空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

《空间解析几何与向量代数》- 1 -

一、

第一节 向量及其线性运算

向量概念

在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?

在数学上? 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量? 有向线段的长度表示向量的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.?

向量的符号?

以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB?

向量可用粗体字母表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或a、r、v、F?

在实际问题中,有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度与该质点的位置有关,一个力与该力的作用点的位置有关）,有些向量与其起点无关.

自由向量? 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向? 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量? 并称这种向量为自由向量? 简称向量? 因此? 如果向量a和b的大小相等? 且方向相同? 则说向量a和b是相等的? 记为a ? b? 相等的向量经过平移后可以完全重合?

向量的大小叫做向量的模?

向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 模等于1的向量叫做单位向量?

模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?

两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行?

当两个平行向量的起点放在同一点时? 它们的终点和公共的起点在一条直线上? 因此? 两向量平行又称两向量共线?

类似还有向量共面的概念? 设有k(k?3)个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在一个平面上? 就称这k个向量共面?

《空间解析几何与向量代数》- 2 -

??????????

二、向量的线性运算

1． 向量的加减法

向量的加法? 设有两个向量a与b? 平移向量使b的起点与a的终点重合? 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b .

上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则?

平行四边形法则?

当向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一平

?c C ?b

?b D ?c C

A

?a

B

A ?a B

行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b? ?

向量加法的运算规律? (1)交换律a?b?b?a?

(2)结合律(a?b)?c?a?(b?c)?

这是因为，按向量加法的规定（三角形法则），可见：

a?b?AB+BC?AC= c ? b+a=AD+DC= c,

所以符合交换律.类似很容易证明结合律也是成立的（见右图）.

由于向量的加法符合交换律与结合律? 故n个向量a1? a2? ? ? ?? an(n ?3)相加可写成

a1?a2? ? ? ??an?

并按向量相加的三角形法则? 可得n个向量相加的 法则如下? 使前一向量的终点作为次一向量的起点? 相继作向量a1? a2? ? ? ?? an? 再以第一向量的起点为 起点? 最后一向量的终点为终点作一向量?这个向量 即为所求的和? （见右图）

设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a?

《空间解析几何与向量代数》- 3 -

?????????????????????

向量的减法?

我们规定两个向量b与a的差为

b?a?b?(?a)，

即把向量?a加到向量b上? 便得b与a的差b?a? ? 特别地? 当b?a时? 有

??a

?b

?b

?a

??b?a

??b?a

a?a?a?(?a)?0?

显然? 任给向量AB及点O? 有

AB?AO?OB?OB?OA?

??????因此? 若把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ?

三角不等式?

由三角形两边之和大于第三边的原理? 有

|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|?

其中等号在b与a同向或反向时成立?

2． 向量与数的乘法

向量与数的乘法的定义?

向量a与实数?的乘积记作?a? 规定?a是一个向量? 它的模|?a|?|?||a|? 它的方向当?>0时与a相同? 当?<0时与a相反?

当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的?

特别地? 当???1时? 有

1a?a? (?1)a??a?

运算规律?

(1) 结合律 ?(?a)??(?a)?(??)a；

这是因为由向量与数的乘积的规定可知,向量?(?a),?(?a),(??)a都是平行的向

《空间解析几何与向量代数》- 4 -

?

量,它们的指向也是相同的,而且

|?(?a)|?|?(?a)|?|(??)a|=|??||a|, 所以

?(?a)??(?a)?(??)a.

(2) 分配律 (???)a??a??a；

?(a?b)??a??b?

向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算. 例1? 在平行四边形ABCD中? 设AB?a? AD?b?

试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD? 其中M是平行四边形对角线的交点?

解 由于平行四边形的对角线互相平分? 所以

a?b?AC?2AM? 即 ?(a?b)?2MA? 于是 MA??1(a?b)?

2 因为MC??MA? 所以MC?1(a?b)?

2?????????????????????????????????D?bC

M??????A ?a又因?a?b?BD?2MD? 所以MD?1(b?a)?

2??????????????????B

由于MB??MD? 所以MB?1(a?b)?

2 向量的单位化? ?

设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? 于是a?|a|ea?

|a|

定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ? ?a? ?

证明? 条件的充分性是显然的? 下面证明条件的必要性?

设b // a? 取|?|?|b|? 当b与a同向时?取正值? 当b与a反向时?取负值? 即b??a?

|a|这是因为此时b与?a同向? 且 |?a|?|?||a|?|b||a|?|b|?

|a| 再证明数?的唯一性? 设b??a? 又设b??a? 两式相减? 便得 (???)a?0? 即|???||a|?0? 因|a|?0? 故|???|?0? 即????

《空间解析几何与向量代数》- 5 -

类似地? 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角?

非零向量r与三条坐标轴的夹角?、?、?称为向量r的方向角?

向量的方向余弦?

????? 从上方右图可见，设OM=r?(x? y? z)? 则

x?|r|cos?? y?|r|cos?? z?|r|cos? ?

cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦?

y cos??x? cos??? cos??z?

|r||r||r|从而

(cos?, cos?, cos?)?1r?er?

|r|上式表明? 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r ? 因此

cos2??cos2??cos2??1?

例7 设已知两点A (2, 2, 2))和B (1, 3, 0)? 计算向量AB的模、方向余弦和方向角?

解 AB?(1?2, 3?2, 0?2)?(?1, 1, ?2)? |AB|?(?1)2?12?(?2)2?2? co?s??1? cos??1? cos???2?

222??? ??2?? ???? ?? 3??

????例8 设点A位于第一卦限，向径OA与x轴? y轴的夹角依次为?和?，且

34????|OA|=6，求点A的坐标.

解

???3，??334?

4.由关系式cos2??cos2??cos2??1 .得

12221

cos??1-（）?（）?，2242因点A在第一卦限，知cosγ>0,故

《空间解析几何与向量代数》- 11 -

cos??1 2?于是 ???????121 ?????6OA?|OA|eOA(,,)?(3,33,3),222这就是点A的坐标.

3. 向量在轴上的投影

设点O及单位向量e确定u轴?

任给向量r? 作OM?r? 再过点M作与u轴垂直的平面 交u轴于点M?(点M?叫作点M在u轴上的投影)? 则向量OM? 称为向量r在u轴上的分向量? 设OM???e? 则数?称为

向量r在u轴上的投影? 记作Prjur或(r)u ?

按此定义? 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax? ay? az就是a在三条坐标轴上的投影? 即

ax?Prjxa? ay?Prjya? az?Prjza?

或记作

ax? (a)x? ay? (a)y ? az? (a)z

投影的性质?

性质1 (a)u?|a|cos ? (即Prjua?|a|cos ?)? 其中?为向量与u轴的夹角? 性质2 (a?b)u?(a)u?(b)u (即Prju(a?b)? Prjua?Prjub)?

性质3 (?a)u??(a)u (即Prju(?a)??Prjua)?

???????????例9 设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|=a，求OA在OM方

????向上的投影P?????OA.

rjOM解

记?MOA=?，有

|OA|1 cos???|OM|3?????????于是?

?????????ａ????OA?PrjOM|OA|cos??3《空间解析几何与向量代数》- 12 -

习 题 一

1．设u=a-b+2c,v=-a+3b-c,试用a、b、c表示2u-3v.

2．如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.

3．把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1、D2、D3、D4，再把各分点与点A连接.

???????????????????????????试以AB?c、BC?a表示向量D1A、D2A、D3A和D4A.

????????4．已知两点A（0,1,2）和B（1，-1,0），试用坐标表示式表示向量AB及?2AB.

5．求平行于向量a=(6, 7, -6)的单位向量.

6．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A（1，-2, 3）；B（2, 3，-4）；C（2，-3，-4）；D（-2，-3, 1）

7．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列点的位置： A（1，-2,0）；B（0,3，-4）；C（2，0，0）；D（0，-3,0）

8．求点（a,b,c）关于（1）各坐标面（2）各坐标轴（3）坐标原点的对称点的坐标. 9．自点P（1,2,3）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

10过点P（x0，y0，z0）分别作平行于z轴的直线和平行于xoy面的平面，问在他们上面的点的坐标各有什么特点？

11．一边长为a的立方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.

