2014年高考圆锥曲线（综合）（理科）

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2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

2014年高考圆锥曲线（理科）

考试说明 1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

3．了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质. 4．能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题. 5. 理解数形结合的思想. 6．了解圆锥曲线的简单应用. 考点扫描（一）椭圆

※1. 椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距即：设P为动点，满足

|PF1|?|PF2|?2a?||F1F2|，于是P点的轨迹即为椭圆.

※2. 椭圆的方程 ⑴标准方程中心在原点，

x2y2x2y2焦点在x轴上：2?2?1；焦点在y轴上：2?2?1 (其中a?b?0).

abba(2)参数方程:

x2?y2b2?x?acos??1的参数方程为??y?bsin?

a2※3.椭圆常用那个性质 ①顶点：(?a,0)(0,?b) 或(0,?a)(?b,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b

③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：F1F2?2c,c?a2?b2. ⑤离心率：e?c，（0?e?1). a※4．椭圆图示：

（二）双曲线 ※1.双曲线定义

平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即MF1?MF2?2a.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做

焦距 ※2. 双曲线标准方程

中心在原点

x2y2

焦点在x轴上，2－2＝1(a＞0，b＞0)；

y2x2

焦点在y轴上，2－2＝1(a＞0，b＞0)．

ab ※3. 双曲线常用性质

①顶点：(a,0),(?a,0).

②轴：对称轴：x轴，y轴；实轴长2a. ③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c). ④焦距：|F1F2|?2c,c?⑤渐近线：

a2?b2..

yxyx??0或??0. abab⑥离心率： e?※4．双曲线图示：

c，（e?1). a

(三) 抛物线

※1. 抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 ※2．抛物线的准线方程：

设p>0，则抛物线的标准方程如下：

(1)y?2px(p?0), 焦点:(pp,0)，准线l：x?? 22pp2(2)x?2py(p?0), 焦点:(0,)，准线l：y?? 22pp2(3)y??2px(p?0), 焦点:(?,0)，准线l：x? 22pp2(4) x??2py(p?0), 焦点:(0,?)，准线l：y? 222※3．抛物线图示： DyMyyMKO(1)FxMxDDOyKOxFOF(3)KxM(4)DF(2)KD （四）圆锥曲线与直线

1．直线与圆锥曲线的位置关系

可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.

??Ax＋By＋C＝0由?消元， ?f?x，y?＝0?

如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.

(1)若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)． (2)若a≠0，设Δ＝b2－4ac.

①Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； ②Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； ③Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长 |P1P2|＝?1＋k?[?x1＋x2?－4x1x2]?1?k222b2?4ac??1?k2 |a||a|b2?4ac1??1?2.

感悟真题样卷 2.【2012浙江真题(理)21】

1x2y2如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不

ab2过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． (Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程．

解： (Ⅰ)由题：e?c1?； (1) a2左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：d?(2?c)2?12?10． (2) 由(1) (2)可解得：a2?4，b2?3，c2?1． x2y2∴所求椭圆C的方程为：+?1．

4311(Ⅱ)直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．

22∵A，B在椭圆上， ?xA2yA2+?1??43∴?22?xB+yB?1?3?4yA?yB3x?xB32x3???A???0??．

xA?xB4yA?yB42y02?kAB?3设直线AB的方程为l：y＝﹣x?m(m≠0)，

2?x2y2+?1??43代入椭圆：??y＝-3x?m??2?3x2?3mx?m2?3?0．

显然??(3m)2?4?3(m2?3)?3(12?m2)?0． ∴﹣12＜m＜12且m≠0．

m2?3由上又有：xA?xB＝m，yA?yB＝．

∴|AB|＝1?kAB|xA?xB|＝1?kAB(xA?xB)?4xAxB＝1?kAB2m2． 4?3∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：d?m211∴S?ABP＝d|AB|＝|m＋2|4? 322?3?1?m1?kAB?m?21?kAB．

=3(m?4)2(12?m2)(m?[?23,0)?(0,23]， 622 令u(m)?(12?m)(m?4)，则

u'(m)??4(m?4)(m2?2m?6)??(m?4)(m?1?7)(m?1?7)

所以当且仅当m?1?7,u(m)取到最大值. 综上,所求直线l的方程为3x?2y?27?2?0.

