2015-2022年北京市中考数学分类对比分析与分类汇编-近8年中档题

（ （ （ + -1 2 3 - 2 + 4sin 60? 。

0 ? (1 - 3 ) + -

2 - 2cos 45? + ? 【2012 年 1

3 题】计算： (π - 3)0 + 18 - 2sin 45? - ?

解答题 1

1.实数的运算

知识点(次数） 年份（题号）

19（17 题） 18（18 题） 17（17 题） 16 17 题） 15（17 题） 14（14 题） 13 14 题） 12

13 题）

特殊角的三角函数 (8 次)

0 次幂(8 次)

sin 60?

(4 - π )0

sin 45?

(π - 2)0

cos 30?

(1 - 2)0

sin 45?

(3 - π )0

sin 60?

(π - 7 )0

tan 30?

(6 - π )0

cos 45?

(1 - 3)0

sin 45?

(π - 3)0

绝对值（正有理数、

负无理数、有理数与 - 3 -1

- 2 1 - 3 3 - 2 - 3 - 2

无理数的差）(7 次)

二次根式(4 次)

18

12 8

18

负指数幂(5 次)

1 ( )-1 4

1 ( )-

2 2

1 (- )-1

5

1 ( )-1 4

1 ( )-1 8

必考知识和方法：特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂、二次根式化简、负指数幂

【2019 年 17 题】计算： - 3 - (4 - π )0

+ 2 sin 60o

（1 ） . 4

【2018 年 18 题】计算: 4sin45°+(π-2)0- 18 +|-1 | .

【2017 年 17 题】计算： 4cos30 o +(1- 2) 0 - 12 ÷ -2

【2016 年 17 题】计算： (3 - π)0 + 4sin 45o - 8 + 1 - 3 .

1

【2015 年 17 题】计算： ( )-2 - (π - 7) 0 +

【2014 年 14 题】计算：

(6 - π ) + ? - 1 ?-1

- 3tan 30? + - ? 5 ?

3

【2013 年 14 题】计算：

? 1 ?-1 ? 4 ?

? 1 ?-1 ? 8 ?

?? 3 ?? 2 > 2 x . ?? 3 ?? 2

?? 【2014 年 15 题】解不等式 x - 1≤ x - ，并把它的解集在数轴上表示出来. 2 ．．．．． 2.不等式（组）的求解

必考知识和方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1、将解集表示在数

轴上，写出不等式（组）的解集、写出特殊解

?4(x - 1) < x + 2, ? 【2019 年 18 题】解不等式组： ? x + 7 > x.

?3(x + 1) > x - 1， ? 【2018 年 19 题】解不等式组: ? x + 9

?（x +1）>3x -7 ? 【2017 年 18 题】解不等式组： ? x + 10 > 2x

?2 x + 5 > 3(x -1) ? 【2016 年 18 题】解不等式组： ? x + 7 4 x > ?4( x + 1) ≤ 7 x + 10 ? 【2015 年 19 题】解不等式组 ? x - 8 ，并写出它的所有非负整数解。 x - 5 < 3

1 2 1 2 3 2

-4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

?3x > x - 2 ? 【2013 年 15 题】解不等式组： ? x + 1 ?? 3 > 2x

?4 x - 3 > x ， 【2012 年 14 题】解不等式组： ? ? x + 4 < 2 x - 1.

3.一元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解

知识点 19（19 题） 18（20 题） 17（21 题） 16（20 题） 14（17 题） 13（18 题） 年份（题号）

给方程，判断方 （1）给参数的 （1）证明有两 （1）证明有两

程根的情况关系判断方程实根实根

根的情况

已知方程根的有实根且参数（2）有两相等（2）一根＜1，（1）求参数的（2）两实数根（1）求参数的情况求参数的为正整数，求的实数根，写求参数取值范围都是整数，求取值范围；

取值参数的值，并

解方程参数的值，求

方程组的解

（2）任写参数参数

的值，求方程

（2）参数为正

整数，根是整

组的解数求参数

必考考点和方法：根据判别式b2-4ac的值判断方程根的情况，根据方程根的情况列方程或不等式求参数的取值范围，确定参数的值再解方程

【2013年18题】已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。

【2016年20题】关于x的一元二次方程+(2m有两个不相等的实数根。

（1）求m的取值范围；

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根。

【2019年19题】关于x的方程

x2-2x+2m-1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【2014年17题】已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m≠0).