12．求点M（4，-3,5）到各坐标轴的距离.

13．在yOz面上，求与三点A（3,1,2）B（4，-2，-2）C（0,5,1）等距离的点. 14．证明以三点A（4,1，9）B（10，-1，6）C（2,4,3）为顶点的三角形为等腰直角三角形.

????15．设已知两点A（4，2，,计算向量AB的模、方向余弦和方向1）和B（3,0,2）角.

16．设向量的方向余弦分别满足（1）cosα=0；（2）cosβ=1；（3）cosα= cosβ=0， 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

17．设向量γ的模是4，它与u轴的夹角是п/3，求γ在u轴上的投影. 18．一向量的终点在点B（2，-1,7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4,7，求这向量的起点A的坐标。

19．设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

《空间解析几何与向量代数》- 13 -

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积

设一物体在恒力F作用下沿直线从点M移动到点M2, 以s表示位移. 由物理学知道, 力所作的功为：

W=|F||s|cosq,

其中q为F与s的夹角(如图).

从这个问题上看, 我们有时要对两个向量a和b 作这样的运算,运算的结果是一个数, 它等于?|a|、|b|?及 它们的夹角? 的余弦的乘积. 我们把它叫做向量a和b 的数量积, 记作a?b, 即

a·b?|a| |b| cos?.

根据这个定义, 上述问题中力所作的功W是力F与位移s的数量积, 即

W=F×s .

由于|b| cos? ?|b|cos(a,b)(a?^ b)???当a?0时??|b| cos(a?^ b)?是向量b在向量a的方向上的投影??便有

a·b???|a| Prj ab??

同理??当b?0时??a·b?? |b| Prj ba???

这就是说??两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积??

由数量积的性质可以推得：?(1)? a·a???|a| 2???这是因为夹角?=0.

(2) 对于两个非零向量 a、b???如果 a·b??0??则 a?b; 反之???如果a?b??则a·b??0??

p这是因为如果a×b=0, 由于|a|10, |b|10, 所以cosq=0, 从而q=，即a?b；反

2p之，如果a?b，那么q=，cosq=0，于是a×b=|a| |b| cosq=0.

2由于可以认为零向量与任何向量都垂直，因此，上述结论可叙述为：a?b???a·b??0??

数量积符合下列运算律??

(1) 交换律?? a · b?? b · a; 证： 根据定义有

?,b) , b×a =|b||a|cos(b?,a), a×b=|a||b|cos(a《空间解析几何与向量代数》- 14 -

?,b) =cos(b?,a), 而 |a||b|=|b||a|，cos(a所以

a×b=b×a.

(2) 分配律???(a?b)? c? a ? c?b ? c ?

证： 因为当c?0时? 上式显然成立? 当c?0时?

(a?b)?c?|c|Prjc(a?b)

?|c|(Prjca?Prjcb) ?|c|Prjca?|c|Prjcb ?a?c?b?c ? (3)?数量积还符合如下的结合律：?

(?a) · b?? a · (?b)?? ?( a · b)???为数???

证：??当b=0时，上式显然成立；当b10时，按投影性质3，可得

(?a) · b=|b| Prjbla=l|b| Prjba=? a · b.

有上述结合律，利用交换律，容易得

a×（?b）= ? (a×b) 及(?a) ·（mb）? ?m( a · b).

例1. 试用向量证明三角形的余弦定理??

证： ?设在ΔABC中??∠BCA????(如图)???BC|?a? ???CA|?b?? |AB|?c? 要证

c 2?a 2?b 2?2 a b cos ???? 记CB?a??CA?b??AB?c???则有?

c?a?b? 从而???

|c|2?c ? c?(a?b)(a?b)?a ? a?b ? b?2a ? b?|a|2?|b|2?2|a||b|cos(a?^b)? 即

c 2?a 2?b 2?2 a b cos ????

????????

下面我们来推导数量积的坐标表示式??

设a?(ax? ay? az )??b?(bx? by? bz ). 按数量积得运算规律得

a·b??( ax i?? ay j ? az k) · (bx i ? by j ? bz k)

?ax bx i·i ? ax by i·j ? ax bz i·k ?ay bx j ·i ? ay by j ·j ? ay bz j·k ?az bx k·i ? az by k·j ? az bz k·k ? ax bx ? ay by ? az bz ????

《空间解析几何与向量代数》- 15 -

???

由于i , j, k 相互垂直, 所以i×j=j×k=k×i=0. 由于i, j, k的模均为1, 所以i×i= j ×j= k×k=1. 因而有

a·b? ax bx ? ay by ? az bz ?

这就是两向量的数量积坐标表示式.

由于a·b?|a| |b| cos?，所以当a, b都不是零向量时, 有

axbx?ayby?azbzcos??a?b? 222222|a||b|ax?ay?azbx?by?bz这就是两向量夹角余弦的坐标表示式.

例2. 已知三点M (1??1??1)、A (2??2??1)和B (2??1??2)??求?AMB ??

解： 从M到A的向量记为a? 从M到B的向量记为b? 则?AMB 就是向量a与b的夹角??

a?{1??1??0}??b?{1??0??1}?? 因为

a?b?1?1?1?0?0?1?1?? |a|?12?12?02?2??? |b|?12?02?12?2?? 所以 cos?AMB?a?b?|a||b|1?1?? 2?22从而 ?AMB????

3例3. 设液体流过平面S 上面积为A的一个区域???液体在这区域上各点处的 流速均为（常向量?v??设n为垂直于S的单位向量（如图）? 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量m(液体的密度为ρ)?

?

???????解：??单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v |的斜柱体(如图)?这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n的夹角????所以这柱体的高为| v | cos???体积为?

????????????????????????????????????????????????????????????????A| v | cos ? ? A v ·n，?从而??单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为 m??Av ·n?

《空间解析几何与向量代数》- 16 -

二、两向量的向量积 ?

在研究物体转动问题时??不但要考虑这物体所受的力??还要分析这些力所产生的力矩??

设O为一根杠杆L的支点?有一个力F作用于这杠杆上P点处??F与OP的夹角为? ???

由力学规定??力F对支点O的力矩是一向量M??它的模

|M|?|OP||F|sin????

??

???

而M的方向垂直于OP与F所决定的平面??M的指向是的按右手规则从OP以不超过?的角转向F来确定的??即当右手的四个手指从OP以不超过?的角转向F握拳时, 大拇指的指向就是M的指向.

这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况, 在其他力学和物理学问题中也会遇到. 于是从中抽象出两个向量的向量积概念.

设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出?? c的模?|c|?|a||b|sin ? ??其中? 为a与b间的夹角;

c的方向垂直于a与b所决定的平面??c的指向按右手规则从a转向b来确定(如图)??

那么??向量c叫做向量a与b的向量积??记作a?b??即

c?? a?b?? 根据向量积的定义? 力矩M等于OP与F的向量积???即

M?OP?F? ?

??? 由向量积的定义可以推得： (1) a?a?? 0 ?

(2) 对于两个非零向量a、b??如果a?b???0??则a//b??反之??如果a//b??则a?b?? 0??

《空间解析几何与向量代数》- 17 -

如果认为零向量与任何向量都平行??则a//b???a?b???0?? 数量积符合下列运算规律?? (1) 交换律： a?b????b?a?

(2) 分配律：?(a?b)?c???a?c???b?c??

(3) 结合律： (?a)?b???a?(?b)????(a?b) (?为数)??

下面来推导向量积的坐标表示式.

?设a?? ax i ? ay j ? az k???b?? bx i ? by j ? bz k??按向量积的运算规律可得

a?b???( ax i ? ay j ? az k)???( bx i ? by j ? bz k)

??ax bx i?i ? ax by i?j ? ax bz i?k

?ay bx j?i ? ay by j?j ? ay bz j?k ?az bx k?i ? az by k?j ? az bz k?k??

由于i?i???j?j???k?k???0???i?j???k???j?k?? i???k?i???j?? 所以

a?b???( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k??