2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

3.【2011浙江真题(理)21】

已知抛物线C1:x＝y，圆C2:x?(y?4)?1的圆心为点M （Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线

222C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程

解：（I）由题意可知，抛物线的准线方程为： y??所以圆心M（0，4）到准线的距离是

2221, 417. 4（II）设P(x0,x0),A(x1,x1),B(x2,x2)，则题意得x0?0,x0??1,x1?x2，

设过点P的圆C2的切线方程为y?x0?k(x?x0)，即y?kx?kx0?x0 则2|kx0?4?x0|222?1,即(x0?1)k2?2x0(4?x0)k?(x0?4)2?1?0，

22 ①

1?k2设PA，PB的斜率为k1,k2(k1?k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以

222x0(x0?4)(x0?4)2?1k1?k2?,k1k2?. 22x0?1x0?12?0,由于x0是此方程的根，故x1?k1?x0,x2?k2?x0，将①代入y?x2得x2?kx?kx0?x0所以kAB2222x0(x0?4)x0?4x12?x2??x1?x2?k1?k2?2x0??2x,k?. 0MP2x1?x2x0?1x0222x0(x0?4)x0?4?(?2x)?(??1)， 02x0?1x0由MP?AB，得kAB?kMP解得x0?22323311523,)，所以直线l的方程为y??x?4. ,即点P的坐标为(?551155版权所有请勿传播 kxgkmath@163.com - 6 - 2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

4.【2010浙江真题(理)21】

m2x22已知m＞1，直线l:x?my??0，椭圆C:2?y?1，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点.

2m（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，?AF1F2， ?BF1F2的重心分别为G,H.若原

点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

m2m222解：（Ⅰ）因为直线l:x?my?,得m2?2， ?0经过F2(m?1,0)所以m?1?22又因为m?1，所以m?2，故直线l的方程为x?2y?1?0.

（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)。

?m2x?my??m2?22?1?0 由?2，消去x得 2y?my?4?x?y2?1??m2m2 则由??m?8(?1)??m2?8?0，知m2?8，且有

42mm21?. y1?y2??,y1?y2?282由于F1(?c,0),F2(c,0),，于是重心G(x1y1xy,),H(2,2), 3333xxyy进而,G,H直径的方程为 (x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?0,所以要使原点在此圆

3333m2m2m212）(?) 内部,即x1x2?y1y2?0于是x1x2?y1y2?(my1?)(my2?)?y1y2 ?(m?12282m21??0即m2?4又因为m?1且??0 所以1?m?2.▍ 所以

5. 【2009浙江真题(理)21】

y2x2已知椭圆C1:2?2?1（a?b?0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直

ab长轴的弦长为1.

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设点P在抛物线C2:y?x?h(h?R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，

2N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值. ?b?12a?2?y?解：（I）由题意得?b2,??,所求的椭圆方程为?x2?1，

4?2??1?b?1?aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t?h),则抛物线C2在点P处的切线斜率为

2y?x?t?2t，直线MN的方程为y?2tx?t2?h，将上式代入椭圆C1的方程中，

222得4x?(2tx?t?h)?4?0，即41?t?2?x2?4t(t2?h)x?(t2?h)2?4?0，

因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有

422?1?16??t?2(h?2)t?h?4????0，

x1?x2t(t2?h)?设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?，22(1?t2)设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

t?1，由题意得x3?x4， 22即有t?(1?h)t?1?0，其中的?2?(1?h)?4?0,?h?1或h??3； ①当h??3时有h?2?0,4?h?0，因此不等式

422?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0不成立；

2②因此h?1，当h?1时代入方程t?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1,t??1 代入不等式?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0成立，因此h的最小值为1．

6. 【2008浙江真题(理)21】

已知曲线C是到点P(?,)和到直线y??13285距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0） 8的直线，M 是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA?l,MB?x轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C的方程；

|QB|2（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数.

|QA|

解：（I）解：设N(x,y)为C上的点，则

13|NP|=(x+)2?(y?)2．

28N到直线y??的距离为y?化简，得曲线C的方程为y?58123255．由题设得(x+)?(y?)?y?．

288812(x?x)． 2x2?x)，直线l：y?kx?k，则B(x,kx?k)，（II）设M(x,2从而

QB?1?k2x?1．在Rt△QMA中，因为

x(x?1)2(k?)2x222． QM?(x?1)2(1?)， MA?241+k2x?1?kx?2(x?1)22QA?(kx?2)所以 QA?QM?AM?， 224(1?k)21?k222QBQB2(1?k2)1?k2x?1?55 当k＝2时，??2QAQAkx+k22从而所求直线l方程为2x?y?2?0

