变量与函数

变量与函数

【知识要点】

1．常量：在一个变化过程中，不发生改变的量叫常量； 变量：在一个变化过程中，发生改变的量叫变量； 2．函数

定义:一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定一个y值，那么称y 是x的函数（function）.其中x是自变量，y是因变量. 注意：（1）函数具有两个变量；

（2）对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值和它对应； （3）函数不是数，是某一变化过程中两个变量之间的关系。

3．（1）自变量取值范围的确定:在个函数表达式中,自变量的取值必须使函数解析式有意义,这就是函数自变量的取值范围.

（2）函数值:对于自变量在取值范围内的某个确定的值a,函数y所对应的值为b.即当x=a时,y=b,那么b叫做自变量的值为a时的函数值. 4．函数图像:

一般地,对于一个函数,如果把自变量和函数的每个对应值分别作为点的横纵坐标,那么坐标平面内由这些点所组成的图形,就是这个函数的图象. 5．函数的三种表达式：

（1）列表法：列出自变量x和函数y的一系列对应值； （2）图象法：描点，连线； （3）解析式法：用待定系数法求关系式 【典型例题】 例1、变量与常量

1．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，?指出其中的常量与变量，并写出关系式．

2．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h?变化关系式，并指出其中常量与变量．

3．每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售票x张，票房收入y元．?怎样用含x的式子表示y?

例2、函数关系式

下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子． １．改变正方形的边长x，正方形的面积Ｓ随之改变．

２．秀水村的耕地面积是10m，这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n?的变化而变化．

例3.一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．

1．写出表示y与x的函数关系式． 2．指出自变量x的取值范围．

3．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？

例4.下面的图象反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上。 根据图象回答下列问题：

1．菜地离小明家多远？小明从家到菜地用了多少时间？ 2．小明给菜地浇水用了多少时间？

3．菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？ 4．小明给玉米地锄草用了多少时间？

5．玉米地离小明家多远？小明从玉米地回家的平均速度是多少？

【基础测试】

1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q?（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是 （ ） A．Q=8x B．Q=8x-50 C．Q=50-8x D．Q=8x+50

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2．在一个变化过程中，__________________的量是变量，?________________的量是常量．

3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y．

份数/份 价钱/元 1 … 2 3 4 … x与y之间的关系是_________________．

4．长方形相邻两边长分别为x、?y?，面积为30?，?则用含x?的式子表示y?为___________，则这个问题中，___________常量；_________是变量．

5．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．

（1）用20cm的铁丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系． （2）直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系．

（3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出0.5吨水，试用流水时间t?（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）．

6．小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1 000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（ ）．

7．近一个月来漳州市遭受暴雨袭击，九龙江水位上涨．小明以警戒水位为原点，用折线统计图表示某一天江水水位情况．请你结合折线统计图判断下列叙述不正确的是（ ）． A．8时水位最高

水位／米 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1500 1000 500 y/米 1500 1000 y/米 y/米 1500 1000 1500 1000 y/米 O 10 20 30 40 50 A． x/分

500 O 10 20 30 40 50 x/分

500 O 10 20 30 40 50 C．

x/分

500 B．

O 10 20 30 40 50 D．

x/分

P

0 4 8 12 16 20 24 时间／时

B．这一天水位均高于警戒水位

C．8时到16时水位都在下说降 D．P点表示12时水位高于警戒水位0.6米

8．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（ ）． A．李华先到达终点 B．弟弟的速度是8米／秒 C．弟弟先跑了10米

D．弟弟的速度是10米／秒

【同步提高】 一、选择题

1.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率?与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（ ）. （A）数100和?，t都是变量 （B）数100和?都是常量 （C）?和t是变量 （D）数100和t都是常量

2. 汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t小时，则汽车离开甲站所走的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系式是（ ）.

（A）s?10?60t （B）s?60t （C）s?60t?10 （D）s?10?60t

4.下列图表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高d处落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系：

d b 50 25 80 40 100 50 150 75 则能反映这种关系的式子是（ ）.

（A）b?d （B）b?2d （C）b?

5.下列函数中，自变量x不能为1的是（ ）. （A）y?

6.下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）

y y y

2d

（D）b?d?25 2

1x?2x （B）y? （C）y?2x?1 （D）y? x8x?1y

（B）

7. 甲乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数关系的图象，如图所示。根据图中提供的信息，有下列说法： ① 他们都行驶了18千米。 ② 甲车停留了0.5小时。 ③ 乙比甲晚出发了0.5小时。 ④ 相遇后甲的速度小于乙的速度。 ⑤ 甲、乙两人同时到达目的地。 其中符合图象描述的说法有（ ） （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 二、填空题

8.已知等式2x?y?4，则y关于x的函数关系式为________________.

9. 市场上一种豆子每千克售2元，即单价是2元/千克，豆子总的售价y（元）与所售豆子的数量xkg之间的关系为_______，当售出豆子5kg时，豆子总售价为______元；当售出豆子10kg时，豆子总售价为______元． 10.函数是表达现实世界中数量之间变化规律的一种数学模型，它的三种数学表示方法分别为_________、_________、_________. 11.函数y?x?2中自变量x的取值范围是______________.

14212.导弹飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间存在着的数量关系为h??t?300t，当t?15时，

h?____________.

13.假定甲、乙两人在一次赛跑中,路程S与时间t的关系如图所示,看图填空: (1)这是一次_______赛跑.(2)甲、乙两人中先到达终点的是_________.

(3)乙在这次赛跑中的平均速度是_________m/s.

三、解答题.

14.长方形的周长为20cm，它的长为acm，宽为bcm. （1）上述的哪些是常量？哪些是变量？ （2）写出a与b满足的关系式；

（3）试求宽b的值分别为2，3.5时，相应的长a是多少？ （4）宽为多少时，长为8cm？

15.如图所示，三角形的底边长为8cm，高为xcm. （1）写出三角形的面积y与高x之间的函数关系式；

（2）用表格表示高从5cm变到10cm时（每次增加1cm）y的对应值； （3）当x每次增加1cm时，y如何变化？说说你的理由.

16.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）. （1）图象表示了哪两个变量的关系？ （2）10时和13时，他分别离家多远？

（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

（4）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （5）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？

距离/千米30252017151009101112131415时间/时

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