为了帮助记忆??利用三阶行列式符号??上式可写成

ijk a?b? axayaz?aybzi?azbx j?axbyk?aybxk?axbz j?azbyi

bxbybz ??( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k.

例4 设a?(2? 1? ?1)? b?(1? ?1? 2)??计算a?b ??

ijk解 a?b?21?1?2i?j?2k?k?4j?i ?i?5j ?3k??

1?12

例5 已知三角形ABC的顶点分别是A (1??2??3)、B (3??4??5)、C (2??4??7)??求三角形ABC的面积??

解 根据向量积的定义??可知三角形ABC的面积

????11S?ABC?|AB||AC|sin?A?|AB?AC|?? 22?由于AB?(2??2??2)???AC?(1??2??4)???因此

ijk?AB?AC?222?4i?6j?2k?

124???于是 S?ABC?1|4i?6j?2k|?142?(?6)2?22?14??

22

例6 设刚体以等角速度? 绕l 轴旋转??计算刚体上一点M的线速度???

解 刚体绕l 轴旋转时??我们可以用在l 轴上的一个

向量?表示角速度??它的大小等于角速度的大小??它的方向由右手规则定出??即以右

《空间解析几何与向量代数》- 18 -

手握住l 轴??当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时??大姆指的指向就是?的方向??

设点M到旋转轴l的距离为a ??再在l轴上任取一点O作向量r??OM??并以? 表示?与r的夹角??那么

a???|r| sin? ??

设线速度为v??那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知??v的大小为

|v|??|??|a ??|?| |r| sin? ;

v的方向垂直于通过M点与l轴的平面??即v垂直于?与r??又v的指向是使?、r、v符合右手规则??因此有

v?????r??

三、向量的混合积

设三个向量a, b, c. 如果先作两向量a, b的向量积, 把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(a′b)×c, 这样得到的数量叫作三向量a, b, c的混合积, 记作[a b c].

下面我们来推出三向量的混合积的坐标表示式. 设a?(ax? ay? az )??b?(bx? by? bz ), c?(cx? cy? cz ), 因为

?i a′b

jaybyk=axbxaz =bybzayazbzi-axbxazbzj+axbxaybzk,

再按照两向量的数量积的坐标表示式, 便得

[abc]=(a′b)×c

=aybyazbz. czazbzcx-axbxazbzcy+axbxaybzcz

ax=bxcxaybycy向量的混合积有下述几何意义. 向量的混合积[abc]=(a′b)×c是这样一个数，它的绝对值表示以向量a, b, c为棱的平行六面体的体积. 如果向量[a b c] =(a′b)×c组成右手系, 那么混合积的符号是正的；如果向量[a b c] =(a′b)×c组成左手系, 那么混合积的符号是负的.

《空间解析几何与向量代数》- 19 -

????????????事实上，设OA=a，OB=b, OC=c. 按向量

积的定义, 向量积a′b=f是一个向量, 它的模在数量上等于以向量a, b为边所作的平行四边形OADB的面积，它的方向垂直于这平行四边形的平面，且当a, b, c组成右手系时, 向量f 与向量 c 朝着这平面的同侧；当a, b, c 组成左手系时, 向量f 与向量 c 朝着这平面的异侧. 所以，如设f 与c 的夹角为a，那么当a, b, c组成右手系时，a为锐角；当a, b, c组成左手系时，a为钝角. 由于

[a b c]=(a′b)×c=| a′b ||c|cosa,

所以当a, b, c组成右手系时，[a b c]为正；当a, b, c组成左手系时，[a b c]为负.

因为以向量a, b, c为棱的平行六面体的底（平行四边形OADB）的面积S在数值上等于| a′b |，它的高h 等于向量c在向量f上的投影的绝对值，即

h=| |Prjf c|=| c | |cosa|,

所以平行六面体的体积

V=S h=| a′b | |c| |cosa|=|[ a b c]|.

由上述混合积的几何意义可知，若混合积[a b c]10，则能以a, b, c三向量为棱构成平行六面体，从而a, b, c三向量不共面；反之，若a, b, c三向量不共面，则必能以a, b, c为棱构成平行六面体，从而[a b c]10. 于是有下述结论：

三向量a, b, c共面的充分必要条件是它们的混合积[a b c]=0，即

axbxcxaybycyazbz=0. cz例7 已知不在一平面上的四点：A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)??C(x3,y3,z3)? D(x4,y4,z4). 求四面体ABCD的体积.

????????????解 由立体几何知道，四面体的体积V等于以向量AB、AC和AD为棱的平

行六面体的体积的六分之一. 因而

?????????1????V=?ABACAD?. ?6由于

????AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1), ????AC=(x3-x1,y3-y1,z3-z1),

《空间解析几何与向量代数》- 20 -

解 过点(2? 1? 3)与直线

x?1y?1z??垂直的平面为 32?13(x?2)?2(y?1)?(z?3)?0? 即3x?2y?z?5?

直线x?1?y?1?z与平面3x?2y?z?5的交点坐标为(2, 13, ?3)?

32?1777 以点(2? 1? 3)为起点? 以点(2, 13, ?3)为终点的向量为

777(2?2, 13?1, ?3?3)??6(2, ?1, 4)? 7777 所求直线的方程为

x?2?y?1?z?3?

2?14

例6? 求过点(2? 1? 2)且与直线x?2?y?3?z?4垂直相交的直线的方程?

112 解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为

(x?2)?(y?1)?2(z?2)?0? 即x?y?2z?7?

此平面与已知直线的交点为(1? 2? 2)? 所求直线的方向向量为

s?(1? 2? 2)?(2? 1? 2)?(?1? 1? 0)?

所求直线的方程为

?x?2y?1?x?2?y?1?z?2? 即?1? ??1?110??z?2?0 提示? 求平面x?y?2z?7与直线x?2?y?3?z?4的交点?

112 直线的参数方程为x?2?t? y?3?t? z?4?2t ? 代入平面方程得 (2?t)?(3?t)?2(4?2t)?7?

解得t??1? 代入直线的参数方程得x?1? y?2? z?2? 平面束???设直线L的一般方程为

?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?By?Cz?D?0?

222?2其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例? 考虑三元一次方程???

A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2 y?C2z?D2)?0?

即

(A1??A2)x?(B1??B2)y?(C1??C1)z?D1??D2?0?

其中?为任意常数? 因为系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例? 所以对于任何一个?值? 上述方程的系数不全为零? 从而它表示一个平面? 对于不同的?值? 所对应的平面也不同? 而且这些平面都通过直线L ? 也就是说? 这个方程表示通过直线L的一族平面? 另一方面? 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族

《空间解析几何与向量代数》- 46 -

中?

通过定直线的所有平面的全体称为平面束?

方程A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0就是通过直线L 的平面束方程?

x?y?z?1?0例7 求直线?在平面x?y?z?0上的投影直线的方程? ??x?y?z?1?0x?y?z?1?0 解 设过直线?的平面束的方程为 ??x?y?z?1?0(x?y?z?1)??(x?y?z?1)?0?

即

(1??)x?(1??)y?(?1??)z?(?1??)?0?

其中?为待定的常数? 这平面与平面 x ?? y ?? z ??0垂直的条件是

(1??)?1?(1??)?1?(?1??)?1?0?

即???1?将???1代入平面束方程得投影平面的方程为

2y?2z?2?0??

即

y?z?1?0?

所以投影直线的方程为

?y?z?1?0?x?y?z?0???

习 题 六

1求过点（4，-1，3）且平行于直线

x?3yz?1的直线方程。 ??215?x?2y?4z?7?02求过点（2，0，-3）且与直线?垂直的平面方程。

?3x?5y?2z?1?0?5x?3y?3z?9?0?2x?2y?z?23?03求直线?与直线?的夹角的余弦。

3x?2y?z?1?03x?8y?z?18?0??4求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程。

5求直线??x?y?3z?0与平面x-y-z+1=0的夹角。

?x?y?z?0?x?2y?z?1?0?2x?y?z?06求过点（1，2，1）且与两直线?和?平行的平面

x?y?z?1?0x?y?z?0??的方程。

7求点（-1,2,0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

《空间解析几何与向量代数》- 47 -

????AD=(x4-x1,y4-y1,z4-z1),

所以

V??1x3?x16x4?x1x2?x1y2?y1y3?y1y4?y1z2?z1z3?z1, z4?z1上式中符号的选择必须和行列式的符号一致.