7. 【2007浙江真题(理)21】

x2如图，直线y?kx?b与椭圆记△AOB 的面积为S． ?y2?1交于A，B两点，

4（I）求在k?0，0?b?1的条件下，S的最大值；（II）当AB?2，S?1时，求直线AB的方程．

y A O x B

解：（I）设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)．

x2由?y2?1，解得x1,2??21?b2

4所以S?1b|x1?x2|?2b1?b2?b2?1?b2?1 22时，．S取到最大值1． 2当且仅当b??y?kx?b?222(4k?1)x?8kbx?4b?4?0 （Ⅱ）由?x2得2??y?1?4??16(4k2?b2?1) ①

｜AB｜＝1?k|x1?x2|?1?k2216(4k2?b2?1)?2 ②

2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

8. 【2011浙江样卷（理）21】

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

32的椭圆经过(2,). 22(I) 求椭圆的方程;

(II) 设不过原点O的直线l与该椭圆相交与P,Q两点,且满足OP,PQ,OQ的斜率依次成等

比数列,求?OPQ的面积的取值范围.

解: (Ⅰ)由题意可设椭圆方程为

x2a2?y2b2?1 (a＞b＞0)，则??c?a2?21???1,2?2b2?a?3,

?a?2,x2故? 所以，椭圆方程为 ?y2?1．

4?b?1.(Ⅱ) 由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

故可设直线l的方程为 y＝kx＋m (m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由??y?kx?m,22?x?4y?4?0,22

消去y得 (1＋4k)x＋8kmx＋4(m－1)＝0，

222

则Δ＝64 kb－16(1＋4kb)(b－1)＝16(4k－m＋1)＞0，且x1?x2??8km1?4k2，x1x2?4(m2?1)1?4k2

2．

故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

kx1x2?km(x1?x2)?m2

所以 y1?y2＝＝k，

x1x2x1x2即

?8k2m21?4k222＋m＝0，又m≠0，所以 k＝

11，即 k＝?． 422

由于直线OP，OQ斜率存在，且Δ＞0，得0＜m＜2 且 m≠1（由于等比数列得到）．设d为点O到直线l的距离，则 S△OPQ＝

1122d | PQ |＝| x1－x2 | | m |＝m(2?m)， 22所以 S△OPQ的取值范围为 (0，1)． ▍

9. 【2012浙江样卷（理）21】

如图，椭圆C: x 2＋3 y 2＝3b2 (b＞0). (Ⅰ) 求椭圆C的离心率；

(Ⅱ) 若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且 | AB | ＝3，

求△AOB面积的最大值.

O y A B x

x2y2解：(Ⅰ)由x＋3y＝3b得 2?2?1，

3bb2

3b2?b22c6所以e＝＝＝＝．

233a3b(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．

33133，)，此时S＝??3＝； 22224如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，

如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(?y?kx?m,2 2由?2 得x＋3(kx＋m)＝3， 2x?3y?3,?即 (1＋3k)x＋6kmx＋3m－3＝0，又Δ＝36km－4(1＋3k) (3m－3)＞0，

6km3m2?3所以 x1＋x2＝－，x1 x2＝， 221?3k1?3k2

12(1?3k2?m2)(x1－x2)＝(x1＋x2)－4 x1 x2＝， ①

(1?3k2)22

由 | AB |＝(1?k2)(x1?x2)2及 | AB |＝3得 (x1－x2)＝

3， ② 1?k22

(1?3k2)2|m|结合①，②得m＝(1＋3k)－．又原点O到直线AB的距离为，

24(1?k2)1?k1所以S＝?22

|m|1?k2?3，

(1?3k2)23m231?3k2311?3k22

因此 S＝?＝[－]＝[－(－2)＋１] ??222224(1?k)41?k41?k441?k31?3k2332

＝－?(－2)＋≤， 2161?k441?3k23333故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等号．又＞，故S ．▍ max＝22221?k4

