就增加了一个具体而有效的“条件”，使得能方便地将2表示为一个分数。

证明：假设2是有理数，则存在a,b?N.且a,b互质，使

2?a?a2?2b2b，从

2222而，a为偶数，记为a?2c，∴a?4c，∴2c?b，则b也是偶数。由a,b均为

偶数与a、b互质矛盾，故2是无理数。

例 求证：素数有无穷多个。

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证明：假设素数只有n个： P1、P2??Pn，取整数N=P1·P2??Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、??Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。

4.逆命题

某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论，从而带来方便。 例 正命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等。 逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆。 逆命题的证明：如图，若AB+CD＝AD+BC??（1），设四边

形ABCD不能有一个内切圆，则可作⊙O与其三边AD、DC、AB相切，而BC与⊙O相离或相交，过C作⊙O的切线交AB或延长线于点E,由正命题知：AE+CD＝AD+CE??（2）.当BC与⊙O相离时，（1）-（2）得AB-AE＝BC－CE?BC＝CE+BE，这与三角形两边之和大于第三边相矛盾；当BC与⊙O相交时，（2）-（1）得AE-AB＝CE－BC?BC＝CE+BE，同样推出矛盾，则BC与⊙O不能相交或相离，BC与⊙O必相切，故四边形必有一个内切圆。

5.某些存在性命题

例 设x，y∈(0,1),求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax -

1by|≥3成立.

1证明：假设对于一切x , y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| ＜3恒成立，令x = 0 , 11y = 1 ,则|b|＜3令x = 1 , y = 0 , 得| a| ＜3令x = y = 1 ,得| 1 - a - b| ＜11113但| 1 - a - b| ≥1 - | a| - | b| ＞ 1 -3-3=3产生矛盾,故欲证结论正确。

6.全称肯定性命题

即结论以“??总是??”、“??都??”、“??全??”等出现，这类肯定性命题可以用反证法试试。

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21n?4例 求证:无论n是什么自然数，14n?3总是既约分数。

21n?44n?3?kb证明：假设14n?3不是既约分数，令21n?4?ka（1），1（2）

（k,a,b?N,ka13kb?2ka?1?3b?2a?1）k，，且b为既约分数，由（2）×3-（1）×2得

1121n?43b?2a?k不成立，故假设不成立，分数14n?3是因3b?2a为整数，k为分数，则

既约的。

7.一些不等量命题的证明

如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法。

例 已知a、b、c、d∈R，且ad-bc＝1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1。 证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd＝1，把ad－bc＝1代入前式得：a2+b2+c2+d2+ab+bc-ad+cd＝0 即（a+b）2+（b+c）2+（c+d）2+（a-d）2＝0 ∵a、b、c、d∈R∴a+b＝b+c＝c+d＝a-d＝0 ∵a＝b＝c＝d，从而ad-bc＝0与ad-bc＝1矛盾.故假设不成立，原命题成立.

例 在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC.

分析：此题看似简单，不用反证法，用平面几何的知识也能解决，也可以用反证法加以证明。

证明：假设AB不大于AC，即AB≤AC，下面就AB＜AC或AB＝AC两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立，则假设错误，即原命题成立.

若AB＝AC，则△ABC为等腰三角形，∴∠B＝∠C，与已知∠C＞∠B矛盾.

若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使得AD=AC，连接DC. ∵AD=AC

∴△ADC为等腰三角形 ∴∠ADC＝∠ACD，又∵∠ABC为△ABD的一个外角 ∴∠ABC＞∠BDC＝∠ACD 而∠ACD＞∠ACB＝∠C ∴∠ABC＞∠C 即∠B＞∠C，与已知矛盾. ∴假设不成立，原命题成立

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例3 求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．

分析 这个命题的条件是：如果x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根，结论是：那么bc≠0．而bC≠0的否定是bc=0，而bc=0有三种情况：(1)b=0，C=0；(2)b=0，c≠0；(3)b≠0，c=0． 证 假设bc=0．

(1)若b=0，c=0，方程变为x2=0，那么x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知条件中方程有两个不相等的非零实数根矛盾．

(2)若

b=0，c≠0，方程变为x2+c2=0，则x2+c2≠0，与x2+bx+c2=0矛盾．

(3)若b≠0，c=0，方程变为x2+bx=0，方程根为x1=0，x2=-b这与条件中方程有二个非零实数根矛盾．

综合(1)，(2)，(3)可知bc≠0．

例4 证明：x2-xy+y2+x+y不可能分解为两个一次因式的乘积． 分析 否定命题结论，然后利用恒等式比较系数，设法推出矛盾．

证 假设多项式x2-xy+y2+x+y能分解为两个一次因式的乘积，因为x2-xy+y2+x+y中不含常数项，所以上式可分解为

(ax+by)(cx+dy+e)(其中a，b，c，d，e均不为0)，所以 x2-xy+y2+x+y =(ax+by)(cx+dy+e)

=acx2+(ad+bc)xy+aex+bdy2+bey．

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比较系数得

由①，④得c=e，由③，⑤得d=e，从而c=d=e．又由④，⑤得a=b，所以②为 ad+be=bd+bd=2bd=-1，

分析与证明 (1)我们先来观察这一串数有什么特征．

11=2×5+1， 111=2×55+1， 1111=2×555+1， ??????

没有完全平方数．

(2)我们再用反证法来证明这一命题．

因为上式右端为偶数，所以a2-1也是偶数，所以a2为奇数．但a2-1=(a+1)(a-1)，由于(a+1)与(a-1)均为偶数，故可设

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a+1=2m，a-1=2n．

这样

8.基本命题

即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如：平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜用反证法来证明。

例 已知：如图 AB⊥EF于M。CD⊥EF 于N。求证：AB∥CD 证明:假设AB,CD不平行，即AB,CD交于点P ，则过P点有AB⊥EF ，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾 。∴假设错误，则AB∥CD。

例1 在同一平面内，平行于同一直线的两条不同直线必定平行． 已知：(如图3－120)直线a，b，c中，a∥c，b∥c． 求证：a∥b．证(1)提出反设：假定ab．

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(2)推出矛盾：由于ab，那么a，b必相交于一点，设为P．因为a∥c，b∥c，

那么过P点有a，b两条直线同时平行于c，与平行公理矛盾． (3)肯定结论：由(2)可知假设ab错误，所以a∥b． 说明 (1)本题证明中，利用“平行与相交”互为否定．

(2)本题证明中，写出了“(1)提出反设；(2)推出矛盾；(3)肯定结论”，目的是使读者体会反证法的论证步骤，在实际证明时，不必写出这三个小标题，直接写出反证法的证明过程即可．

例 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P,求证：a、b只有一个交点。

证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a, b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a, b。与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。

9.整除性问题

例 设a、b都是整数，a2+b2 能被3整除，求证：a和b都能被3整除. 证明：假设a、b不都能被3整除，分三种情况讨论：（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不能被3整除，矛盾.同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.

四. 运用反证法应注意的问题 1.必须正确否定结论

正确否定结论是运用反证法的首要问题。

如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指：“只有一个”或“没有一个”，其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即“至少有两个是直角”。

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2.必须明确推理特点

否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的. 一般总是在命题的相关领域里考虑（ 例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点。因此，在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束。

3.了解矛盾种类

反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等

五、小结

反证法是数学中一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作用. 著名的英国数学家G.H.哈代对于这种证明方法作过一个令人满意的评论。在棋类比赛中，经常采用一种策略是“弃子取势”—牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出，归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略；棋手可以牺牲的是几个棋子，而数学家可以牺牲的却是整个一盘棋。归谬法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨,提高数学解题能力.

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