例8 已知A(1, 2, 0), B (2, 3, 1), C (4, 2, 2), M ( x , y, z)四点共面, 求点M的坐标x, y, z所满足的关系式.

?????????????解 A、B、C、M四点共面相当于AM,AB,AC三向量共面，这里

?????????????AM=(x-1,y-2,z),AB=(1,1,1),AC=(3,0,2). 按三向量共面的充要条件，可得

x-1y-2z1=0, 2 1310即 2x+y-3z-4=0.

这就是点M的坐标所满足的关系式.

习 题 二

1. 设a=3i – j - 2k, b=I +2j - k，求

(1)a×b及a′b；(2) (-2a)×3b及a′2b; (3) a、b夹角的余弦. 2.设a、b、c为单位向量，且满足a+b+c=0，求a×b+b×c+c×a.

??????????????3. 已知M1(1, - 1, 2)、M2(3, 3, 1)和M3(3, 1, 3). 求与M1M2、M2M3同时垂直的单位向量.

4. 设质量为100kg的物体从点M1(3, 1, 8）沿直线移动到点M2(1, 4, 2），计算重力所作的功(坐标系长度单位为m，重力方向为z轴负方向).

????5. 在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处，有一与OP1成角q1的力????F1作用着；在O的利益侧与点O的距离为x2的点P2处，有一与OP2成角q2的力F2作用着. 问：q1、q2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？ 6. 求向量a=(4, -3, 4)在向量b=(2, 2, 1)上的投影.

《空间解析几何与向量代数》- 21 -

7. 设a=(3, 5, -2), b=(2, 1, 4), 问l与m有怎样的关系，能使得la+mb与z轴垂直？

8. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.

9. 已知向量a=2i-3j + k, b=i-j + 3k和c=i-2j，计算： (1) (a×b)c -(a×c)b；(2) (a+b)′(b+c)；(3) (a′b)×c.

????????10. 已知OA=i+3k, OB=j+3k, 求DABC的面积.

11. 已知a?(ax? ay? az )??b?(bx? by? bz ), c=(cx? cy? cz )，试利用行列式的性质证明： (a′b)×c=(b′c)×a=(c′a)×b.

12. 实用化向量证明不等式：

222a12+a2+a3b12+b2+b32?|a1b1a2b2+a3b3|,

其中a1,b1,a2,b2,a3,b3为任意实数，并指出等号成立的条件.

第三节 曲面及其方程

一、 曲面方程的概念

在日常生活中，我们经常会遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面

以及锥面等等.

像在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中? 任何曲面都可以看作点的几何轨迹? 在这样的意义下? 如果曲面S与三元方程

F(x? y? z)?0

有下述关系????

(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x? y? z)?0? ? (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x? y? z)?0?

那么? 方程F(x? y? z)?0就叫做曲面S的方程? 而曲面S就叫做方程F(x? y? z)?0的图形? ????

《空间解析几何与向量代数》- 22 -

?

常见的曲面的方程????

例1 建立球心在点M0(x0? y0? z0)、半径为R的球面的方程? ? 解 设M(x? y? z)是球面上的任一点? 那么

|M0M|?R? ? 即 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R?

或 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?

这就是球面上的点的坐标所满足的方程? 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程? 所以

(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?

就是球心在点M0(x0? y0? z0)、半径为R的球面的方程? ?

特殊地? 球心在原点O(0? 0? 0)、半径为R的球面的方程为 x2?y2?z2?R2? ?

例2 设有点A(1? 2? 3)和B(2? ?1? 4)? 求线段AB的垂直平分面的方程? ?

解 由题意知道? 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹? 设M(x? y? z)为所求平面上的任一点? 则有

|AM|?|BM|? 即 (x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?(x?2)2?(y?1)2?(z?4)2? ? 等式两边平方? 然后化简得

2x?6y?2z?7?0? ?

这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程? 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程? 所以这个方程就是所求平面的方程? ?

以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示.反之，变量x、y和z间的方程通常表示一个曲面.因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题????

(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时? 建立这曲面的方程? ?

(2) 已知坐标x、y和z间的一个方程时? 研究这方程所表示的曲面的形状? ?

上述例1、例2是从已知曲面建立其方程的例子.下面举一个由已知方程研究它所表示的曲面的例子.

例3 方程x2?y2?z2?2x?4y?0表示怎样的曲面？ 解 通过配方? 原方程可以改写成

(x?1)2?(y?2)2?z2?5? ?

这是一个球面方程? 球心在点M0(1? ?2? 0)、半径为R?5? ?

一般地? 设有三元二次方程

Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0?

这个方程的特点是缺xy ? yz ? zx 各项? 而且平方项系数相同? 只要将方程经过配方

《空间解析几何与向量代数》- 23 -

可以化成方程

(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?

的形式? 它的图形就是一个球面? ??

????下面,作为基本问题（1）的例子，我们讨论旋转曲面；作为基本问题（2）的例子，我们讨论柱面.第四目中对二次曲面的讨论，也可看作基本问题（2）的例子.

二、旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面? 旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴? ? 设在yO z 坐标面上有一已知曲线C? 它的方程为

f (y? z) ?0?

把这曲线绕z轴旋转一周? 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面? 它的方程可以求得如下????

设M(x? y? z)为曲面上任一点? 它是曲线C上点M1(0? y1? z1)绕z轴旋转而得到的? 因此有如下关系等式

f(y1, z1)?0? z?z1? |y1|?x2?y2?

从而得 f(?x2?y2, z)?0? 这就是所求旋转曲面的方程? ??

在曲线C的方程f(y? z)?0中将y改成?x2?y2? 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程f(?x2?y2, z)?0? ?

同理? 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为

f(y, ?x2?z2)?0? ?

例4 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周? 所得旋转曲面叫做圆锥面? 两直线的交点叫做圆锥面的顶点? 两直线的夹角

? (0??? ?)叫做圆锥面的半顶角? 试建立顶点在坐标

2原点O? 旋转轴为z轴? 半顶角为?的圆锥面的方程? ?

??????????????

解 在yO z 坐标面内? 直线L的方程为

z?ycot ? ? 将方程z?ycot? 中的y改成?x2?y2? 就得到所要求的圆锥面的方程

t? z??x2?y2co?《空间解析几何与向量代数》- 24 -

或

z2?a2 (x2?y2)? 其中a?cot ? ? ?

22xz例5? 将xOz坐标面上的双曲线2?2?1分别绕x轴和z轴旋转一周? 求所生成ac的旋转曲面的方程? ?

解 绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为

x2?y2?z2?1? a2c2绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为

x2?y2z2?2?1? ??a2c

这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面? ??

?

三、柱面

例6 方程x2?y2?R2表示怎样的曲面？

解 方程x2?y2?R2在xOy 面上表示圆心在原点O、半径为R的圆? 在空间直角坐标系中? 这方程不含竖坐标z? ?即不论空间点的竖坐标z怎样? 只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程? 那么这些点就在这曲面上? 也就是说? 过xOy 面上的圆x2?y2?R2? 且平行于z轴的直线一定在x2?y2?R2表示的曲面上? 所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l 沿xOy 面上的圆x2?y2?R2移动而形成的? 这曲

面叫做圆柱面? xOy 面上的圆x2?y2?R2叫做它的准线? 这平行于z轴的直线l 叫做它的母线? ?? 一般的，直线L沿定曲线C平行移动形成的轨迹叫做柱面? 定曲线C叫做柱面的准线? 动直线L叫做柱面的母线? ?

上面我们看到? 不含z的方程x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面? 它的母线平行于z轴? 它的准线是xOy 面上的圆x2?y2?R2? ??