10. 【2013浙江样卷（理）21】

x2y22 如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：2?2?1(a＞0)的左、右焦点，直线

2ab1 l：x＝－将线段F1F2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线

2 段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

??????????(Ⅱ) 求F2P?F2Q的取值范围．

12＝1，所以c＝1因为离心率e＝2，所以a＝2．解:(Ⅰ) 设F2(c，0)，则

123c?2c?x2所以椭圆C的方程为?y2?1．

2(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－

??????????此时P(?2，0)、Q(2,0) ,F2P?F2Q??1．

1，m) (m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 21， 2当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，

M(－

?x12?y12?1,?y?y2?2由 ?2 得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)?1＝0，

x?x12?x2?y2?1,2??2则－1＋4mk＝0，故k＝

1． 4m此时，直线PQ斜率为k1??4m，PQ的直线方程为

1y?m??4m(x?)．即y??4mx?m．

?y??4mx?m?联立?x2 消去y，整理得 2??y?1?2(32m2?1)x2?16m2x?2m2?2?0．

16m22m2?2所以x1?x2??，x1x2?． 2232m?132m?1于是F2P?F2Q?(x1－1)(x2－1)＋y1y2

?x1x2?(x1?x2)?1?(4mx1?m)(4mx2?m)

?(1?16m2)x1x2?(4m2?1)(x1?x2)?1?m2

(1?16m2)(2m2?2)(4m2?1)(?16m2) ???1?m2 2232m?132m?119m2?1 ?． 232m?1令t＝1＋32m，1＜t＜29，（M在椭圆内）则

F2P?F2Q?1951． ?3232t2

又1＜t＜29，所以

??????????125． ?1?F2P?F2Q?232125综上，F2P?F2Q的取值范围为[?1，）．▍

232

基本试题归类类型一有关弦长最大值问题

1. 【浙江省2012年宁波市效实中学高三测试数学（理科）】

x2y22 已知点F,E分别是椭圆C：2?2?（,且椭 1a?b?0)的左焦点和上顶点,离心率e?2ab圆C经过点(23,). 22(I)求椭圆C的方程;

(II)平行于EF的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线通过点Q(x0,0),求 ?QAB的面积的最大值.

〖简答〗

2. 【浙江省普通高等学校2012届高三招生适应性考试数学（理）】

2x2y2xy设椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?右焦点到直线??1的距离

2ababd?

6?3O为坐标原点.

3，

（Ⅰ)求椭圆C的方程；

（Ⅱ)过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，证明点O到直线

AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．

〖简答〗

2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

3. 【浙江省台州中学2012届高三第二学期第五次统练试题数学理】

2x2y2)在已知F1,F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(?1,2ab椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足PM?F2M?0,⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线L:y?kx?m与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A,B （1）求椭圆的标准方程（2）当OA?OB??,且满足〖简答〗

4. 【浙江省杭州市西湖高级中学2012届高三下学期3月月考试题（数学理）】

23???时，求△AOB的面积S的取值范围. 343x2y2已知椭圆C1：2?2?1 （a?b?0）的离心率为，直线L:y?x?2与以原点为

3ab圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线L1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直

线L2垂直L1于点P，线段PF2的垂直平分线交L2于点M. （i）求点M的轨迹C2的方程；

（ii）若AC,BD为点M的轨迹C2的过点F2的两条相互垂直的弦，求四边形ABCD面

积的最小值．

〖解答〗

5. 【浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题数学（理科）】

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A(0,?1)，B(0,1)．平面内两点G、M同时满足：

??????????????????????① G为△ABC的重心, ② MA?MB?MC，③GM∥AB．

（Ⅰ）求顶点C的轨迹E的方程；

????????（Ⅱ）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为(2,0)，已知PF∥FQ ,

????????????????RF∥FN且PF?RF?0．求四边形PRQN面积S的最大值和最小值．

〖解答〗

6. 【浙江省嘉兴市2012届高三二模测试试题（数学理）】

已知点P是圆x2?y2?1上任意一点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，点R满足 RQ?3PQ，记点R的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设A(0,1)，点M、N在曲线C上，且直线AM与直线AN的斜率之积为

2，求 3?AMN的面积的最大值．

〖解答〗

7. 【浙江省温州市2012届高三4月第二次适应性测试（数学理）】

如图，F1，F2是椭圆的两个动点.

