上海市徐汇区2018年高三数学二模试卷

2017-2018学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学 2018.4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知全集U?R，集合A?xx2?2x?3?0，则CUA? .

??1??2．在?x??的二项展开式中，常数项是 .

x??3．函数f(x)?lg(3?2)的定义域为_____________． 4．已知抛物线x2?ay的准线方程是y??5．若一个球的体积为

xx632?，则该球的表面积为_________． 31，则a? . 4?x?0，?6．已知实数x，y满足?y?0， 则目标函数z?x?y的最小值为___________．

?x?y?1．??sinx?cosx?7．函数f(x)?12?11的最小正周期是___________．

8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12?，则该圆锥的侧面积等于 . 9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n，

????向量a??m?2,2?n?，向量b??1,1?，则向量a?b的概率是 . ．．

10．已知直线l1:mx?y?0,l2:x?my?m?2?0.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是 .

2(x?1)2?sinx11．若函数f(x)?的最大值和最小值分别为M、m，则函数

x2?1g(x)??M?m?x?sin???M?m?x?1??图像的一个对称中心是 ．

????8412．已知向量a,b的夹角为锐角，且满足|a|?、|b|?，若对任意的

1515????(x,y)?(x,y)|xa?yb|?1,xy?0，都有|x?y|?1成立，则a?b的最小值为 .

??二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题

纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

????????????????13．在四边形ABCD中，AB?DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是--------（ ）

（A）菱形

（B）矩形 （C）直角梯形

（D）等腰梯形

14. 若无穷等比数列?an?的前n项和为Sn，首项为1，公比为 (n?N*)，则复数z?1，且limSn?a，

n??21（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ） a?i

（A）第一象限． （B）第二象限． （C）第三象限． （D）第四象限． 15．在?ABC中，“cosA?sinA?cosB?sinB”是“?C?900”的------------（ ）

（A） 充分非必要条件 （C） 充要条件

（B）必要非充分条件 （D）既不充分也不必要条件

16．如图，圆C分别与x轴正半轴，y轴正半轴相切于点A,B，过劣弧AB上一点T作圆C的切线，分别交x轴正半轴，y轴正半轴于点

M,N，若点Q(2,1)是切线上一点，则?MON周长的最小值为

------------------------------------------------------------------( ) （A）10 （B）8 （C）45 （D）12

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?2，AD?4，

D1C1AC1?21，点M为AB的中点，点N为BC的中点．

（1）求长方体ABCD?A1B1C1D1的体积；

（2）求异面直线A1M与B1N所成角的大小（用反三角函数表

示）．

A1B1DNCAMB18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB?BC以平均时速20公里/小时，送快件到C处，已知BD?10（公里），?DCB?450,?CDB?300，?ABD是等腰三角形，?ABD?1200． （1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C处？

（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD?DC追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C处？

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数f(x)?x?3tx?1，其定义域为[0,3]?[12,15]， (1) 当t?2时，求函数y?f(x)的反函数；

(2) 如果函数y?f(x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

2C B D

A x2A,B是椭圆C:?y2?1长轴的两个端点，M,N是如图，

2椭圆上与A,B均不重合的相异两点，设直线AM,BN,AN的斜率分别是k1,k2,k3. (1)求k2?k3的值； (2)若直线MN过点???2?1,0?，求证：k1?k3??； ?6?2?(3)设直线MN与x轴的交点为(t,0)(t为常数且t?0)，试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知数列?an?的前

n项和An满足

An?1An1??(n?N*)，且a1?1，数列?bn?满足n?1n2bn?2?2bn?1?bn?0(n?N*)，b3?2，其前9项和为36．

(1)求数列?an?和?bn?的通项公式；

(2)当n为奇数时，将an放在bn的前面一项的位置上；当n为偶数时，将bn放在an前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,???，求该数列的前n项和Sn； (3)设cn?1，对于任意给定的正整数k?k?2?，是否存在正整数l,m(k?l?m)，使得

an?bnck,cl,cm成等差数列？若存在，求出l,m(用k表示)；若不存在，请说明理由．

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

数学学科参考答案及评分标准 2018.4

一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 １．[?1,3] 2．20 3．(0,??) 4．1 5．16? 6．?1 7．? 8．??? 9．