《空间解析几何与向量代数》- 25 -

类似地? 方程y2?2x表示母线平行于z轴的柱面? 它的准线是xOy 面上的抛物线y2??2x? 该柱面叫做抛物柱面? ?

又如? 方程 x?y?0表示母线平行于z轴的柱面? 其准线是xOy 面的直线 x?y?0? 所以它是过z 轴的平面? ??

一般地? 只含x、y而缺z的方程F(x? y)?0? 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面? 其准线是xOy 面上的曲线C?? F(x? y)?0? ? 类似可知? 只含x、z而缺y的方程G(x? z)?0和只含y、z而缺x的方程H(y? z)?0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面? ?

例如? 方程 x?z?0表示母线平行于y轴的柱面? 其准线是xOz面上的直线 x?z?0? ?所以它是过y轴的平面? ?

四、二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相类似? 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面? 把平面叫做一次曲面?

二次曲面有九种，适当选取空间直角坐标系，可得它们的标准方程.下面就九种二次曲面的标准方程来讨论二次曲面的形状.

《空间解析几何与向量代数》- 26 -

22(1) 椭圆锥面 x2?y2?z2

ab 以垂直于z轴的平面z?t截此曲面? 当t?0时得一点(0? 0? 0)? 当t?0时? 得平面z?t上的椭圆

2y2x ??1? (at)2(bt)2当t变化时? 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆? 当|t|从大到小并变为0时? 这族椭圆从大到小并缩为一点? 综合上述讨论? 可得椭圆锥面的形状如图?

平面z?t与曲面F(x? y? z)?0的交线称为截痕.通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法?

我们还可以用伸缩变形的方法来得出椭圆锥面（1）的形状. 先说明xOy 平面上的图形伸缩变形的方法.在xOy 平面上，把点M(x? y)变为点M'(x??y)，从而把点M的轨迹C变为点M'的轨迹C'，称为把图形C沿y轴方向伸缩?倍变成图形C'.假如C为曲线F(x? y)?0，点M(x1,y1)?C,点M变为点M'(x2,y2)，其中x2?x1,y2??y1，即x1?x2,y1?故F(x2,F(x1,y1)?0，方程为F(x,111?y2，因点M?C，有

?因此点M'(x2,y2)的轨迹C'的y2)?0，

b倍，就变为椭圆a?y)?0.例如把圆x2?y2?a2沿y轴方向伸缩

x2?y2bx2y22?z. 类似地，把空间图形沿y轴方向伸缩倍，那么圆锥面即??1222aaabx2y2变为椭圆锥面2?2?z2.

ab利用圆锥面（旋转曲面）的伸缩变形来得出椭圆锥面的形状，这种方法是研究

曲面形状的一种较方便的方法.

《空间解析几何与向量代数》- 27 -

222(2) 椭球面 x2?y2?z2?1

abcx2z2把 xOz面上的椭圆2?2?1绕z轴旋转，所得曲面称为旋转椭球面，其方

ac程为沿

x2?y2z2?2?1 a2cb再把旋转椭球面沿y轴方向伸缩倍，便得椭球面（2）的形状如图所示.

a当a?b?c时，椭球面（2）成为x2?y2?z2?a2，这是球心在原点、半径为a的球面.显然，球面是旋转椭球面的特殊情形，旋转椭球面是椭球面的特殊情形.

222把球面x2?y2?z2?a2沿z轴方向伸缩c倍? 即得旋转椭球面x?2y?z2?1? 再沿y

aac2y2z2bx轴方向伸缩倍? 即得椭球面2?2?2?1?

aabc2y2z2x (3) 单叶双曲面 2?2?2?1

abc22222把xOz面上的双曲线x2?z2?1绕z轴旋转? 得旋转单叶双曲面x?2y?z2?1? 把

acac此旋转曲面沿y轴方向伸缩b倍? 即得单叶双曲面x2?y2?z2?1?

222aabc2y2z2x (4) 双叶双曲面 2?2?2?1 abc 把xOz面上的双曲线x2?z2?1绕x轴旋转? 得旋转双叶双

ac222曲面x2?z?2y?1? 把此旋转曲面沿y轴方向伸缩b倍? 即得

22acc双叶双曲面（4）?

x2y2 (5) 椭圆抛物面 2?2?z

ab 把xOz面上的抛物线x2?z绕z轴旋转? 所得曲面叫做旋

a2转抛物面? 把此旋转曲面沿y轴方向伸缩b倍? 即得椭圆抛物面（5）.

a2y2x (6) 双曲抛物面 2?2?z ab 双曲抛物面又称马鞍面? 我们用截痕法来讨论它的形状. 用平面x?t截此曲面? 所得截痕l为平面x?t上的抛物线

《空间解析几何与向量代数》- 28 -

2y2t?2?z?2?

ba此抛物线开口朝下? 其顶点坐标为(t, 0, t2)? 当t变化时? l的形状不变? 位置只作平

a2移? 而l的顶点的轨迹L为平面y?0上的抛物线

2xz?2? a因此? 以l为母线? L为准线? 母线l的顶点在准线L上滑动? 且母线作平行移动? 这样得到的曲面便是双曲抛物面（6）?

还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面?

22y2y2xx 2?2?1? 2?2?1? x2?ay? abab依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面? 柱面的

形状在第三目中已经讨论过，这里不再赘述.

习 题 三

1、一动点与两定点（2,3,1）和（4,5,6）等距离，求这动点的轨迹方程. 2、建立以点（1,3,-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程. 3、方程x2?y2?z2?2x?4y?2z?0表示什么曲面？

4、求与坐标原点O及点（2,3,4）的距离之比为1﹕2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？

5、将xOz坐标面上的抛物线z2?5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程. 6、将xOz坐标面上的圆x2?z2?9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程. 7、将xOy坐标面上的双曲线4x2?9z2?36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

8、画出下列各方程所表示的曲面：

a2a2x2y22（1）(x?)?y?()； （2）???1；

4922x2z2（3）??1； （4）y2?z?0；

94（5）z?2?x2.

9、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：

《空间解析几何与向量代数》- 29 -

（1）x?2； （2）y?x?1； （3）x2?y2?4； （4）x2?y2?1. 10、说明下列旋转曲面是怎样形成的：

y2x2y2z22（1）?z2?1； ???1； （2）x?4499（3）x2?y2?z2?1； （4）(z?a)2?x2?y2. 11、画出下列方程所表示的曲面：

（1）4x2?y2?z2?4； （2）x2?y2?4z2?4；

zx2y2（3）?. ?349

第四节 空间曲线及其方程

一、 空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线? 设

F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0

是两个曲面方程? 它们的交线为C? 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程? 所以应满足方程组

?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0? (1) ? 反过来? 如果点M不在曲线C上? 那么它不可能同时在两个曲面上? 所以它的坐标不满足方程组(1)? 因此? 曲线C可以用方程组(1)来表示? 方程组(1)叫做空间曲线C的一般方程??

《空间解析几何与向量代数》- 30 -

?x2?y2?1例1???方程组?表示怎样的曲线??

?2x?3z?6解???方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面? 其准线是xOy 面上的圆? 圆心在原点O? 半行为1? 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面? 由于它的准线是zOx 面上的直线? 因此它是一个平面? 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线，如上方右图所示.

?z?a2?x2?y2? 例2 方程组?a2a2表示怎样的曲线?? 2?(x?)?y?()22? 解???方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O?

半行为a的上半球面? 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面? 它的准线是xOy 面上的圆? 这圆的圆心在点

(a, 0)? 半径为a? 方程组就表示上述半球面与圆柱面的

22交线，如右图所示.

二、空间曲线的参数方程

空间曲线C的方程除了一般方程之外? 也可以用参数形式表示? 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：???

?x?x(t)? ?y?y(t)? (2)

??z?z(t)当给定t?t1时? 就得到C上的一个点(x1? y1? z1)；随着t的变动便可得曲线C上的全

部点? 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程?

例3? 如果空间一点M 在圆柱面x2?y2?a2 上以角速度?绕z轴旋转? 同时又以线速度v 沿平行于z轴的正方向上升(其中?、v都是常数)? 那么点M构成的图形叫做螺旋线? 试建立其参数方程?