(I)设直线MF1、NF2的斜率分别为k1,k2,求k1k2值；

(II)直线MF1和NF2与椭圆的交点分别为A,B和CD.问是若存在实数，使得

恒成立.若存在，求实数的值.若不存在，请说明理由.

〖解答〗

8. 【浙江省嘉兴一中11-12学年高三下学期摸底试卷数学理】

已知直线l：y?kx?1与圆C：(x?2)?(y?3)?1相交于A,B两点．（Ⅰ）求弦AB的中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若O为原点，S(k)表示?OAB面积，f(k)?[S(k)]2?〖解答〗

3，求f(k)最大值. k2?1 2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

9. 【浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题（理数）】

已知点A， AMB?2?(?1,0?)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足???????????2，过点B的直线交曲线C于P、Q两点. AM?BMcos??3??????????（Ⅰ）求AM?BM的值，并写出曲线C的方程；

（Ⅱ）求△APQ面积的最大值. 〖解答〗

10. 【2012年浙江省高考压轴卷数学理】

x2设椭圆C：?y2?1,点A、B是椭圆C上的两点.

3 （Ⅰ）若|AB|?3,求?AOB面积的最大值S；

（Ⅱ）设|AB|?L,求当?AOB的面积取到第（Ⅰ）问中的最大值S时弦长L的取值范围. 〖解答〗

11. 【浙江省杭州学军中学2012届高三下学期5月月考（第十次）数学（理科）】

已知抛物线C:x?2py(p?0)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为

2x1(x1?0)，过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，

交直线l:y?p?于点M，当|FD|?2时，?AFD?60． 2（1）求证：?AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；

（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，

交直线l于点N，求?PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．

〖简答〗

12. 【浙江省宁波市鄞州区2012年高考适应性考试（5月）数学理】

已知圆C：x??y?2??4，M?x0,y0?为抛物线x?4y上的动点.

222(Ⅰ) 若x0?4，求过点M的圆的切线方程；

(Ⅱ) 若x0?4，求过点M的圆的两切线与x轴围成的三角形面积S的最小值.

〖简答〗

2014年高考圆锥曲线综合 (理科) 类型二轨迹方程的求法

1. 【浙江省2012届六校联考数学(理科)】

如图，过点D(0,?2)作抛物线 x?2py(p?0)的切线l，切点A在第二象限. (Ⅰ)求切点A的纵坐标;

2x2y23(Ⅱ)若离心率为的椭圆2?2?1(a?b?0)恰好经过切点A，设切线l交椭圆的

2ab另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k,k1,k2,若k1?2k2?4k，求椭圆方程．

〖简答〗

2. 【浙江省2012届镇海中学模拟考试 (理科)】

y2x2已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的右焦点为P(1,0),过C1的焦点且垂直于长轴的

ab弦长为1.

(I) 求椭圆C1的方程;

(II) 设抛物线C2:y?x?h(h?R)的焦点为F,过F点的直线l交抛物线于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C2的切线交于点Q,且Q点在椭圆C1上,求?ABQ面积的最值, 并求出取得最值时的抛物线C2的方程. 〖简答〗

3.【2011安徽数学（理科）21】

????????设??0，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y?x上运动，点Q满足BQ??QA,

2经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM??MP，求点P轨迹方程.

〖简答〗

4. 【2011 天津（理科）18】

在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，F1,F2分别为椭圆

x2y2?2?1的左右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形． 2ab（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

??????????（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，满足AM?BM??2，M是直线PF2上的点，

求点M的轨迹方程．

〖简答〗

5. 【2010 全国III（理科）20】

x2y2设F1,F2分别是椭圆E:2?2?1（a>b>0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与

abE 相较于A，B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列.

（Ⅰ）求E的离心率；

（Ⅱ）设点P（0，-1）满足PA?PB，求E的方程.

〖简答〗

1. 【浙江省2012年四校联考(理科）】

x2y2已知抛物线D的顶点是椭圆??1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.

43(1)求抛物线D的方程;

(2)已知动直线l过点P?4,0?,交抛物线D于A,B两点.

?i?若直线l的斜率为1,求AB的长;

?ii?是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？

如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由.