8?1?1 10． x2?y2?2x?y?0 11．?，1? 12． 615?4?二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）

13．A 14．D 15．B 16．A

三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）

17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

【解】（1） 连AC、AC1．??ABC是直角三角形，?AC?2?4?25．

22?ABCD?A1B1C1D1是长方体，?C1C?BC，C1C?CD，又DC?BC?C， ?C1C?平面ABCD，?C1C?AC．

又在Rt?ACC1中，AC1?21，AC?25，?CC1?1，

z

D1 C1 ?VABCD?A1B1C1D1?8．--------6分

（2）解法一：如图建立空间直角坐标系

则A,0?、B1?4,2,1?、N?2,2,0?，所以1?4,0,1?、M?4,1A1 A D M B1 B N C y

x ??????????A1M??0,1,?1?、B1N???2,0,?1?，10分

??????????则向量AM与B1N 1??????????A1M?B1N10所成角?满足cos??????． ???????10A1M?B1N?异面直线A1M与B1N所成的角等于arccos

10．14分 10

解法二：取AD的中点E，连A1E、EM．

D1C1?EN//AB//A1B1，?四边形A1B1NE为平行四边形，

?A1E//B1N，??EA1M等于异面直线A1M与B1N所成的

角或其补角．----------------------------------------9分

A1B1DENBC?AM?1，AE?2，AA1?1，得AM?2，AE?5，11AMEM?5，

?cos?EA1M?2?5?51010，?EA1M?arccos． ?10102?2?510．----------------------------14分 10?异面直线A1M与B1N所成的角等于arccos

18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）AB?10（公里），

?BCD中，由

于是，由BDBC?，得BC?52（公里）-------------------2分 00sin45sin3010?52?60?51.21?50知， 20快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．---------------------------------------6分 （2）在?ABD中，由AD2?102?102?2?10?10?????300， 得AD?103（公里），------------------------------------------------------------8分 在?BCD中，?CBD?105，由

0?1??2?CD52， ?sin1050sin300得CD?51?3（公里），-----------------------------------------------------10分

??由

103?51?360???60?15?20?153?45.98?51.21（分钟）

知，汽车能先到达C处．-----------------------------------------------------------14分

19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

??3?x?8,x?[?8,1]【解】(1) y??； ------------------------------------------------------6分

??3?x?8,x?[73,136]3t0(2)1 若?0，即t?0，则y?f?x?在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分

23t20 若?15，即t?10，则y?f?x?在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分

23t3t30 当3??12，即2?t?8时，由于区间?0,3?关于对称轴的对称区间是

22?3t?12?3t?3?15?或?3t，即t??2,4?或t??6,8?时， ?3t?3,3t?，于是当??3t?3??12??2?2函数y?f?x?在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．

综上，t?(??,0]?[2,4)?(6,8]?[10,??)．------------------------------------------14分

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 【解】(1)设N(x0,y0)，由于A(?2,0),B(2,0)，

2y0??2所以k2?k3?，

x?2x0?2x0?20y0y02x0222?y0?1，即x0因为N(x0,y0)在椭圆C上，于是， ?2??2y022y01所以k2?k3?2??.------------------------------------------------------------------4分

x0?22

?22?x?my?(2)设直线MN:x?my?，M(x1,y1),N(x2,y2)，由?2

2?x2?2y2?2?22得(m?2)y?2my?3?0， 2于是y1?y2??

2m3,y?y??，------------------------------------6分 12m2?22?m2?2?k1?k3?y1y2??x1?2x2?2y1y2

329m2y1y2?m?y1?y2??22???m2?