解????取时间t为参数? 设当t?0时? 动点位于x轴上的一点A(a, 0? 0)处? 经过时间t? 动点由A运动到M(x? y? z)(右图)? 记M在xOy 面上的投影为M?? M?的坐标为x? y,0? 由于动点在圆柱面上以角速度??绕 z 轴旋转? 所以经过时间t, ∠AOM???? t? 从而

x?|OM?|cos∠AOM??acos?? t??y?|OM?|sin∠AOM??asin?? t,

由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升? 所以 z?M?M?vt .

《空间解析几何与向量代数》- 31 -

因此螺旋线的参数方程为

?x?acos?t? ?y?asin?t?

??z?vt也可以用其他变量作参数；例如令??? t? 则螺旋线的参数方程可写为

s?x?aco??n? ?y?asi???z?b?其中b?v? 而参数为???

?螺旋线是实践中常用的曲线. 例如，平头螺丝钉的外缘曲线就是螺旋线. 当我

们拧紧平头螺丝钉时，它的外缘曲线上的任一点M，一方面绕螺丝钉的轴旋转，另一方面又沿平行于轴线的方向前进，点M就走出一段螺旋线.

螺旋线有一个重要性质：当?从?0变到?0??是，z由b?0?b?. 这说明当OM?转过角?时，M点沿螺旋线上升了高度b?，即上升的高度与OM?转过的角度成正比. 特别是当OM?转过一周，即??2?时，M点就上升固定的高度h?2?b. 这个高度h?2?b在工程技术上叫做螺距.

*曲面的参数方程

下面顺便介绍一下曲面的参数方程. 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程? 形如

?x?x(s, t)? ?y?y(s, t)? (3)

??z?z(s, t)

例如空间曲线?

?x??(t)? ?y??(t) (??t??)

??z??(t)绕z轴旋转? 所得旋转曲面的方程为

?x?[?(t)]2?[?(t)]2cos???22n ?y?[?(t)]?[?(t)]si??z??(t)?????t?????0???2??? (4) ??这是因为? 固定一个t? 得?上一点M1(?(t)? ?(t)? ?(t))? 点M1绕z轴旋转? 得空间的

《空间解析几何与向量代数》- 32 -

一个圆? 该圆在平面z??(t)上? 其半径为点M1到z轴的距离[?(t)]2?[?(t)]2? 因此? 固定t的方程(4)就是该圆的参数方程? 再令t在[?? ?]内变动? 方程(4)便是旋转曲面的方程?

例如直线

?x?1? ?y?t

??z?2t绕z轴旋转所得旋转曲面（右图）的方程为

?x?1?t2cos??2 ?y?1?tsin??

?z?2t?(上式消t和?? 得曲面的直角坐标方程为x2?y2?1?z).

42 又如球面x2?y2?z2?a2可看成zOx面上的半圆周

??x?asin? ?y?0 (0????)

?s?z?aco?

绕z轴旋转所得（右图）? 故球面方程为

?co?s?x?asin?0????,?sin? ?y?asin

0???2?.?s?z?aco?

三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为

?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0? (5) ? 现在来研究由方程组(5)消去变量z后所得的方程

H(x? y)?0 ????????????????????????????????????????????????????????(6)

由于方程(6)是由方程组(5)消去z后所得的结果，因此当x、y和z满足方程组(5)时，前两个数x、y必定满足方程(6)，这说明曲线C上的所有点都在由方程(6)所表示的曲面上.

由上节知道，方程(6)表示一个母线平行于z轴的柱面. 由上面的讨论可知，这柱面必定包含曲线C. 以曲线C为准线、母线平行于z轴（即垂直于xOy面）的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线? 或简称投影. 因此，方程(6)所表示的柱面必定包含投影柱

《空间解析几何与向量代数》- 33 -

面，而方程

?H(x,y)?0?? z?0?所表示的曲线必定包含空间曲线C在xOy 面上的投影.

同理，消去方程组(5)中的变量x或变量y，再分别和x=0或y=0联立，我们就可得到包含曲线C在yOz 面或xOz面上的投影的曲线方程：

?R(y,z)?0,??x?0,或?T(x,z)?0, ?y?0.?

例4? 已知两球面的方程为

x2?y2?z2?1 (7) 和

x2?(y?1)2?(z?1)2?1? (8)

求它们的交线C在xOy面上的投影方程?

解????先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程. 因此要由方程(7)、(8)消去z，为此可先从(7)式减去(8)式并化简，得到? y?z?1?

再以 z?1?y代入方程(7)或(8) 即得所求的柱面方程为 x2?2y2?2y?0?

容易看出，这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程，于是两球面的交线在xOy面上的投影方程为

?x2?2y2?2y?0 ??

?z?0 在重积分和曲面积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲面.

例5? 设一个立体由上半球面z?4?x2?y2和锥面

z?3(x2?y2)所围成(右图)，求它在xOy面上的投影?

解???半球面和锥面的交线为?

22??z?4?x?y,???????????????????????C:?????????

22??x?3(x?y).由上列方程组消去z ，得到x2?y2?1? 这是一个母线平行于z轴的圆柱面? 容易看出? 这恰好是交线C关于xOy面的投影柱面? 因此交线C在xOy面上的投影曲线为：

?x2?y2?1? ?z?0?这是xOy面上的一个圆? 于是所求立体在xOy面上的投影? 就是该圆在xOy面上所

围的部分：x2?y2?1?

《空间解析几何与向量代数》- 34 -

习 题 四

1．画出下列曲线在第一卦限内的图形：

?x?1,(1)?

y?2;???x2?y2?a2,?z?4?x2?y2, (3)?2 (2)?22??x?z?a.?x?y?0;2．指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：

?x2y2?y?5x?1,?1,?? (1)? (2)?4 9?y?2x?3;?y?3.??2x2?y2?z2?163．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线?2的柱面方程. 22?x?z?y?04．求球面x2?y2?z2?9与平面x?z?1的交线在xOy面上的投影方程. 5．将下列曲线的一般方程化为参数方程：

?x2?y2?z2?9,?(x?1)2?y2?(z?1)2?4, (1)? (2)?

?y?x;?z?0.?x?acos??6．求螺旋线?y?asin? 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

??z?b?7．求上半球0?z?a2?x2?y2与圆柱体x2?y2?ax(a?0)的公共部分在xOy面和xOz面上的投影.

8．求旋转抛物面z?x2?y2(0?z?4)在三坐标面上的投影.

《空间解析几何与向量代数》- 35 -

第五节 平面及其方程

在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线――平面和直线.

一、 平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直．

因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面?上一点M0?(x0? y0? z0)和它的一个法线向量n?(A? B? C)为已知时? 平面?的位置就完全确定了．下面我们来建立平面?的方程．

设M(x,y,z)是平面?上的任一点（右图）．那么向量M0M必与平面?的法线向量n垂直? 即它们的数量积等于零

???????? n?M0M?0?

????由于 n ?(A? B? C)? M0M?(x?x0, y?y0, z?z0)? 所以有

A (x?x0) ? B (y?y0) ? C (z?z0) ? 0? (1) 这就是平面?上任一点M的坐标x? y? z所满足的方程?

反过来? 如果M (x? y? z)不在平面?上? 那么向

量M0M与法线向量n不垂直? 从而n?M0M?0? 即不在平面?上的点M的坐标x? y? z不满足方程(1)．

由此可知?平面?上的任一点的坐标x? y? z都满足方程（1）；不在平面?上的点的坐标都不满足方程（1）．这样，方程（1）就是平面?的方程．而平面?就是方程（1）的图形．由于方程（1）是由平面?上的一点M0(x0? y0? z0)及它的一个法线向量n ?(A? B? C)确定的? 所以方程（1）叫做平面的点法式方程．

例1 求过点(2? ?3? 0)且以n?(1? ?2? 3)为法线向量的平面的方程． 解 根据平面的点法式方程（1），得所求平面的方程为

( x ? 2 ) ? 2 ( y ? 3 ) ? 3 z ? 0?