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.

【2017年21题】关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围.

【2018年20题】关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况;

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.

4.四边形中的证明与计算

知识点及出现次数19（20

题）

18（21

题）

17（22

题）

16（23

题）

15（22

题）

14（19

题）

13（19

题）

12（19

题）

年份

题目背景菱形背景

下的证明

和求线段

的长度

四边形背

景下菱形

的判定和

求线段的

长度

四边形背

景下菱形

的判定和

求线段的

长度；

四边形中

的线段关

系和计算

（和三角

形计算有

平行四边

形背景下

矩形的判

定和角平

分线的证

平行四边

形背景下

菱形的判

定和求线

段的长度

平行四边

形背景下

平行四边

形的判定

和求线段

四边形中

的求线段

长度和求

四边形面

积（和三

关）明的长度；角形相

关）

平行线的性质（6√√√√√√

次）

平行四边形的判定√√√√√

（5次）

角平分线（5次）√√√√√

勾股定理（5次）√√√√√

解直角三角形（5√√√√√次）

菱形的性质（4次）√√√√

平行四边形的性质√√√

（3次）

菱形的判定（3次）√√√

直角三角形斜边中√√√

线定理（3次）

等腰三角形的判定√√√

（3次）

等腰三角形的性质

（2次）

√√

三角形内角和（2

次）

√√

等边三角形的判定

和性质（2次）

√√

线段中点（2次）√√

平行线的判定（1

次）

√

三角形中位线定理

（1次）

√

矩形的判定（1次）矩形的性质（1次）√√

求三角形面积（1

次）

√

必考考点和方法：平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形、四边形问题转化为三角形问题。

【2019年20题】如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；

（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，

A

若BD=4，tanG=1

2，求AO的长．B

E F

D

知识点：菱形的性质；等量减等量差相等；等腰三角形三线合一；平行线

的判定和性质；解直角三角形C

方法：（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC⊥BD，OB=OD，得出AB：BE=AD：DF，证

出EF∥BD即可得出结论；

（2）由平行线的性质得出∠G=∠ADO，由三角函数得出tanG=tan∠ADO，得出OA=OD，由BD=4，得出OD=2，得出OA=1．

【2018年21题】如图，在四边形A BCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB=，BD=2，求OE的长．

知识点：角平分线的定义；平行线的性质；等量代换；等角对等边；平行四

边形的判定；菱形判定；菱形性质；勾股定理；直角三角形斜边中线定理

方法：（1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出

CD=AD=AB，即可得出结论；

（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．

【2017年22题】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．

知识点：线段中点定义；等量代换；平行四边形判定；直角三角形斜边中线定理；菱

形判定；角平分线定义；平行线的性质；等角对等边；解直角三角形；菱形性质；勾

股定理；三角形内角和

方法：（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；

（2）在△Rt ADC中只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题

（

【2016 年 23 题】如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，AC=AD ，M ，N 分别为 AC ，CD 的中点，连

接 BM ，MN ，BN ．

（1）求证：BM=MN ；

（2）∠BAD=60°，AC 平分∠BAD ，AC=2，求 BN 的长．

知识点：直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；等量代换；角平分线定义；三

角形内角和；等边三角形判定和性质；平行线的性质；勾股定理

方法：（1）根据三角形中位线定理得 MN= AD ，根据直角三角形斜边中线定理得 BM= AC ，由此即可证 明．

（2）首先证明∠BMN=90°，根据 BN2=BM2+MN2 即可解决问题．

【2015 年 22 题】在 Y ABCD 中， 过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ， 点 F 在边 CD 上， DF=BE ， 连接 AF ， BF ．

(1)求证: 四边形 BFDE 是矩形;

(2)若 CF=3， BF=4， DF=5， 求证: AF 平分∠DAB.

