选修3-4 实验1 探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度 (11)

专题五

应用动力学观点和

能量观点解决力学压轴题

高考试题中常常以能量守恒为核心考查重力、摩擦力、

电场力、磁场力的做功特点，以及动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律的应用.分析时应抓住能量核心和各种力 做功的不同特点，运用动能定理和能量守恒定律进行分析.

常考点一

应用动力学方法和动能定理解决多过程问题

若一个物体参与了多个运动过程，有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿运动定律 求解；若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特 点，则往往用动能定理求解.

【典例 1】 如图 1 所示，竖直固定放置的粗糙斜面 AB 的下 端与光滑的圆弧 BCD 的 B 点相切，圆弧轨道的半径为 R, 圆心 O 与 A、 D 在同一水平面上， C 点为圆弧轨道最低点， Rcos θ ∠COB=θ, 现在质量为 m 的小物体从距 D 点高度为 4 的地方无初速度地释放， 已知小物体恰能从 D 点进入圆弧 轨道.求：

图1

(1)为使小物体不会从 A 点冲出斜面， 小物体与斜面间的动 摩擦因数至少为多少？ sin θ (2)若小物体与斜面间的动摩擦因数 μ= ,则小物体 2cos θ 在斜面上通过的总路程为多少？ (3)小物体通过圆弧轨道最低点 C 时， 对 C 点的最大压力和 最小压力各是多少？审题指导 (1)运动过程分析 圆周运动 斜面上匀减速运动 自由落体运动

(2)找出小物体最终的运动状态从B点开始做往复运动此过程中机械能守恒

解析

(1)为使小物体不会从 A 点冲出斜面， 由动能定理得

Rcos θ Rcos θ mg -μ1mgcos θ =0 4 sin θ sin θ 解得动摩擦因数至少为 μ1= . 4cos θ (2)分析运动过程可得，最终小物体将在 BB′圆弧间做往 复运动(B′未画出),由动能定理得 Rcos mg 4

θ

+Rcos

θ -μmgscos

θ= 0

5Rcos θ 解得小物体在斜面上通过的总路程为 s= . 2sin θ

(3)由于小物体第一次通过最低点时速度最大，此时压力最 大，由动能定理得 Rcos mg 4

θ

1 +R = mv2 2

v2 由牛顿第二定律得 FNmax-mg=m R 1 联立以上两式解得 FNmax=3mg+ mgcos θ 2 最终小物体将从 B 点开始做往复运动，则有 v′ 1 2 mgR(1-cos θ)= mv′ ,FNmin-mg=m R 2 联立以上两式，解得 FNmin=mg(3-2cos θ)2

由牛顿第三定律，得小物体通过圆弧轨道最低点 C 时，对 1 C 点的最大压力 FN′max=FNmax=3mg+ mgcos θ 2 最小压力 FN′min=FNmin=mg(3-2cos θ).

答案

sin θ (1) 4cos θ

5Rcos θ (2) 2sin θ

1 (3)3mg + mgcos θ 2

mg(3

-2cos θ)

即学即练 1 如图 2 所示， 倾角为 α 的光滑斜面与半径为 R= 0.4 m 半圆形光滑轨道在同一竖直平面内，其中斜面与水 平面 BE 光滑连接，水

平面 BE 长为 L=0.4 m,直径 CD 沿竖直方向，C、E 可看作重合.现有一可视为质点的小 球从斜面上距 B 点竖直距离为 H 的地方由静止释放， 小球 1 在水平面上所受阻力为其重力的 .(取 g=10 m/s2) 5

图2 (1) 若要使小球经 E 处水平进入圆形轨道且能沿轨道运 动，H至少要有多高？如小球恰能沿轨道运动，那么小球 在水平面DF上能滑行多远？

(2) 若小球静止释放处离 B 点的高度 h 小于 (1) 中 H 的最小值，小球可击中与圆心等高的G点，求h的值.

解析

(1)小球从光滑斜面轨道下滑机械能守恒，设小球到

1 2 达 B 点时的速度大小为 v.则：mgH= mv 2 1 因为小球在水平面所受阻力为其重力的 5 kmg 根据牛顿第二定律 a= m =2 m/s22 v2 - v =-2aL E

小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆形轨道最高点必须2 vE 满足：mg≤m R

联立以上几式并代入数据得：H≥0.28 m 小球恰能沿轨道运动，根据动能定理： 1 2 mg2R-kmgx=0- mvE,x=5 m. 2

(2)若 h<H,小球过 E 点后做平抛运动，设小球经 E 点时 的速度大小为 vx,则击中半圆中点 G 时：竖直方向： 1 2 R= gt ,水平方向：R=vxt 2 1 2 由动能定理：mgh-kmgL= mvx 2 联立以上三式并代入数据得 h=0.18 m.答案 (1)H≥0.28 m 5m (2)0.18 m

常考点二

用动力学和机械能守恒定律解决多过程问题

若一个物体参与了多个运动过程，有的过程只涉及运动和力的问题或只要求分析物体的动力学特点，则要用动力学 方法求解；若某过程涉及到做功和能量转化问题，则要考虑 应用动能定理或机械能守恒定律求解.

【典例2】 如图3甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径相等

的四分之一圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径),细圆管分别与上、下圆弧轨 道相切连接， BC 段的长度 L 可伸缩调节.下圆弧轨道与 水平面相切，D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最 低点，整个轨道固定在同一竖直平面内.一小球多次以

某一速度从A点水平进入轨道，从D点水平飞出.在A、D两点各放一个压力传感器，测试小球对轨道A、D两点的 压力，计算出压力差 ΔF. 改变 BC 间距离 L ,重复上述实 验，最后绘得ΔF -L的图线如图乙所示.(不计一切摩擦 阻力，g取10 m/s2)

图3 (1) 某一次调节后 D 点离地高度为 0.8 m .小球从 D 点飞

出，落地点与D点的水平距离为2.4 m,求小球过D点时速度大小. (2)求小球的质量和圆弧轨道的半径大小.

审题指导

(1)小球做平抛运动竖直高度求时间t水平方向

的初速度v0.(2)小球从A点到D点，满足机械能守恒定律. (3) 分别对 A 点和 D 点，应用向心力公式，求 FA 和 FD 压力 差ΔF随L的函数式由图象的截距和斜率，求

小球的质量m 和圆弧轨道半径r.

解析

(1)设小球过 D 点时速度为 v0 小球在竖直方向上做

1 2 自由落体运动，则 HD= gt 2 水平方向做匀速直线运动 x=v0t 由以上两式代入数据解得 v0=6 m/s. (2)设圆弧轨道的半径为 r,由 A 到 D 过程中小球机械能守 1 2 1 2 恒 mvA= mvD+mg(2r+L) 2 2

2 vA 在 A 点：FA-mg=m r 2 vD 在 D 点：FD+mg=m r

L 所以 ΔF=FA-FD=6mg+2mg r 由图象纵截距得：6mg=12 N 解得 m=0.2 kg,当 L=0.5 m 时，ΔF=17 N 代入数据解得：r=0.4 m答案 (1)6 m/s (2)0.2 kg 0.4 m

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