即 x ? 2 y ? 3 z ? 8 ? 0?

例2 求过三点M1(2? ?1? 4)、M2(?1? 3? ?2)和M3(0? 2? 3)的平面的方程?

解 先找出这平面的法线向量n．由于向量n与向量M1M2、M1M3都垂直，而

《空间解析几何与向量代数》- 36 -

????????????????

????????M1M2?(?3, 4, ?6)? M1M3?(?2, 3, ?1)? 所以可取它们的向量积为n , 即

n?M1M2、M1M3??34?6

?23?1????????ijk?14i?9j?k?

根据平面的点法式方程(1)? 得所求平面的方程为

14 ( x ? 2 ) ? 9 ( y ? 1 ) ? ( z ? 4 ) ? 0 ?

即 14 x ? 9 y ? z ? 15 ? 0 ?

二、 平面的一般方程

由于平面的点法式方程（1）是x? y? z的一次方程? 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定? 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示．

反过来? 设有三元一次方程

A x ? B y ? C z ? D ? 0 ? （2）

我们任取满足该方程的一组数x0? y0? z0? 即

A x0 ? B y0 ? C z0??? D ? 0 ? （3）

把上述两等式相减? 得

A ( x ? x0 ) ? B ( y ? y0 ) ? C ( z ? z0 ) ? 0 ? （4）

把它和平面的点法式方程(1)作比较，可以知道方程（4）是通过点M0(x0? y0? z0)且以 n?(A? B? C)为法线向量的平面方程? 但方程（2）与方程（4）同解，这是因为由（2）减去（3）即得（4），又由（4）加上（3）就得（2）．由此可知，任一三元一次方程（2）的图形总是一个平面．方程（2）称为平面的一般方程，其中x? y? z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标? 即 n?(A? B? C)．

例如? 方程

3x ? 4y ? z ? 9 ? 0

表示一个平面? n?(3? ?4? 1)是这平面的一个法线向量．

对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点．

当D?0时，方程（?）成为Ax ? By ? Cz ? 0，它表示一个通过原点的平面． 当A?0时，方程（?）成为By ? Cz + D ? 0，法线向量n?(0? B? C) 垂直于x轴? 方程表示一个平行于x轴的平面?

同样，方程Ax?Cz?D?0和Ax+By?D?0，分别表示一个平行于y轴和z轴的平 面．

D当A = B = 0时，方程（2）成为Cz ? D ? 0或z??? ?法线向量n?(0? 0? C)同

C时垂直于x轴和y轴? 方程表示一个平行于xOy面的平面．

同样，方程Ax ? D ? 0和By ? D ? 0，分别表示一个平行于yOz面和xOz面的平面．

《空间解析几何与向量代数》- 37 -

例3 求通过x轴和点(4? ?3? ?1)的平面的方程?

解 由于平面通过x轴? 从而它的法线向量垂直于x轴? ?于是法线向量在x轴上的投影为零，即A?0；又由平面通过x轴，它必通过原点，于是D=0．因此可设这平面的方程为

By ? Cz ? 0?

又因为这平面通过点(4? ?3? ?1)? 所以有

?3B ? C ? 0?

或

C ? ?3B ?

以此代入所设方程并除以B (B?0)? 便得所求的平面方程为

y ? 3z ? 0?

例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P (a? 0? 0)、Q (0? b? 0)、R (0? 0? c)三点（右图）? 求这平面的方程(其中a?0? b?0? c?0) ?

解 设所求平面的方程为

Ax ? By ? Cz ? D ? 0?

因为P (a? 0? 0)、Q (0? b? 0)、R (0? 0? c)三点都在这平面上? 所以点P、Q、R的坐标都满足所设的方程；即有

?aA?D?0,??bB?D?0, ??cC?D?0,得

A??D? B??D? C??D?

cab?Dx?Dy?Dz?D?0? abc以此代入所设方程? 得

除以D (D ?0)，便得所求的平面方程为

x?y?z?1? abc （5）

方程（5）叫做平面的截距式方程? 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距?

三、 两平面的夹角

两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的 夹角?

设平面?1和?2的法线向量依次为n1?(A1? B1? C1)和 n2?(A2? B2? C2)? 那么平面?1和?2的夹角? (右图)应

^^, n2)???(n1, n2)两者中的锐角? 因此? cos??|cos(n1, n2)|? 按两向量夹是(n1, n2)和(?n1^^角余弦的坐标表示式? 平面?1和平面?2的夹角? 可由

《空间解析几何与向量代数》- 38 -

cos??|cos(n1, n2)|?^|A1A2?B1B2?C1C2|A12?B12?C12?222A2?B2?C2????????????（?）?

来确定?

从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： ?1和?2互相垂直相当于A1 A2 ? B1B2 ? C1C2 ? 0 ；

? 1和? 2互相平行或重合相当于

A1B1C1??? A2B2C2

例5 求两平面 x ? y ? 2z ? 6 ? 0和2x ? y ? z ? 5 ? 0的夹角?

解 n1?(A1? B1? C1)?(1? ?1? 2)? ?n2?(A2? B2? C2)?(2? 1? 1)? 由公式（6）有

cos??|A1A2?B1B2?C1C2|222A12?B12?C12?A2?B2?C2?|1?2?(?1)?1?2?1|?1?

12?(?1)2?22?22?12?122因此? 所求夹角为????

3

例6 一平面通过两点M1(1? 1? 1)和M2(0? 1? ?1)且垂直于平面x?y?z?0? 求它的方程?

????解 方法一???已知从点M1到点M2的向量为M1M2?(?1? 0? ?2)? 平面x?y?z?0的法线向量为n1??(1? 1? 1)?

设所求平面的一个法线向量为n?(A? B? C)．

????因为点M1(1? 1? 1)和M2(0? 1? ?1)在所求平面上? 所以n?M1M2? 即有 ?A?2C?0?

又因为所求平面垂直于已知平面x?y?z?0? 所以n?n1? 即

A?B?C?0?

由（7）、（8）得到

A= ?2C， B=C．

由平面的点法式方程可知? 所求平面方程为

A(x?1)+B(y?1)+C(z?1)=0.

将A= ?2C及B=C代入上式，并约去C（C≠0），便得

?2 ( x ? 1 ) ? ( y ? 1 ) ? ( z ? 1 ) ? 0 ?

或

2 x ? y ? z ? 0 ?

这就是所求的平面方程．

????

（7） （8）

方法二? 从点M1到点M2的向量为M1M2?(?1? 0? ?2)? 平面x ? y ? z ? 0的法线向量为n1??(1? 1? 1)??

所求平面的法线向量n?可取为 ??

《空间解析几何与向量代数》- 39 -

????ijk 1 n?M1M2?n1??10?2 ?2i?j?k?

11所以所求平面方程为 即

2 ( x ? 1 ) ? ( y ? 1 ) ? ( z ? 1 ) ? 0 ?

2 x ? y ? z ? 0 ?

例7 设P0(x0? y0? z0)是平面Ax ? By ? Cz ? D ? 0外一点? 求P0到这平面的距离? 解 在平面上任取一点P1(x1? y1? z1)? 并作一法线向量n, 由右图，并考虑到P1P0与n的夹角?也可能是钝角， 得所求的距离

????????

d =PrjnP1P0 .

设en为与向量n方向一致的单位向量，那么有

????????PrjnP1P0?P1P0?en，

而

en?????1(A, B, C)， 222A?B?CP1P0?(x0?x1, y0?y1, z0?z1)，?

????????得????

PrjnP1P0?P1P0?en

?A(x0?x1)?B(y0?y1)?C(z0?z1)A?B?C222

?Ax0?By0?Cz0?(Ax1?By1?Cz1)A?B?C222

由于 所以

Ax1?By1?Cz1?D?0， Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222????PrjnP1P0?

