理论力学（机械工业出版社）第十二章动能定理习题解答

习 题

12–1 一刚度系数为k的弹簧，放在倾角为?的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m的物块A相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A从平衡位置向下沿斜面移动了距离s，不计摩擦力，试求作用于重物A上所有力的功的总和。

图12-23

W?mgsin??s?k2(?st?(?st?s)2) 2k?mgssin??k?sts?s2

2k??s2 2

12–2 如图12-24所示，在半径为r的卷筒上，作用一力偶矩M=a?+b?，其中?为转角，a和b为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B。设重物B的质量为m，它与水平面之间的滑动摩擦因数为?。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。

图12-24

WM??Md???4π02(a? +b?2)d??8aπ2?643bπ 3WF???mg?4πr??4?πmgr

644?W?8aπ2?bπ3?4?πmgr?π(6πa?16π2b?3?mgr)

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12–3 均质杆OA长l，质量为m，绕着球形铰链O的铅垂轴以匀角速度?转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为?，

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试求杆的动能。

图12-25

dEk?11mm(dm)v2?(dx)(?xsin?)2?(?sin2?)x2dx 22l2llm1Ek??(?2sin2?)x2dx?ml2?2sin2? 02l6

12–4 质量为m1的滑块A沿水平面以速度v移动，质量为

m2的物块B沿滑块A以相对速度u滑下，如图12-26所示。试求

系统的动能。

图12-26

11Ek?m1v2?m2[(ucos30??v)2?(usin30?)2]

22 ?1m1v2?1m2(u2?v2?2uvcos30?)

22?11m1v2?m2(u2?v2?3uv) 22

12–5 如图12-27所示，滑块A质量为m1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB，杆AB长为l，质量为m2。当AB杆与铅垂线的夹角为?时，滑块A的速度为vA，杆AB的角速度为?。试求在该瞬时系统的动能。

图12-27

Ek?EkA?EkAB

11ll112?m1vA?m2[(vA??cos?)2?(?sin?)2]?(m2l2)?2 222221211122 ?1m1vA?m2(vA?l2?2?lvA?cos??l2?2)

224121122 ?1m1vA?m2(vA?l2?2?lvA?cos?)

223

12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规

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尺都是均质细杆，其质量分别为m1和2m1，且OC=AC=BC=l，如图12-28所示。滑块A和B的质量都等于m2。如作用在曲柄上的力偶矩为M，不计摩擦，试求曲柄的角加速度。

图12-28

vC?l? ?AB?? vA?2lcos???AB?2l?cos? vB?2l?sin? Ek?EkOC?EkAB?EkA?EkB

111222 ?1(1m1l2)?2?1(2m1)vC?[(2m1)(2l)2]?2?m2(vA?vB)

2322122 ?1m1l2?2?m1l2?2?1m1l2?2?1m2?4l2?2

632 ?3m1?4m2l2?2

2?W?M?

动能定理

3m1?4m222l??M?2M ??2(3m1?4m2)l

12–7 曲柄导杆机构在水平面内，曲柄OA上作用有一力偶矩为M的常力偶，如图12-29所示。若初始瞬时系统处于静止，且∠AOB=π2，试问当曲柄转过一圈后，获得多大的角速度？设曲柄质量为m1，长为r且为均质细杆；导杆质量为m2；导杆与滑道间的摩擦力可认为等于常值F，不计滑块A的质量。

图12-29

Ek1?0

111Ek2?m1r2?2?m2(r?)2?(m1?3m2)r2?2

626?W?2πM?4Fr

动能定理

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1(m1?3m2)r2?2?2(πM?2Fr) 612(πM?2Fr)23(πM?2Fr)???(m1?3m2)r2rm1?3m2

12–8 半径为R质量为m1的均质圆盘A放在水平面上，如图12-30所示。绳子的一端系在圆盘中心A，另一端绕过均质滑轮C后挂有重物B。已知滑轮C的半径为r，质量为m2；重物B质量为m3。绳子不可伸长，不计质量。圆盘作纯滚动，不计滚动摩擦。系统从静止开始运动，试求重物B下落的距离为h时，圆盘中心的速度和加速度。

图12-30

Ek1?0

311v1Ek2?m1v2?(m2r2)()2?m3v2

422r2 ?1(3m1?m2?2m3)v2

4?W?m3gh

动能定理

1(3m1?m2?2m3)v2?m3gh 44m3gh v?3m1?m2?2m32m3g a?3m1?m2?2m3

12–9 图12-31所示链条传运机，链条与水平线的夹角为?，在链轮B上作用一力偶矩为M的力偶，传运机从静止开始运动。已知被提升重物A的质量为m1，链轮B、C的半径均为r，质量均

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为m2，且可看成均质圆柱。试求传运机链条的速度，以其位移s表示。不计链条的质量。

图12-31

Ek1?0

111vEk2?m1v2?(m2r2)()2?2

222r ?1(m1?m2)v2

2?W?M??m1gr?sin??(M?m1grsin?)s r动能定理

1(m1?m2)v2?(M?m1grsin?)s

2rv?2(M?m1grsin?)s r(m1?m2)M?m1grsin? a?r(m1?m2)

12–10 如图12-32所示，质量为m1的直杆AB可以自由地在固定铅垂套管中移动，杆的下端搁在质量为m2、倾角为?的光滑的楔块C上，楔块又放在光滑的水平面上。由于杆的压力，楔块向水平向右方向运动，因而杆下降，试求两物体的加速度。

图12-32

vAB?vCtan?

Ek1?0

1122 Ek2?m1vAB?m2vC22122 ?1m1vC tan2??m2vC222 ?1(m1tan2??m2)vC

2?W?m1gstan?

动能定理

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