09年高考理科数学最后一次模拟试卷

09年高考理科数学最后一次模拟试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：

样本数据x1,x2,?,xn的标准差：

s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2],其中x为样本平均数； n柱体体积公式：V?Sh，其中S为底面面积，h为高；

1Sh，其中S为底面面积，h为高； 3432球的表面积、体积公式：S?4?R,V??R，其中R为球的半径。

3锥体体积公式：V?第Ⅰ卷 （选择题共50分）

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题意要求的. 1．在复平面内，复数

2 对应的点与原点的距离是( ) 1?iA. 1 B. A．???,3???5,??? C．???,3???5,???

2 C.2 D. 22

B?xx2?7x?10?0，2．已知全集U?R，集合A?x3≤x?7?，则e R?A?B??（ ）

B．???,3???5,??? D．???,3???5,??? ???3．若向量a?(2,1),b?(3,x),若(2a?b)?b,则x的值为 ( ) A．?1或3 B．3

C． -1 D．?3或1

?????4．设变量x、y满足约束条件?y?xx?y?2?0，则目标函数Z?2x?y的最小值

为（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 2

5.已知等差数列?an?中，a2?7，a4?15，则前10项和S10＝（ ） A. 420 B. 380 C. 210 D. 140

226．已知双曲线y?x?1的离心率为e，且抛物线y2?2px的焦点为(e2,0) 则p的值为（ ）

A．－2 B．－4 C．2 D．4 7．已知α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件： ①a//α、b??； ②a⊥α、b//?； ③a⊥α、b??；

④a//α、b//?且a与α的距离等于b与β的距离，

其中是a⊥b的充分条件的有 （ ） A．③ B．① C．①④ D．②③ 8. 函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. 0?f?(2)?f?(3)?f(3)?f(2) y B. 0?f?(3)?f(3)?f(2)?f?(2) C. 0?f?(3)?f?(2)?f(3)?f(2) D. 0?f(3)?f(2)?f?(2)?f?(3) O 1 2 3 4 x 9．已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得

VP?ABC?

1VS?ABC的概率是（ ） 231A． B．

44C．

1 2D．

7 810．已知函数f(x)?4x?3，x?R.规定：给定一个实数x0，赋值x1?f(x0)，若x1?1025，则

继续赋值x2?f(x1)，?，以此类推，若xn?1?1025，则xn?f(xn?1)，否则停止赋值.如果得到xn，则称为赋值了n次（n?N）.已知赋值k次后该过程停止，则x0的取值范围是（ ）

5?k6?k5?k6?k4?1,4?1?A．4,4? B．? ?6?k7?k6?k7?k4?1,4?1?C．4?1,4?1? D．??

*????

第Ⅱ卷 （非选择题共100分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第11题－第2０题为必考题，每个试题考生都必须作答；第21题为选考题，请考生根据要求选答．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．命题“?x?R,x?1?0”的否定是__________________.

12．摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，则不同的排法共有__________种.

213．(3x?16)展开式中x?3的系数为 x （用数字作答）

14.下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 ．

女生 男生

0 9 3 5

2 0 0 8 6 6

6 3 7 1

6 6 2 8

（第14题）

15．三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy?ax2?2y2对于x??1,2?,y??2,3?恒成立,求a的

取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x为变量，y为常量来分析”. 乙说：“不等式两边同除以x，再作分析”.

2

丙说：“把字母a单独放在一边，再作分析”.

参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为

3p，|OB|=2, 设4?AOBp3pq,q?(,).

24（Ⅰ）用q表示点B的坐标及|OA|；

B y uuruuur4（Ⅱ）若tanq=-，求OA×OB的值.

3

O A x

17．(本小题满分13分)

如图，三棱柱A1B1C1—ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰 直角三角形，已知点M是A1B1的中点. （1）求证：B1C∥平面AC1M；

（2）设AC与平面AC1M的所成角为?，求sin?.

18．(本小题满分13分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入8千万元，以后每年投入将比上年平均减少20%，本年度旅游收入为4千万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%.