由此得点P0(x0? y0? z0)到平面Ax ? By ? Cz ? D ? 0的距离公式

d?|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222． （9）

《空间解析几何与向量代数》- 40 -

例如，求点(2? 1? 1)到平面 x?y?z?1?0的距离，可利用公式（9），便得

d?|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222?|1?2?1?1?1?1?1|1?1?(?1)222?33?3．

习 题 五

1．求过点（3，0，?1）且与平面3x?7y?5z?12?0平行的平面方程． 2．求过点M0(2,9,?6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程． 3．求过?1,1,?1?、（?2，?2，2）和（1，?1，2）三点的平面方程． 4．指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面． （1）x?0;

（2）3y?1?0；

（3）2x?3y?6?0 ； （4）x?3y?0； （5）y?z?1；

（6）x?2z?0；

（7）6x?5y?z?0.

5．求平面2x?2y?z?5?0与各坐标面的夹角的余弦．

6．一平面过点?1,0,?1?且平行于向量a??2,1,1?和b??1,?1,0?，试求这平面方程． 7．求三平面x?3y?z?1,2x?y?z?0,?x?2y?2z?3的交点． 8．分别按下列条件求平面方程： （1） 平行于xOz面且经过点?2,?5,3?； （2） 通过z轴和点??3,1,?2?；

（3） 平行于x轴且经过两点?4,0,?2?和?5,1,7?． 9．求点?1,2,1?到平面x?2y?2z?10?0的距离．

《空间解析几何与向量代数》- 41 -

第六节 空间直线及其方程

一、 空间直线的一般方程

空间直线L可以看作是两个平面?1和?2的交线? ?如果两个相交平面?1和?2的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和 A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么直线L上的任

一点的坐标应同时满足这两个平面的方程? 即应满足方程组

?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?By?Cz?D?0? (1)

222?2 反过来? 如果点M不在直线L上? 那么它不可能同时在平面?1和?2上? 所以

它的坐标不满足方程组(1)? 因此? 直线L可以用方程组(1)来表示? 方程组(1)叫做空间直线的一般方程? ??

设直线L是平面?1与平面?2的交线? 平面的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么点M在直线L上当且仅当它同时在这两个平面上? 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程? 即满足方程组

A1x?B1y?C1z?D1?0 ?? ??A2x?B2y?C2z?D2?0 因此? 直线L可以用上述方程组来表示? 上述方程组叫做空间直线的一般方程? ?

通过空间一直线L的平面有无限多个? 只要在这无限多个平面中任意选取两个? 把它们的方程联立起来? 所得的方程组就表示空间直线L?

二、 空间直线的对称式方程与参数方程

方向向量???如果一个非零向量平行于一条已知直线? 这个向量就叫做这条直线的方向向量? 容易知道? 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量?

确定直线的条件???当直线L上一点M 0(x0? y0? x0)和它的一方向向量s???(m? n? p)为已知时? 直线L的位置就完全确定了?

直线方程的确定???已知直线L通过点M0(x0? y0? x0)? 且直线的方向向量为s???(m? n? p)? 求直线L的方程?

设M (x? y? z)在直线L上的任一点? 那么 (x?x0? y?y0? z?z0)//s?? 从而有? ?

x?x0y?y0z?z0??? mnp这就是直线L的方程? 叫做直线的对称式方程或点向式方程?

《空间解析几何与向量代数》- 42 -

注? 当m? n? p中有一个为零? 例如m?0? 而n? p?0时? 这方程组应理解为

?x?x0??y?y0?z?z0? ?p?n当m? n? p中有两个为零? 例如m?n?0? 而p?0时? 这方程组应理解为

?x?x0?0?y?y?0?

0? 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数? 而向量s的

方向余弦叫做该直线的方向余弦?

由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程? ? 设

x?x0y?y0z?z0???t? 得方程组 mnp?x?x0?mt??y?y0?nt? ??z?z0?pt此方程组就是直线的参数方程?

例1?用对称式方程及参数方程表示直线?? 解?先求直线上的一点? 取x?1? 有

?y?z??2??y?3z?2? ?x?y?z?1?

?2x?y?3z?4解此方程组? 得y??2? z?0? ?即(1? ?2? 0)就是直线上的一点?

再求这直线的方向向量s? 以平面x?y?z??1和2x?y?3z?4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :

ijk s?(i?j?k)?(2i?j?3k)?111 ?4i?j?3k?

2?13 因此? 所给直线的对称式方程为

x?1?y?2?z? 4?1?3 令x?1?y?2?z?t? ?得所给直线的参数方程为

4?1?3?x?1?4t??y??2?t? ??z??3t提示? 当x?1时? 有??y?z??2? 此方程组的解为y??2? z?0?

??y?3z?2ijk s?(i?j?k)?(2i?j?3k)?111 ?4i?j?3k?

2?13 令x?1?y?2?z?t? 有x?1?4t? y??2?t? z??3t ?

4?1?3《空间解析几何与向量代数》- 43 -

三、 两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角?

设直线L1和L2的方向向量分别为s1?(m1? n1? p1)和s2?(m2? n2? p2)? 那么L1和L2

^^^, s2)和(?s1, s2)???(s1, s2)两者中的锐角? 因此cos??|cos(s1, s2)|? 根据的夹角?就是(s1^两向量的夹角的余弦公式? 直线L1和L2的夹角?可由

cos??|cos(s1, s2)|?^|m1m2?n1n2?p1p2|222m1?n1?p1?222m2?n2?p2

来确定?

从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论??? 设有两直线L1?

x?x1y?y1z?z1x?x2y?y2z?z2? L2?? 则 ????m1n1p1m2n2p2L 1?L 2?m1m2?n1n2?p1p2?0? L1 ???L2?

1?41m1n1p1??? m2n2p22?2?1 例2 求直线L1:x?1?y?z?3和L2:x?y?2?z的夹角?

解 两直线的方向向量分别为s1 ??(1? ?4? 1)和s2 ??(2? ?2? ?1)? 设两直线的夹角为? ? 则

cos??|1?2?(?4)?(?2)?1?(?1)|?1?2 2212?(?4)2?12?22?(?2)2?(?1)2 ?

所以????

4?

四、直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时? 直线和它在平面上的投影直线的夹角?称为直线与平面的夹角? 当直线与平面垂直时? 规定直线与平面的夹角为

??2

设直线的方向向量s?(m? n? p)? 平面的法线向量为n?(A? B? C)? 直线与平面的夹角为??? 那

^么??|??(s ^, n)|? 因此sin??|cos(s , n)|? 按两向量夹

2角余弦的坐标表示式?有

sin??|Am?Bn?Cp|??222222A?B?C?m?n?p《空间解析几何与向量代数》- 44 -

因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行? 所以? 直线与平面垂直相当于

A?B?C? mnp 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直? 所以? 直线与平面平行或直线在平面上相当于

Am?Bn?Cp?0??

设直线L的方向向量为(m? n? p)? 平面?的法线向量为(A? B? C)?? 则

L????A?B?C??

mnpL/ / ??? Am?Bn?Cp?0?

例3 求过点(1? ?2? 4)且与平面2x?3y?z?4?0垂直的直线的方程?

解?平面的法线向量(2? ?3? 1)可以作为所求直线的方向向量? 由此可得所求直线的方程为

x?1?y?2?z?4? 2?31 五、杂例

例4?求与两平面 x?4z?3和2x?y?5z?1的交线平行且过点(?3? 2? 5)的直线的方程?

解?平面x?4z?3和2x?y?5z?1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s。

因为

ijk s?(i?4k)?(2i?j?5k)?10?4 ??(4i?3j?k)?

2?1?5 所以所求直线的方程为

x?3?y?2?z?5? 431

例5?求直线x?2?y?3?z?4与平面2x?y?z?6?0的交点?

112 解 所给直线的参数方程为

x?2?t? ?y?3?t? z?4?2t?

代入平面方程中? 得

2(2?t)?(3?t)?(4?2t)?6?0?

解上列方程? 得t??1? 将t??1代入直线的参数方程? 得所求交点的坐标为

x?1? y?2? z?2?

例6 求过点(2? 1? 3)且与直线x?1?y?1?z垂直相交的直线的方程?

32?1《空间解析几何与向量代数》- 45 -

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