知识点：平行四边形的判定和性质；矩形的判定；矩形的性质；勾股定理；

等量代换；等边对等角；角平分线定义

方法：（1）根据平行四边形的性质，可得 AB 与 CD 的关系，根据平行四边

形的判定，可得 BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；

(2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB ，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA ，根据角 平分线的判定，可得答案．

【2014 年 19 题】如图，在Y ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交 BC 于点 E ，BF 平分 ABC ，交 AD 于点 F ，AE 与 BF 交 于点 P ，连接 EF ，PD ．

（1）求证：四边形 ABEF 是菱形；

（2）若 AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求 tan ∠ADP 的值．

知识点：平行四边形的判定和性质；平行线的性质；角平分线定义；等量代换；等角对等边；菱形判定；菱

形性质；解直角三角形；锐角三角函数

方法： 1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得 AB=BE ，AB=AF ，AF=BE ， 从而证明四边形 ABEF 是菱形；

（2）作 PH ⊥AD 于 H ，根据四边形 ABEF 是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到 AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°， AP ⊥BF ，从而得到 PH= ，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．

【2013年19题】如图，在Y ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

知识点：平行四边形的判定和性质；线段中点定义；解直角三角形；勾股定理

方法:（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；

（2）如图，如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．

【2012年19题】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90?，∠CED=45?，∠DCE=30?，DE=2，BE=22．求CD的长和四边形ABCD的面积．

知识点：解等腰直角三角形、解含30°角的直角三角形；对顶角相等；求三角形面积；求四边形面积

方法：作DH⊥CE交AC于点H，解等腰△Rt DEH，得DH长，再解含30°的Rt△DCH得CD长。再有对顶角相等及题设条件解等腰△Rt ABE，得到AE的长，将四边形面积转化为△ACD和△ABC的面积和即可。

5.圆的有关证明和计算

知识点及使用次数

19（22

题）

18（22

题）

17（24

题）

16（25

题）

15（24

题）

14（21

题）

13（20

题）

12（20

题）

年份

直接用圆的定义√√√

切线的性质（7次）√√√√√√√

垂径定理（5次）√√√√√

解直角三角形（含三角函数）√√√√√

（5次）

勾股定理（4次）√√√√

相似（4次）√√√√

等腰三角形的性质（3次）√√√

圆周角定理及推论（2次）√√

平行线的判定（2次）√√

弧弦圆心角关系定理（2次）√√

切线的判定（2次）√√切线长定理（2次）√√

全等三角形的判定（2次）√√平行线分线段成比例（2次）√√

等腰三角形的判定（1次）√

平行线的性质（1次）√

平行四边形的判定（1次）√

等边三角形的判定（1次）等边三角形的性质（1次）√√

角平分线（1次）√

必考知识及方法：圆的定义、垂径定理、切线的性质和判定、圆周角定理、弧，弦，圆心角的关系、常用辅助线的添加、锐角三角函数、勾股定理、特殊三角形（等腰、等边、直角）的性质和判定、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定

【2019年22题】在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a

为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．

（1）求证：AD=CD；

（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求

直线DE与图形G的公共点个数．

A

B C

知识点：圆的定义、三角形外接圆、圆周角定理、垂径定理、切线的判定

方法：1.根据题中语句能准确画出图形G即△ABC的外接圆，再用圆周角、弧、弦的关系得出结论；

2.能根据题中条件猜测并用垂径定理证明BC是直径，再判定DE是圆的切线。

【2018年22题】如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．

（1）求证：OP⊥CD；

（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．

知识点：切线长定理、切线的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形

方法：1.方法一：直接用切线长定理和垂径定理得出结论；方法二：用全等三角形的判定和性质、垂径定理得出；

2.能用圆内等腰三角形的性质得出等边三角形OCD，再解直角三角形即可。

【2017年24题】如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．

（1）求证：DB=DE；

（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．

知识点：垂径定理、切线的性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理

方法：1.能用切线的性质和等量代换得到角相等，再用等腰三角形的判定得出边相等；

2.关键在于会常用辅助线的添加，并用锐角三角函数和勾股定理求出半径。也可用相似三角形得出对应的比例式求解。

【2016年25题】如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.

(1)求证:AC∥DE;

(2)连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路.

知识点：垂径定理、切线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的性质和判定

方法：1.能用垂径定理和切线的性质分析出两直线平行；

2.能猜测出四边形ACDE是平行四边形并证明，会常用辅助线的添加方法，会利用特殊三角形解决问题。

【2015年24题】如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．

(1)求证:△ACD是等边三角形;

(2)连接OE，若DE=2，求OE的长.