（Ⅰ）设第n年（本年度为第一年）的投入为an千万元，旅游业收入为bn千万元，写出an，bn的表达式；

（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？ 19．（本小题满分13分）

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平

行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围；

（3）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

20．(本小题满分14分) 已知x=0是函数f(x)?(x2?ax?b)ex(x?R)的一个极值点，且函数f(x) 的图象在x?2处的切线的斜率为2e. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式并求单调区间. （Ⅱ）设g(x)?2f'(x)22m??2(m?1)，其中，问：对于任意的,方程在区间x?[?2,m)g(x)?xe3(?2,m)上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，

则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换

设A????15??，求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. ??24?（2）(本小题满分7分)选修4－4：坐标系与参数方程

已知点p(x,y)是圆x2?y2?2y上的动点.若x?y?a≥0恒成立,求实数a的取值范围. （3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

已知点P是边长为23的等边三角形内的一点，它到三边的距离分别为x、y、z, 求x、y、z所满足的关系式，并计算x?y?z的最小值.

222

2009年模拟试卷参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分． 1．B． 2．B． 3．A． 4．C． 5．C． 6．D． 7．A． 8．B． 9．D． 10．B．

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．

11．?x?R,x2?1?0． 12．960． 13.1. 14．2． 15．[?1,??)． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）由三角函数的定义，得点B的坐标为(2cosq,2sinq). -------------1分

在VAOB中，|OB|=2，?BAOp4,?Bp-p3p4-q=4-q， 由正弦定理，得|OB|=|OA|，即2=|OA|， sinpsinDB242sin(3p4-q)所以 |OA|=22sin(3p4-q). --------------------------6分

注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB方程求得|OA|=2(sinq+cosq)也得分.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得OAuur?OBuuur|OAuur|鬃|OBuuur|cosq=42sin(3p4-q)?cosq， ---------7分

因为tanq=-4p3p3,q?(2,4)， 所以sinq=45,cosq=-35， ----------------------------9分

又

sin(3p24-q)=sin3p3p4?cosqcos4?sinq=22?(35)-(-22)?45=10-----------------11分

所以OAuur?uuOBur42鬃231210(-5)=-25. ---------------------------13分

，

17．解：由三视图可知三棱柱A1B1C1—ABC为直三棱柱，侧梭长为2，底面是等腰直角三角

形，AC=BC=1.????2分 如图建立空间直角坐标系C—xyz， 则C（0，0，0），C1（0，0，2）， A（1，0，0），B1（0，1，2），A1（1，0，2） ∵M为A1B1中点，

11?M(,,2).??????????4分

221111 （1）?CB1?(0,1,2),AM?(?,,2),C1M?(,,0),

2222

?CB1?AM?C1M,????????6分 ?CB1∥面AC1M，又∵B1C?面AC1M，

∴B1C∥面AC1M.??????????8分

（2）设平面AC1M的一个法向量为n?(x,y,z),

1111?n?CM?(x,y,z)?(,,0)?x?y?0,1??2222 ??n?AM?(x,y,z)?(?1,1,2)??1x?1y?2z?0.?2222?令z?1,则x?2,y??2,

?n?(2,?2,1),??????????????????????10分

又AC?(?1,0,0)

则sin??|cos?n,AC?|?|

n?AC|n|?|AC||?2.??????????13分 34的等比数列，每年旅游业收入组518．解：（Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为8千万元，公比为成首项为4千万元，公比为

5的等比数列。????????????3分 44n?15n?1所以，an?8?(),bn?4()????????????5分

544??8?1?()n?4?5??（Ⅱ）解，经过n年，总收投入sn???40?1?()n????7分

45??1?5

5??4?1?()n?4??5? 经过n年，总收入Tn???16?()n?1??????9分

5?4?1?4 设经过n年，总收入超过总投入，由此，Tn?Sn?0,16?()n?1??40?1?()n??0

45nn 化简得 5?()?2?()?7?0????????????10分

?5?????4??4554n设x?()代入上式整理得，5x2?7x?2?0

452,或x?1（舍去）????????????11分 54n24n2562410242????12分 ?，n?5，()n＝由()?，n?4时，()?55625531255554x因为 y?()在定义域上是减函数，所以 n?5

5解得，x?答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。????????13分

x2y219．解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)????????????1分

ab?a?2b2???a?8则?4??????????????????3分 解得?21??1???b?2?a2b2x2y2??1??????????????????????4分 ∴椭圆方程为82（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM=