32?m2?2?3322m9??m??222m?222?m?2??1??．10分

396?m2?3m2??m2?2?22?32 (3)由于直线MN与x轴的交点为(t,0)，于是MN:x?my?t，

x2?y2?1的方程，可得 联立直线MN:x?my?t与椭圆C:2(m2?2)y2?2mty?t2?2?0，

2mtt2?2,y1?y2?2于是y1?y2??2.-------------------------------------------------12分

m?2m?2因为直线AM:y?两式相除，可知

y1y2(x?2)，直线BN:y?(x?2)，

x1?2x2?2x?2x1?2y2my1?t?2y2my1y2?(t?2)y2 ?????x?2x2?2y1my2?t?2y1my1y2?(t?2)y1t2?22mtm?2?(t?2)(?2?y1)?m(t?2)2?(t?2)(m2?2)y1m?2m?2 ??22t2?2m(t?2)?(t?2)(m?2)y1m?2?(t?2)y1m?2t?2?m(t?2)?(m2?2)y1t?2， ???2t?2m(t?2)?(m?2)y12?t于是xt?2，所以x?22，即直线AM与直线BN的交点Q落在定直线x?上．16分 tt

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 【解】答案：(1)因为

An?1An11?A???(n?N*)，于是数列?n?是首项为1，公差为的等差数列， n?1n22?n?所以

An11n(n?1)?n?，即An?(n?N*)， n222*当n?2时，an?An?An?1?n，又因为a1?1，所以an?n(n?N).--------------2分 又因为bn?2?2bn?1?bn?0(n?N)，于是数列?bn?是等差数列，

*设?bn?的前n项和为Bn，由于B9?9b5?36，则b5?4，由于b3?2，

所以bn?n?1(n?N*)．---------------------------------------------------------------------------------4分 (2)数列?an?的前n项和An?n(n?1)(n?1)n，数列?bn?的前n项和Bn?．----5分 22k(k?1)(k?1)k??k2；-----------6分 22当n?2k(k?N*)时，Sn?S2k?Ak?Bk?当n?4k?3(k?N*)时，

Sn?S4k?3?A2k?1?B2k?2?k(2k?1)?(2k?3)(k?1)?4k2?6k?3；----------7分

当n?4k?1(k?N*)时，

Sn?S4k?1?A2k?1?B2k?(2k?1)k?(2k?1)k?4k2?2k；------------------------8分 ?12?4n,n?2k?2?n?3所以Sn??,n?4k?3，其中k?N*．------------------------------------------------10分

?4?n2?1,n?4k?1?4?

(3)由(1)可知，cn?1. 2n?1若对于任意给定的正整数k?k?2?，存在正整数l,m(k?l?m)，使得ck,cl,cm成等差数列，则

2cl?ck?cm，即

211??，---------------------------------------11分 2l?12k?12m?1于是

1214k?2l?1???，

2m?12l?12k?1(2l?1)(2k?1)2kl?k?2l(k?1)(2l?1?4k)?(2k?1)2?所以m?

4k?2l?14k?2l?1(2k?1)2(2k?1)2?1?k??m?k?1，------------------------------------------13分 ，即

4k?2l?14k?2l?1?则对任意的kk?2,k?N，4k?2l?1能整除(2k?1)2，且4k?2l?1?0.

??由于当k?2时，2k?1中存在多个质数，

所以4k?2l?1只能取1或2k?1或?2k?1?------------------------------------------------14分 若4k?2l?1?1，则l?2k?1，m?4k?5k?2，于是

22m?l?4k2?7k?3?(4k?3)(k?1)?0，符合k?l?m；----------------------------15分

若4k?2l?1?2k?1，则k?l，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分 若4k?2l?1?(2k?1)2，则m?k?2，于是m?0，矛盾．-------------------------------17分

2综上，当k?2时，存在正整数l?2k?1,m?4k?5k?2，满足k?l?m，且使得ck,cl,cm成等

差数列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分

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