知识点：切线的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理

方法：1.能用垂径定理及切线的性质分析出弦相等，从而证出等边三角形；

2.能做出辅助线，构造出直角三角形，用等边三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定

理求解。

【2014年21题】如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：AC=CD；

（2）若OB=2，求BH的长．

知识点：切线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理。

方法：1.能正确作出常用辅助线OC，并能根据等腰三角形三线合一得出OC⊥AB，能由切线的性质得出BD⊥AB，从而得到OC∥BD，再用平行线分线段成比例得出AC=CD；

2.能判定出其中的全等三角形，并能发现其中的双垂直模型，用相似三角形的性质得出比例式。

【2013年20题】如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。

（1）求证：∠EPD=∠EDO

（2）若PC=6，tan∠PDA=

3

4，求OE的长。

知识点：切线长定理、切线的性质、相似三角形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理

方法：1.根据切线长定理和切线的性质可直接得出结论；

一次函数与反

2.能根据题意做出常用辅助线 OC ，能由给出的正切值求出 C D=4，由第一问的结论证出△OED ∽△DEP ，由相

似的性质和勾股定理求出 OE 长。

【2012 年 20 题】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点 D ，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD

的延长线于点 E ，连结 BE ．

（1）求证：BE 与⊙O 相切；

（2）连结 AD 并延长交 BE 于点 F ，若 OB=9， sin ABC= 2

，求 BF 的长．

3

知识点：垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数

方法：1.能根据要证明的结论做出辅助线，证明三角形全等，得对应角相等，从而证出相切。

2.能根据条件想到用三角形相似来求，由此想到辅助线的构造方法，再用三角函数求出相应的线段长，用相似

三角形的性质得出比例式。

6. 一次函数与反比例函数

知识点

年份（题号）

19（25 题） 18（23 题） 17（23 题） 16（21 题） 15（23 题） 12（17 题）

题目类型 整点类 整点类

数形结合不等 式及取值范围 一次函数与不 等式

线段倍分关系 类

面积类

函数类型

一次函数

一次函数与反 类

一次函数与反

一次函数 一次函数与反

考 察

内

画函数图象

√

（2 次）

找特殊点 √ 比例函数

√

√

比例函数

√ 比例函数

√ 比例函数

√

容 （与坐标轴

交点、临界

点）（5 次）

求解析式（4 次）

√ √ √ √

求点的坐标

（3次）

√√√

整点问题（2

次）

√√

求参数的取√√

值（2次）

一次函数中√

k与图象的

关系（1次）

求线段的长

（1次）

√

比较函数值

大小（1次）

√

三角形的面

积（1次）

√

解数形结合（6√√√√√√法次）

分类讨论（4√√√√

次）

待定系数法√√√√（4次）

方程组（1

次）

√

特殊与一般（1次）

解不等式（1次）√√

相似（1次）√

拆分（1次）√

必考知识点和方法：待定系数法求解析式、由线段之间的关系求系数的取值、由面积得线段长，由线段长得点的坐标，利用交点坐标比较两个函数值的大小、正确画出函数图象、数形结合、分类讨论

【2019年25题】在平面直角坐标系xOy中，直线l：

y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=-k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=-k交于点C．

（1）求直线l与y轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．

①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

【2017 年 23 题】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = （x >0）的图象与直线 y =x-2 交于点 M ，过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y = （x >0）的图象于点 N ．

②若区域W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围．

方法：一次函数与坐标轴的交点、能分析出一次函数解析式中k 与图象的关系、和直线上的点比较找整点、分类讨论

【2018 年 23 题】在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （x ＞0）的图象 G 经过点 A （4，1），直线 l ：y=

+b 与图

象 G 交于点 B ，与 y 轴交于点 C ．

（1）求 k 的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 G 在点 A ，B 之间的部分与线段 OA ，OC ，BC 围成的区