〖简答〗

2. 【浙江省宁波四中2012届高三上学期期末考试数学（理）】

长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x,y轴上移动，点P在直线AB上且满足

????????BP?2PA．

（I）求点P的轨迹的方程；

（II）记点P轨迹为曲线C，过点Q(2,1)任作直线l交曲线C于M,N两点，过M作斜

率为?1的直线l'交曲线C于另一点R．求证：直线NR与直线OQ的交点为定2点（O为坐标原点），并求出该定点．〖简答〗

3. 【温州市第二十二中学2012届高三迎二模数学（理）】

已知抛物线C:y?4x,点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B 两点，O为坐标原点。

（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得〖简答〗

211恒为定值. ?22|AM||BM|

4. 【浙江省杭州十四中2012届高三3月月考试题数学理】

1x2y2已知椭圆C：2?2?1（a>0，b>0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为

ab2半径的圆与直线x－y＋6＝0相切．又设P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线AE与x轴相交于定点Q；

???????? （III）求OB?OE的取值范围．〖简答〗

2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

5. 【浙江省杭州二中2012届高三第一次仿真模拟题数学理】

x2已知F1，F2分别是椭圆2?y2?1(a?1)的左、右焦点，若椭圆上存在一点M满足

a???????????F1M?F2M?0，

（Ⅰ）求a的最小值；

（Ⅱ）设A(0,1),B(0,?1)，过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D不同于点C），交y轴于点P（点P不同于坐标原点O），直线AD与BC 交于点Q.当a取最小值时，判断OP?OQ是否为定值，并证明你的结论.

yA????????OCBQDPx

〖简答〗

7. 【浙江省宁波市五校2012届高三适应性考试数学（理）】

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：

ab3＋22，3－22。

（1）求椭圆的方程；

（2）如果直线 x?t(t?R)与椭圆相交于A,B，若C（－3,0），D(3,0），

证明：直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；

（3）过点Q(1,0 )作直线l (与x轴不垂直）与椭圆交于M,N两点，与y轴交于点R，若

RM??MQ,RN??NQ，求证：???为定值.

〖简答〗

7. 【浙江省镇海中学2012届高三测试卷】

x2y22已知椭圆G：2?2?1(a>b>0)的离心率为，右焦点F(1,0)．过

2ab点F作斜率为k（k?0）的直线l，交椭圆G于A、B两点，M（2,0）是一个定点．如图所示，连AM、BM，分别交椭圆G于C、D两点（不同于A、B），记直线CD的斜率为 k1．

[(Ⅰ)求椭圆G的方程；

(Ⅱ)在直线l的斜率k变化的过程中，是否存在一

个常数?，使得k1??k恒成立？若存在，求出这个常数?；若不存在，请说明理由．

〖简答〗

8. 【金华一中、慈溪中学、学军中学2011届高三下学期联考数学理科】

设椭圆C：右焦点分别为F1,F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴的左．负半轴于点Q，且2F1F2?F2Q?0．

（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．

11?① 试证明：|F2M||F2N|为定值；

② 在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

〖简答〗

9. 【浙江省杭州师范大学附属中学2011届高三上学期第三次月考数学理科】 3已知椭圆C的离心率e＝，长轴的左右端点分别为A1(－2,0)，A2(2,0)． 2（I）求椭圆C的方程；

（II）设直线x＝my＋1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：

当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

〖简答〗

10. 【2011温州十校联合体高三期末考试（数学理）】

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别是F1(?1,0),F2(1,0)，点P在椭圆上，

ab22且满足|PF1|?2|PF2|,?PF1F2?30,直线y?kx?m与圆x?y?06相切，与椭圆5相交于A，B两点。 (I) 求椭圆的方程；;

(II)证明：?AOB为定值（O为原点）. 〖简答〗

11. 【2011绍兴市高三教学质量检测（数学理）】

x2y2已知椭圆E：C:2?2?1(a?b?0)的有焦点为F，过原点和x轴不重合的直线

ab与椭圆E相较于A，B两点.|AF|?|BF|?4, (I) 求椭圆E的方程；;

(II) 若直线l:y?kx?m与椭圆E相较于M,N两点,且以线段MN为直径的圆过椭圆E 的右顶点,求证:直线.l过定点,并写出该定点.

