数学八年级上册 期中精选试卷易错题(Word版 含答案)

数学八年级上册期中精选试卷易错题（Word版含答案）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．取一副三角板按图()1

拼接，固定三角板60,

()

30

ADC D ACD

∠=∠=，将三角板

45

()

ABC BAC BCA

∠=∠=绕点A依顺时针方向旋转一个大小为a的角0

0)

45

(a

≤≤

得到ABM，图()2所示．试问：

()1当a为多少时，能使得图()2中//

AB CD？说出理由，

()2连接BD ，假设AM与CD交于,E BM与CD交于F，当0

0)

45

(a

≤≤时，探索DBM CAM BDC

∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．

【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC

∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）由//

AB CD 得到30

BAC C

∠=∠=，即可求出a；

（2）DBM CAM BDC

∠+∠+∠的大小不变，是105?,由FEM CAM C

∠=∠+∠，30

C

∠=?，EFM BDC DBM

∠=∠+∠，45

M

∠=?，即可利用三角形内角和求出答案.

【详解】

()1当a为15时，//

AB CD，

理由：由图()2，若//

AB CD，则30

BAC C

∠=∠=，

453015

a CAM BAM BAC

∴=∠=∠-∠=-?=?，

所以，当a为15时，//

AB CD．

注意：学生可能会出现两种解法：

第一种：把//

AB CD当做条件求出a为15，

第二种：把a为15当做条件证出//

AB CD，

这两种解法都是正确的．

()2DBM CAM BDC

∠+∠+∠的大小不变，是105?

证明：,30

FEM

CAM C C

∠=∠

+∠∠=?,

30

FEM CAM

∴∠=∠+?,

EFM BDC DBM

∠=∠+∠,

DBM CAM BDC EFM CAM

∴∠+∠+∠=∠+∠,

180,45

EFM FEM M M

∠+∠+∠=∠=?,

3045180

BDC DBM CAM

∴∠+∠+∠+?+?=?,

1803045105

DBM CAM BDC

∴∠+∠+∠=?--=?,

所以，DBM CAM BDC

∠+∠+∠的大小不变，是105.

【点睛】

此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.

2．如图1，在ABC

?中，ACB

∠是直角，60

B

∠=?，AD、CE分别是BAC

∠、BCA

∠

的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）求出AFC

∠的度数；

（2）判断FE与FD之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC上截取CG CD

=，连接FG．）

（3）如图2，在△ABC

?中，如果ACB

∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．

【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;

（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；

（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出

∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．

【详解】

（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°

（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．

理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF＝∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

CG CD

DCF GCF

CF CF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG

由（1）∠AFC＝120°得，

∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，

∴∠AFG＝60°，

又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，

∴∠AFE＝∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

AFE AFG

AF AF

EAF GAF

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF＝GF，

∴DF＝EF；

（3）结论：AC＝AE+CD．

理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，

同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE

∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°

∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-

1

2

(∠BAC+∠BCA)=180°-

1

2

×120°=120°，

∴∠EFA＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，

∴∠CFG＝∠CFD＝60°，

同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD＝CG，

∴AC＝AG+CG＝AE+CD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．

3．如图1，在ABC

?中，90

ACB

∠=，AC BC

=，直线MN经过点C，且AD MN

⊥

于点D，BE MN

⊥于点E．易得DE AD BE

=+（不需要证明）．

（1）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE

、、之间的数量关系，并说明理由；

（2）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时

DE AD BE

、、之间的数量关系（不需要证明）．

【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD

【解析】

【分析】

(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；

(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．

【详解】

(1)不成立．

DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，

理由如下：如图，

∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

又∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE ，

在△ACD 和△CBE 中，

90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???∠=∠??=?

，

∴△ACD ≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE ，CD=BE ，

∴DE=CE-CD=AD-BE ；

(2)结论：DE=BE-AD ．

∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，

∴∠ACD+∠CAD=90°，

又∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠CAD=∠BCE ，

在△ACD 和△CBE 中，

90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???∠=∠??=?