1 21x?m????????????????????5分 2?l的方程为：y?1?y?x?m??2?x2?2mx?2m2?4?0??????????????6分 由?22?x?y?1?2?8∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

???(2m)2?4(2m2?4)?0,解得?2?m?2,且m?0...........................................................8分

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可????9分 设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1?x2??2m,x1x2?2m2?4????????10分 则k1?y1?1y?1 ,k2?2x1?2x2?22由x2?2mx?2m?4?0可得

x1?x2??2m,x1x2?2m2?4????????????????????10分

而k1?k2?y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2) ??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)2?2(x1?2)(x2?2)?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)

2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)?(x1?2)(x2?2)2m2?4?2m2?4m?4m?4??0 (x1?2)(x2?2)?k1?k2?0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.????????13分 20. 解：（I）f?(x)?[x?(a?2)x?a?b]e

2x由f?(0)?0,得b??a?f'(x)?[x?(a?2)x]e

222x????1分 ????2分

又f'(2)?[4?2(a?2)]e2?[4?2(a?2)]e?2e，故a??3???4分 令f'(x)?(x?x)e?0,得x?0或x?1

2x令f'(x)?(x?x)e?0,得0?x?1

2x2x故：f(x)?(x?3x?3)e，单调增区间是(??,0],[1,??)，单调减区间是(0,1)?????6分.

2(m?1)2在区间(?2,m)上存在实数根 322222设x0是方程g(x)?(m?1)的实根，x0?x0?(m?1),

33222222 令h(x)?x?x?(m?1),从而问题转化为证明方程h(x)?x?x?(m?1)=0

33在(?2,m)上有实根,并讨论解的个数????????8分

（Ⅱ）解:假设方程g(x)? 因为

2221h(?2)?6?(m?1)2??(m?2)(m?4),h(m)?m(m?1)?(m?1)2?(m?2)(m?1),

3333所以

①当m?4或?2?m?1时,h(?2)?h(m)?0,所以h(x)?0在(?2,m)上有解,且只有一解 ②当1?m?4时,h(?2)?0且h(m)?0,但由于h(0)??2(m?1)2?0, 3所以h(x)?0在(?2,m)上有解,且有两解 ??????????????10分

③当m?1时,h(x)?x2?x?0?x?0或x?1,所以h(x)?0在(?2,m)上有且只有一解； 当m?4时,h(x)?x2?x?6?0?x??2或x?3,

所以h(x)?0在(?2,4)上也有且只有一解?????????????12分

2(m?1)2在区间(?2,m)上均有实数根 3且当m?4或?2?m?1时,有唯一的实数解；当1?m?4时,有两个实数解??14分

综上所述, 对于任意的m??2,方程g(x)?21. (1)解：(矩阵与变换)矩阵A的特征多项式为 f(?)???1?5??2?5??6?(??1)(??6)??????????2分

?2??4?2?6???????????3分

令f(?)?0，得矩阵A的特征值为?1??1,??2x?5y?0?x?5对于特征值?1??1,解相应的线性方程组?得一个非零解?，

?2x?5y?0y??2??因此，?1????2??是矩阵A的属于特征值?1??1的一个特征向量。????5分

??对于特征值?1?6,解相应的线性方程组??5??5x?5y?0?x?1得一个非零解?，

?2x?2y?0y?1??因此，?2???1??是矩阵A的属于特征值?1?6的一个特征向量。??????7分

??

?1?(2)解：（坐标系与参数方程）（本题满分7分）

解:设圆的参数方程为，?????2分

要使x?y?a≥0恒成立,只须a??x?y，即a?-cos?-sin?-1?????3分

?a??2sin(??)?1?????5分

4又∵??2sin(??∴a??????)?1??2?1 4?max2?1.?????7分

(3)解：（不等式选讲）（本题满分7分）

由面积相等得：

11?23?23?sin60?=?23?(x?y?z)，?????2分 22得x?y?z?3。?????3分

(x2?y2?z2)(12?12?12)?(x?1?y1??z?1)2，?????5分

222即x?y?z?3，当且仅当x?y?z?1时取等号?????6分

所以x2?y2?z2的最小值是3. ?????7分

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