〖简答〗

sin?AFB1的最小值为.

sin?ABF?sin?BAF2

12. 【2011金华十校高考模拟考试（数学理）】

x2y2已知P是椭圆 ??1上不同于左顶点A，右顶点B的任意一点，直线PA交直

43线l:x?4于点M，直线PB交直线l于点N，记直线PA，PB的斜率分别为k1,k2. (I) 求 k1k2. 的值；;

(II) 求证以MN为直径的圆横过两定点.

〖简答〗

类型四巧用向量解决问题

1. 【浙江省台州市四校2012届高三第一次联考数学(理)】

x2y26椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点P(3,1)，且离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N

3ab两点在椭圆C上，且 MF??FN(??0)，定点A（－4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（II）当M、N两点在C上运动，且AM?ANtan?MAN =63时,

求直线MN的方程. 〖简答〗

2. 【2012届高三第一学期浙南、浙北部分学校12月联考】

x2y22如图，椭圆E：2?2?1(a?b?0)的右焦点F2与抛物线y?4x的焦点重合，过F2作

ab与

轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且

|CD|?22． |ST|（Ⅰ）求椭圆

的方程；

（Ⅱ）若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于两点A,B，设P为椭圆E上一点，且满足

????????????????????25OA?OB?tOP（为坐标原点），当|PA?PB|?时，求实数的取值范围．

3〖简答〗

2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

3. 【2012届浙江省部分重点中学高三第二学期3月联考试题（理科数学）】

y2x2已知F1、F2分别为椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的

ab上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x?4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且MF1?（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点P（1，3）和圆O：x?y?b，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB

取一点Q，满足：AP???PB，AQ??QB（??0且???1）。求证：点Q

总在某定直线上.

〖简答〗

4. 【2012年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测数学（理科）】

????25。 3222x2y2 已知椭圆2?2?1(a?b?0)上任意一点P到两个焦点的距离的和为23，P与椭圆长轴

ab两顶点的连线的斜率之积为?2.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点 3A(x1,y1),B(x2,y2)

????????（I）若OA?OB?4，求|y1?y2|的值； (O为坐标原点）

tan?AOB（II）当直线l与两坐标轴不互相垂直时，在x轴上是否存在点Q，使得QA，QB的斜率

互为补角？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

〖简答〗

5. 【浙江省慈溪市2012届高三5月模拟考试数学(理)】

x2y2已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为2，点A?0,1?是椭圆的一个顶点。（1）求椭

ab2圆的方程；（2）如图，已知过点D??2,0?的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q，点M满足2OM?OP?OQ,求

?????????????MDMP的取值范围.

MQ Px DO

〖简答〗

6. 【温州市2010-2011年度第一学期五校联考数学试卷（理）】

如图，椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点,且AF?FB?1，

|OF|?1；

（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线

l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线

l，使

点F恰为?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由.

〖简答〗

7. 【2011温州十校联合体高三期末考试（数学理）】

已知点P是?O:x?y?9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足

22????2????DQ?DP.

3(I) 求动点Q的轨迹方程；;

(II) 已知点E(1,1),在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M，N，使

????1?????????，若存在，求出直线MN的方程；若不存在，OE?(OM?ON)(为坐标原点）O2说明理由. 〖简答〗

类型五各种特殊比值与韦达定理

1. 【2011衢州二中高三第三次综合练习（数学理）】

y2x2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2

ab??????????垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2F1F2?F2Q?0,若过A,Q,F2三点的圆恰好与直

线l:x?3y?3?0相切.过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G,H两点(点G在点 M,H之间).

(I) 求椭圆C的方程；;

??????????(II) 求实数?满足MG??MH,求?的取值范围.

〖简答〗

2.【2011温州市高三第一次适应性测试（理）】

A Q F1 O F2 x2y2已知A,B是椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左,右顶点，B(2,0)，过椭圆C的右焦点F的直

ab线交于其于点M, N, 交直线x?4于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若记?AMB,?ANB的面积分别为S1,S2求

yMAONFBlxS1的取值范围． S2P

〖简答〗

3. 【浙江省2012年诸暨市高中毕业班教学质量检测试题数学理】

已知抛物线x?y，直线l经过点A(1,?2)，当不经过点B(1,1)，与抛物线交于M，N两点，点M的横坐标大于1，直线l的斜率为k，直线BN，BM的斜率分别为k1,k2. （I）当AB垂直于直线l时，求k1k2的值；（II）设?BAM,?BAN的面积分别为S1,S2，求

2S1的取值范围. S2〖简答〗

4. 【2011诸暨市高中毕业班教学质量检测（数学理）】

x2y2抛物线y?2px的焦点与??1的右焦点重合,AB是抛物线的弦,交x轴于点

542P(t,0),O为坐标原点.