，

∴△ADC ≌△CEB(AAS)，

∴AD=CE ，DC=BE ，

∴DE=CD-CE=BE-AD ．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．

4．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12

BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12

BC ． 理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，

即可证得AH ＝BC ，此时AD ＝

12BC ，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．

（1）请你先证明△ABC ≌△CHA ，并用一句话总结题中的结论；

（2）现将图1中△ABC 折叠（如图3），点A 与点D 重合，折痕为EF ，此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形．BE ＝DE ，CF ＝DF ．由勾股定理可知DE 2+DF 2＝EF 2，因此BE 2+CF 2＝EF 2，若图2中△ABC 也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE 、CF 、EF 还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．

（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF 绕着点D 旋转（如图5），射线DE 、DF 分别交

AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．

【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.

【解析】

【分析】

（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH

＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．

（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．

【详解】

（1）证明：如图2中，

∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，

∴△ADB≌△HDC（SAS），

∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，

∴AB∥CH，

∴∠BAC+∠ACH＝180°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ACH＝∠BAC＝90°，

∵AC＝CA，

∴△BAC≌△HCA（SAS），

∴AH＝BC，

∴AD＝DH＝BD＝DC，

∴AD＝

1

2

BC．

结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

（2）解：有这样分关系式．

理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．

∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，

∴△EDB≌△HDC（SAS），

∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，

∵∠B+∠ACB＝90°，

∴∠ACB+∠HCD＝90°，

∴∠FCH＝90°，

∴FH2＝CF2+CH2，

∵DF⊥EH，ED＝DH，

∴EF＝FH，

∴EF2＝BE2+CF2．

（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．

证明方法类似（2）．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

5．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图

（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：

①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．

②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．

【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】

【分析】

（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝

∠BAC+∠B+∠C；

（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；

（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝

∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.

【详解】

（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：

，

过点A、D作射线AF

∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，

即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）①如图（2），∵∠X＝90°，

由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠ABX+∠ACX＝50°，

故答案为：50；

②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，

∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴∠ADC

＝

12∠ADB ，∠AEC ＝12

∠AEB ， ∴∠ADC+∠AEC ＝1(ADB AEB)2∠+∠＝45°， ∴∠DCE ＝∠A+∠ADC+∠AEC ＝40°+45°＝85°．

【点睛】

本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．

【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜

103)；（2）1769

或32 【解析】

【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．

【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H

∵∠C=45°，DH ⊥BC

∴△DHC 是等腰直角三角形

∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°

∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8

∴BH=BC －HC=6

∴AD=6

（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于

点G

∵EF ∥AD,∴EF ∥BC

∴∠EFP=∠C=45°

∵EP ⊥PF

∴△EPF 是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形

∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x

∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162

x + 同理，PR=12

y ∵AB=8，∴EB=8－x

∵EB=QR ∴8－x=

()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1

∴1≤x ＜103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=

83=AE ∴188176662339

ABCD S ??=?++?= ???梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10

则当y=2时，x=4，即AE=4

∴()16644322

ABCD S =

?++?=梯形 【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

7．如图，在平面直角坐标系中，A （﹣3，0），点 B 是 y 轴正半轴上一动点，点C 、D 在 x 正半轴上．

（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．

（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝

2

3

DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．

【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）

3

2

.

【解析】

【分析】

（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；

（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；

（3）以OA 为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP 交x 轴于点F．证明点P 在直线EF 上运动，根据垂线段最短解答．

【详解】

解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，

∵∠BAO＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∴AB＝2OA＝6，

∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，

∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，

∵BD 是△ABC 的角平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝40°，

∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，

∴DB ＝DC ，

在△OBD 和△HCD 中，

==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠??=??∠∠?

∴△OBD ≌△HCD （ASA ），

∴OB ＝HC ，

在△AOB 和△FHC 中，

==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠??=??∠∠?

∴△AOB ≌△FHC （ASA ），

∴CF=AB=6，

故答案为6；

（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，

∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°，

∴∠ABC ＝∠DBQ ，

在△CBA 和△QBD 中，

BA BD ABC DBQ BC BQ =??∠=∠??=?

