广西桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市2013届高三3月联

广西桂林市、百色市、崇左市、北海市、防城港市2013届高三3月联考

数学试卷（文科）

第Ⅰ卷

第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)?Cnkpk(1?p)n?k(k?0,1,2?,n)

球的表面积公式

S?4?R，其中R表示球的半径

2球的体积公式

V?43?R，其中R表示球的半径

3一、选择题

[ ]1. 已知集合A??1,3?，那么满足B?A的集合B有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

[ ]2. 在等比数列?an?中，a2?6，a3??18，则a1?a2?a3?a4? A. 26 B. 40 C. 54 [ ]3. 函数y?ex?1(x?R)的反函数是 A. y?ln(x?1)(x?R) B. y?ln(x?1)(x?R) C. y?ln(x?1)(x?1) D. y?ln(x?1)(x?1) [ ]4. 函数f(x)?sin(2x?A. 在（0，B. 在（?6 D. 80

?6) ?6）单调递减 ?3，?6）单调递增 C. 在（?D. 在（?，0）单调递减 ，??6?3）单调递增

3[ ]5. 曲线y?4x?x在点（－1，－3）处的切线方程是 A. y?7x?4 B. y?x?4 C. y?7x?2 成角的余弦值为

D. y?x?2

[ ]6. 在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB?2，CC1?3，则异面直线A1B1和BC1所

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A.

1313 B.

277 C.

12 D.

32

[ ]7. “x?1?1”是“logA. 充要条件

C. 必要不充分条件 则不同的方案个数共有 A. 70

B. 80

x?1”成立的

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

[ ]8. 从5名男同学4名女同学中选出3名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，

C. 100

D. 140

D. 1或3

[ ]9. 若直线x?y?2被圆(x?a)2?y2?4所截得的弦长为22，则实数a的值为 A. －1或3

B. －2或6

C. 0或4

[ ]10. 如果函数y?x?1的图象与方程x2??y2?1的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数?的取值范围是

A. (??,?1]?[0,1)

C. ??1,0?

B. [?1,1)

D. [?1,0]?(1,??) [ ]11. 在?ABC中，C?90?，且CA?CB?3，点M满足BM?2MA，则CM?CB等于

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

?x?y?? [ ]12. 定义在（－1，1）上的函数f(x)满足：f(x)?f(y)?f?当x?(?1,0)??，1?xy??时，有f(x)?0，若a?f?A. b?c?a

?1??1??2??f??，b?f(0)，c?f(e)，则a,b,c的大小关系为 ?5??11?B. c?a?b 第Ⅱ卷 C. a?b?c D. b?a?c

第Ⅱ卷共10小题，共90分 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 已知????,??53??，那么tan2?=____________。 ?，cos???52?n?21?14. 已知?x??的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x的系数为

x??________。 15. 已知球O是棱长为26的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面的面积为__________。 16. 已知A、B、P是双曲线

xa22?yb22?1上不同的三点，且直线AB经过坐标原点，若直

线PA与PB的斜率的乘积为3，则双曲线的离心率为________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤。 17. （本小题满分10分）

在?ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，已知A?优质教学资源 服务广大考生

?445，cosB?

（Ⅰ）求cosC的值；

（Ⅱ）若BC?10，D为AB的中点，求CD的长。 18. （本小题满分12分）

已知等差数列?an?的首项a1?a，公差d?2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn?2nan，求数列?bn?的前n项和Tn。 19. （本小题满分12分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%，生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元；若是二等品，则亏损1万元，生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元；若是二等品，则亏损2万元，两种产品生产的质量相互独立。

（Ⅰ）求生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为5万元的概率；

（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 20. （本小题满分12分）

PC?底面ABCD，如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB?AD，

AB//CD，AB?2AD?2CD?2，E是PB的中点。

（Ⅰ）求证：平面EAC?平面PBC； （Ⅱ）若二面角P?AC?E的余弦值为21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在点（1，f(1)）处的切线方程为y?x?1。 （Ⅰ）用a分别表示b,c；

3（Ⅱ）如果当x?2时，f(x)?1?x?0恒成立，求实数a的取值范围。

363，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。

22. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1(?1,0)，P为椭圆G的上顶点，且?PF1O?45?

（Ⅰ）求椭圆G的标准方程； （Ⅱ）已知直线l1:y?kx?m1与椭圆G交于A、B两点，直线l2:y?kx?m2(m1?m2)与椭圆G交于C、D两点，且AB?CD，如图所示。

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（i）证明：m1?m2?0；

（ii）求四边形ABCD的面积S的最大值。

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【试题答案】

一、选择题 1. D 7. C

2. B 8. A

3. D 9. C

4. D 10. B

5. D 11. B

6. A 12. A

二、填空题： 13. ?43 14. 10 15. 4? 16. 2

三、解答题：

17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）?cosB?4535，且B?(0,?)，?sinB?3?4?B) 1?cosB?2 ??1分

??3

?cosC?cos(??A?B)?cos( 分

?cos3?4cosB?sin3?4sinB??22?45?22?35??2102 ??5

分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC?由正弦定理得BCsinA?ABsinC1?cosC?2?2??1????10????7102 ??6分 ??8分