(I) 若t?1,?OAB的重心的横坐标为2,求|AB|;；;

????????(II) 若O到AB的距离为1,AP??PB,当??4?15时,求?OAB的面积的取值范围..

〖简答〗

2014年高考圆锥曲线综合 (理科)

5. 【浙江省衢州二中2012届高三下学期第一次综合练习数学（理）】

x2y2已知椭圆C1:??1，抛物线C2:y2?4x，过椭圆C1右顶点的直线l交抛物线

43C2于A,B两点，射线OA,OB分别与椭圆交于点D,E,点O为原点.

（Ⅰ）求证:点O在以DE为直径的圆的内部;

（Ⅱ）记?ODE,?OAB的面积分别为S1,S2,问是否存在直线l使S2?3S1?若存在,求出

直线l 的方程,若不存在,请说明理由

]

〖简答〗

6. 【浙江宁波市2012届高三4月高考模拟试题（数学理）】

己知点F为抛物线C：y2＝x的焦点，斜率为1的直线l交抛物线于不同两点P, Q．以F 为圆心，以FP, FQ为半径作圆，分别交x轴负半轴于M,N，直线PM,QN交于点T．（I）判断直线PM与抛物线C的位置关系，并说明理由；

（II）连接FT，FQ，FP，记

设直线l 在y轴上的

截距为m，当m何值时，取得最小值，并求出取到最小值时直线l的方程.

〖简答〗

(2013)浙江各地模拟强化 1. 【浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）】

x2y2如图，椭圆2?2?1(a?b?0)上的点到左焦点为F的最大距离是2?3，已知点

abM(1,e)在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交椭圆于P、Q两点，其中P在第一象限，它在x轴上

的射影为点N，直线QN交椭圆于另一点H.

证明：对任意的k?0，点P恒在以线段QH为直径的圆内.

〖简答〗

2. 【浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学理】

x2y232?2?1(0?b?2)的离心率等于若椭圆C1:，抛物线C2:x?2py(p?0)的焦

24b点在椭圆的顶点上。 (1)求抛物线C2的方程；

(2)过M(?1,0)的直线l与抛物线C2交P , Q两点，又过P , Q作抛物线C2的切线l1,l2，当l1?l2时，求直线l的方程. 〖简答〗

3. 【浙江省台州一中2013届高三第二次月考（10月）数学（理）21】已知动圆M过定点F(0,?2)，且与直线y?一个焦点为F，点A(1,2)在椭圆N上.

(1) 求动圆圆心M的轨迹?的方程及椭圆N的方程；

(2) 若动直线l与轨迹?在x??4处的切线平行，且直线l与椭圆N交于B,C两点，试求当?ABC面积取到最大值时直线l的方程. 〖简答〗

4. 【2013届浙江嘉兴一中高三一模数学理科21】

如图，已知直线l1:y?2x?m(m?0)与抛物线C1:y?ax(a?0)和圆C2:x?(y?1)?5都相切，F是C1的焦点. （1）求m与a的值；

（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，

以FA,FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF

交抛物线C1于P,Q两点，求?NPQ的面积S的取值范围.

2222相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，

〖简答〗

5. 【浙江省余姚中学2013届高三上学期期中数学理21】

已知点A（0，1）、B（0，-1），P为一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为? （I）求动点P的轨迹C的方程；

（II）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，?QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S??tan?MQN恒成立,求?的最小值．〖简答〗

已知抛物线C:y?(x?1)与圆M:(x?1)2?(y?)2?r2(r?0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r;

（Ⅱ）设m,n是异于l且与C及M都相切两条直线，m,n的交点为D，求D到l的距离〖简答〗

2.【2012全国课程标准卷数学（理科）21】

设抛物线C:x?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点.已知以F为圆心，

2212FA为半径的圆F交l于B,D两点；

（1）若?BFD?90，?ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程；

（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，

求坐标原点到m,n距离的比值. 〖简答〗

3.【2012北京真题数学（理科）19】

已知曲线C:?5?m?x??m?2?y?8?m?R?.

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