∴△CBA ≌△QBD （SAS ），

∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，

∴∠PDO ＝60°，

∴PD ＝2DO ＝6，

∵PD ＝23

DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12，

∴点 C 的坐标为（12，0）；

（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ．

由（2

）得，△AEP≌△ADB，

∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，

∴OF＝OA＝3，

∴点P

在直线 EF上运动，当 OP⊥EF时，OP最小，

∴OP＝1

2

OF＝

3

2

则OP的最小值为3

2．

【点睛】

本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

8．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段

．．．．叫做这个三角形的三分线.

（1）图①是顶角为36?的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；

（2）图③是顶角为45?的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45?的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.

（3）ABC 中，30B ∠=?，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=?，则x 所有可能的值为_________.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.

【解析】

【分析】

(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；

(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.

(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案.

【详解】

（

1）如图所示：

（

2）如图所示：

（3）①当AD=AE 时，如图4，

∵DE CE =，c x ∠=?，

∴∠EDB=x°，

∴∠ADE=∠AED=2x°，

∵AD BD

=，

∴∠BAD=∠B=30°，

∴30+30=2x+x，

解得：x=20；

②当AD=DE时，如图5，

∵DE CE

=，c x

∠=?，

∴∠EDB=x°，

∴∠DAE=∠AED=2x°，

∵AD BD

=，

∴∠BAD=∠B=30°，

∴30+30+2x+x=180，

解得：x=40.

③当AE=DE时，则∠EAD=∠EDA=

1802

(90)

2

x

x

-

=-，

∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°

又∵∠ADC=30+30=60°，

∴这种情况不存在.

∴x所有可能的值为20或40.

故答案是：20或40

图4 图5

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.

9．如图，在等边ABC

?中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边CDE

?，连结BE．

（1）求CAM

∠的度数；

（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC

???；

（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB

∠是否为定值？并说明理由．

【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=?.

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，

60ACB DCE ∠=∠=?，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ???；

（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ???，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ???而有30CBE CAD ∠=∠=?而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ???同样可以得出结论．

【详解】

（1）ABC ?是等边三角形，

60BAC ∴∠=?．

线段AM 为BC 边上的中线，

12

CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=?．

（2）ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?，

ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，

ACD BCE ∠∠∴=．

在ADC ?和BEC ?中

AC BC ACD BCE CD CE =??∠=∠??=?

，

()ACD BCE SAS ∴???；

（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=?，

理由如下：

①当点D 在线段AM 上时，如图1，

由（2）可知ACD BCE ???，则30CBE CAD ∠=∠=?， 又60ABC ∠=?，

603090CBE ABC ∴∠+∠=?+?=?，

ABC ?是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线

AM ∴平分BAC ∠，即11603022

BAM BAC ∠=∠=??=? 903060BOA ∴∠=?-?=?．

②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，

ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?，

ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，

ACD BCE ∠∠∴=，

在ACD ?和BCE ?中

AC BC ACD BCE CD CE =??∠=∠??=?

，

()ACD BCE SAS ∴???，

30CBE CAD ∴∠=∠=?，

同理可得：30BAM ∠=?，

903060BOA ∴∠=?-?=?．

③当点D 在线段MA 的延长线上时，

ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?，

60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=?，

ACD BCE ∠∠∴=，

在ACD ?和BCE ?中

AC BC ACD BCE CD CE =??∠=∠??=?

，

()ACD BCE SAS ∴???，

CBE CAD ∴∠=∠，

同理可得：30CAM ∠=?

150CBE CAD ∴∠=∠=?

30CBO ∴∠=?，

∵30BAM ∠=?，

903060BOA ∴∠=?-?=?．

综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=?．

【点睛】

此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.

=. 10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE

=时，AD是ABC的中线吗？请说明（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE

理由；

AB BD AE之间的数量关系，请说明理（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,

由；

（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出

AB BD AE的数量关系

,,

.

【答案】（1）AD 是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE

=+.

解析；（3）AB AE BD

【解析】

【分析】

（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明

∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．

（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，

（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰

三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．

【详解】

（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，

∵CD=CE，

∴∠CDE=∠E，

∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，

∴∠E=30°，

∵DA=DE，

∴∠DAC=∠E=30°，

∵∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠CAD，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∴AD是△ABC的中线．

（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：

DH，

如图2，在AB上取BH=BD，连接

∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，

∵AD=DE，

∴∠E=∠CAD，

∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，

∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,

∴∠AHD=∠DCE，

∴在△AHD和△DCE，

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