，即1022?AB7102，解得AB?14 在?BCD中，BD=7，CD?CD?37 2?7?10?2?7?10?2245?37， ??10

分

18. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）S1?a，S2?2a?2，S4?4a?12 2

n

??2分 ??4分

??6

又S1，S2，S4成等比数列，有(2a?2)?a(4a?12)?a?1 ?an?2n?1

分

nn（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn?2an?(2n?1)2

2??7分

??9

?Tn?b1?b2???bn?1?2?3?2???(2n?1)2

分

n?1错位相减法得Tn?(2n?3)2?6

??12分

19. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设知，当甲产品为二等品，乙产品为一等品时， 可获得的总利润为5万元。 分

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??2

?P(X?5)?0.2?0.9?0.18

145 ??5分

（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件。 由题设知4n?(4?n)?10，解得n?

512625又n?N*且n?4，得n?3，或n?4 ）

??9分

334所求概率为P?C4?0.8?0.2?0.8?0.8192（或

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。 20. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）?PC?平面ABCD，AC?平面ABCD，?AC?PC，

?AB?2，AD?CD?1，?AC?BC???12分 ??1分 ??3分

??5

2

?AC2?BC22?AB，?AC?BC

又BC?PC?C，?AC?平面PBC，

?AC?平面EAC，?平面EAC?平面PBC

分

（Ⅱ）解法一：?AC?平面PBC，?AC?PC，AC?CE，

?PCE为二面角P?AC?E的平面角

??6分

在Rt?PBC中，E是PB的中点，??PCE??CPE

?cos?CPE??CE?12PB?6362，?BC?2，?PC?2 ??8分

，取PC中点F，连结EF，

22则EF//BC，?EF??VP?ACE?VE?PAC， 1313，EF?面PAC。

233 ??10分

设点P到平面ACE的距离为h， 则

?h?S?ACE??EF?S?PAC，解得h?，

hPA12设直线PA与平面EAC所成角为?，则sin???23 ??12分

解法二：以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。设P（0，0，a）（a>0），则E（

12，?，

a2），CA?(1,1,0)，CP?(0,0,a)，

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CE?(12,?1a,)， 22 ??7分

取m=（1，－1，0）

则m?CP?m?CA?0，?m为面PAC的法向量

设n?(x,y,z)为面EAC的法向量，则n?CA?n?CE?0， 即??x?y?0,?x?y?az?0则n?(a,?a,?2)，

，取x?a，y??a，z??2， 依题意，cos?m,n??于是n?(2,?2,?2)

m?nmn?aa?2

2?63，则a?2 ?PAn??9分 ??10分 23 PA?n设直线PA与平面EAC所成角为?，则sin??cos?PA,n??23，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 21. （本小题满分12分） ??12分

解：（Ⅰ）f(1)?a?b?c，f'(x)?3ax?b

所以在（1，f(1)）处的切线方程为y?a?b?c?(3a?b)(x?1) 与y?x?1比较得c?2a?1，b?1?3a

分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?ax?(1?3a)x?2a?1

33所以ax?(1?3a)x?2a?x?0（x?2）恒成立

32??2分 ??3分

??5

??7分

333即a(x?3x?2)?x?x(x?2)恒成立，?x?2，?x?3x?2?0

?a?2x?xx?3x?223?x(x?1)(x?1)(x?1)(x?x?2)2?(x?1)(x?x)(x?1)(x?x?2)22

??9分

?x?xx?x?222?1?2x?x?22(x?2)

令g(x)?x?x?2(x?2)，有g(x)min?4 23????1?2? ?2x?x?2?max? ??11分

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?a?32 ??12分

22. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设椭圆G的标准方程为

?2?1（a>b>0） 2ab因为F1(?1,0),?PF1O?45?，所以b=c=1

?a?b?c?2

222x2y2 x2

2

??2分 ??3分

2（Ⅱ）设A（x1,y1），B（x2,y2），C(x3,y3)，D（x4,y4）

?椭圆G的标准方程为?y?1

?y?kx?m1,?（i）证明：由?x2，消去y得(1?2k2)x2?4km1x?2m12?2?0

2?y?1??24km1?x?x??,122??1?2k则??8(2k2?m12?1)?0，且? 2?xx?2m1?2122?1?2k? ??5分

?AB??1?k2(x1?x2)?(y1?y2)?22221?k2(x1?x2)?4x1x2 2k?m1?11?2k22224km1?2m1?2?2?4??221?k???221?2k?1?2k?2 同理CD?221?k2k?m2?11?2k22222 2 2 2 ??7分

2?AB?CD，?221?k?m1?m2，?m1?m2?0 2k?m1?11?2k2?221?k2k?m2?11?2k2

??9分 （ii）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，

2m1m1?m2d?则d?，因为m1?m2?0，? ??10分

221?k1?k?S?AB?d?221?k22k?m1?11?2k2222?2m11?k2 ?42(2k?m1?1)m11?2k22222k?m1?1?m1?42221?2k22?22

22当且仅当2k?1?2m1时，四边形ABCD的面积S取得最大值，为22

??12

分

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