域（不含边界）为 w ．

①当 b=﹣1 时，直接写出区域 W 内的整点个数；

②若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围．

方法：待定系数法、反比例函数与一次函数及坐标轴的交点、通过比较分析整点、数形结合、分类讨论

k x

A （3，m ）．

（1）求 k ，m 的值；

（2）已知点 P （n ，n ）（n >0），过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y =x-2 于点

k x

①当 n =1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由；

②若 PN ≥PM ，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围．

方法：待定系数法求解析式、用点的坐标求线段长、数形结合、分类讨论

【2016 年 21 题】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A （－6，0）的直线 与直线 ；y=2x 相交于点 B （m ，4）。

（1）求直线 的表达式；

（2）过动点 P(n,0)且垂于 x 轴的直线与

的交点分别为 C,D,当点 C 位于点 D 上方时，写出 n 的取值范围。

方法：待定系数法求解析式、数形结合、由交点坐标比较两个函数值的大小

【2015 年 23 题】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+b(k ≠0)与双曲线 y= 的一个交点为 P(2， m)， 与 x 轴、y

8

x

轴分别交于点 A ，B.

(1)求 m 的值;

(2)若 P A=2AB ， 求 k 的值.

方法：由点在曲线上求点的坐标、由线段之间的倍数关系求系数、数形结合、分类讨论

【2012 年 17 题】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y =

4

( x > 0) 的图象与一次函数

x

y = kx - k 的图象的交点为 A (m ，2) .

（1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数 y = kx - k 的图象与 y 轴交于点 B ，若 P 是 x 轴上一点， 且满足

△PAB 的面积是 4，直接写出点 P 的坐标．

方法：待定系数法求解析式、由面积得线段长、由线段长得点的坐标、数形结合

7.其他考点

【2019 年 23 题】小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成 4 组，第 i 组有 x i 首，i =1，2，3，4；

②对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（ i + 1 ）天背诵第二遍，第（ i + 3 ）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，

其它天无需背诵， i = 1，2，3，4；

第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 第 6 天 第 7 天

第 1 组

x

1

x 1

x

1

第 2 组

x

2

x

2

x

2

第 3 组

第 4 组

x

4 x

4

x

4

③每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首．

解答下列问题：

（1）填入

（2）若 x 1 x

3 补全上表；

= 4 ， x = 3 ， x = 4 ，则 x 2 3

4 的所有可能取值为 _________ ；

（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为 ______ 首．

考点：数字的变化规律、不等式的应用。

方法：正确理解题意，能用不等式的知识解决该题。

【2018年17题】下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知:直线l及直线l外一点P.

求作:直线PQ，使得PQ∥l.

作法:如图，

①在直线l上取一点A，作射线P A，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B;

②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q;

③作直线PQ.

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明:∵AB=，CB=，

∴PQ∥l()(填推理的依据).

考点：尺规作图，三角形中位线定理。

考点：全等三角形

方法：平行得角等、角平分线得角等、边角边证全等、角角边证全等、全等三角形得边等角等、等腰三角形三线合一、等量代换

【2017年19题】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC点D。

求证：AD=BC.

【2016年19题】如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分

线于点E.求证：DA=DE

,交DC的延长

A

【2015年20题】如图，在?ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，B E⊥AC于

点E。

E

求证：∠CBE=∠BAD。

.Com]

B D C

E

C

【2014年13题】如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB.

求证：∠A=∠E.

A B D

【2013年13题】如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。

求证：BC=AE。

【2012年16题】已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．

求证：BC=ED.

【2014年22题】阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1△

，在ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．

小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：∠ACE的度数为_________，AC的长为_________．

参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．

考点：相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形

考点：列方程解应用题

方法：一元（二元）一次方程、分式方程

【2015年21题】为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用。到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍。预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？

【2014年18题】列方程或方程组解应用题：

小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.

【2013年17题】列方程或方程组解应用题：

某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。

【2012年18题】列方程或方程组解应用题：

据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．

考点：求代数式的值（整式的化简、分式的化简）

方法：直接代入、整体代入

【2015年18题】已知2a2+3a-6=0.求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值。

【2014年16题】已知x-y=3，求代数式(x+1)2-2x+y(y-2x)的值.

【2013年16题】已知x2-4x-1=0，求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值。

【2012年15题】已知a b5a-2b

?(a-2b)的值．23a2-4b2

=≠0，求代数式

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