山东省济宁市微山县中片四校2016届中考数学模拟试卷含答案解析

2016年山东省济宁市微山县中片四校中考数学模拟试卷

一、选择题 1．下列各数：

，sin30°，﹣

，

，其中无理数的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）

A．40° B．50° C．60° D．140° 3．下列计算正确的是（ ） A．3x+3y=6xy

B．a2?a3=a6 C．b6÷b3=b2 D．（m2）3=m6

4．今年“五?一”黄金周，我省实现社会消费的零售总额约为94亿元．若用科学记数法表示，则94亿可写为（ ）元

A．0.94×109 B．9.4×109 C．9.4×107 D．9.4×108

5．为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则下列说法正确的是（ ） A．甲秧苗出苗更整齐 B．乙秧苗出苗更整齐 C．甲、乙出苗一样整齐

D．无法确定

6．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A．

B．

C．

D．1

7．矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，将纸片沿EF折叠使点B与点D重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为（ ）

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A．3 B．4 C．5 D．6

8．已知某几何体的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（ ）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2

9．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（ ）

A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里

10．如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN且∠APN=60°，过点A的切线AB交MN于点B．设OP=x，△PAB的面积为 y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

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11．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 ．

12．把抛物线y=x2﹣ax+b的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则（b﹣2）a的值为 ．

13．计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测32009+1的个位数字是 ． 14．在锐角三角形ABC中，BC=5

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的

动点，则CM+MN的最小值是 ．

15．直线y=﹣x﹣1与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为 ．

三、解答题

16．先化简，再求值：

，其中x是不等式组

的整数解．

17．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）

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18．t单位：某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量（小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；

（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；

（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4 小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

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20．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售 总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）

（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A，B两种型号车的进货和销售价格如下表： 进货价格（元） 销售价格（元） A型车 1100 今年的销售价格 B型车 1400 2000 21．问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB △EFC的面积S1= ，△ADE的面积S2= ．交BC于点F．请按图示数据填空：探究发现（2）在（1）中，若BF=m，FC=n，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2． 拓展迁移（3）如图2，?DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为3、7、5，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

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（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．

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2016年山东省济宁市微山县中片四校中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题 1．下列各数：

，sin30°，﹣

，

，其中无理数的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】无理数． 【专题】计算题．

【分析】先把sin30°化为，【解答】解：∵sin30°=，∴这一组数中的无理数有：故选B．

【点评】本题考查的是无理数的概念，解答此题的关键是熟知π是无理数这一关键．

2．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）

化为2的形式，再根据无理数的定义进行解答即可． =2，，2是有理数， ，﹣

共2个．

A．40° B．50° C．60° D．140°

【考点】平行线的性质；直角三角形的性质． 【专题】探究型．

【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°， ∴∠3=∠1=40°， ∵DB⊥BC，

∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣40°=50°． 故选B．

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【点评】本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

3．下列计算正确的是（ ） A．3x+3y=6xy

B．a2?a3=a6 C．b6÷b3=b2 D．（m2）3=m6

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】计算题．

【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案． 【解答】A、3x与3y不是同类项，不能合并，故A选项错误； B、a2?a3=a5，故B选项错误； C、b6÷b3=b3 ，故C选项错误； D、（m2）3=m6 ，故D选项正确． 故选：D．

【点评】此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．

4．今年“五?一”黄金周，我省实现社会消费的零售总额约为94亿元．若用科学记数法表示，则94亿可写为（ ）元

A．0.94×109 B．9.4×109 C．9.4×107 D．9.4×108 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】应用题．

【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤a＜10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂． 【解答】解：一亿=108，∴94亿元=9.4×109．故选B．

【点评】本题考查学生对科学记数法的掌握，科学记数法要求前面的部分的绝对值是大于或等于1，而小于10，小数点向左移动n位．

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5．为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则下列说法正确的是（ ） A．甲秧苗出苗更整齐 B．乙秧苗出苗更整齐 C．甲、乙出苗一样整齐 【考点】方差． 【专题】压轴题．

【分析】方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即可得出答案． 【解答】解：∵甲、乙方差分别是3.9、15.8， ∴S2甲＜S2乙，

∴甲秧苗出苗更整齐； 故选A．

x1，x2，…xn的平均数为，【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

6．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A．

B．

C．

D．1 D．无法确定

【考点】概率公式；中心对称图形．

【分析】确定既是中心对称的有几个图形，除以4即可求解． 【解答】解：∵是中心对称图形的有圆、菱形，

所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是=； 故选B．

【点评】此题考查了概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是能够找出中心对称图形．

7．矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，将纸片沿EF折叠使点B与点D重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为（ ）

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A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】数形结合．

【分析】设DF=x，则BF=x，CF=8﹣x，在RT△DFC中利用勾股定理可得出x的值，继而得出答案．【解答】解：设DF=x，则BF=x，CF=8﹣x，

在RT△DFC中，DF2=CF2+DC2，即x2=（8﹣x）2+42， 解得：x=5，即DF的长为5． 故选C．

【点评】此题考查了翻折变换的知识，设出DF的长度，得出CF的长，然后在RT△DFC中利用勾股定理是解答本题的关键．

8．已知某几何体的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（ ）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2 【考点】圆锥的计算． 【专题】计算题．

【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2． 【解答】解：∵底面半径为3，高为4， ∴圆锥母线长为5，

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∴侧面积=2πrR÷2=15πcm2． 故选：B．

【点评】由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．

9．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（ ）

A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里

【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质． 【专题】应用题．

∠N=40°，【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解． 【解答】解：MN=2×40=80（海里）， ∵∠M=70°，∠N=40°，

∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°， ∴∠NPM=∠M， ∴NP=MN=80（海里）． 故选：D．

【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．

10．如图，⊙O的半径为2，点P是半径OA上的一个动点，过点P作直线MN且∠APN=60°，过点A的切线AB交MN于点B．设OP=x，△PAB的面积为 y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

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A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣

=2时，S

取到最小值为： =0，即可得出图象．

【解答】解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线m，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°， ∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x， ∴tan60°=解得：AB=

=

， （2﹣x）=﹣

x+2

， ?（﹣x+2）=

x2﹣2

x+2

，

∴S△ABP=×PA×AB=（2﹣x）?故此函数为二次函数， ∵a=

＞0，

∴当x=﹣=2时，S取到最小值为： =0，

根据图象得出只有D符合要求． 故选：D．

【点评】此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S与x之间的函数解析式是解题关键． 二、填空题

11．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是 5 ．

第12页（共30页）

【考点】一元二次方程的解． 【专题】计算题．

【分析】把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣m=0，得a2﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值．

【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，

∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②， ①+②，得2（a2﹣5a）=0， ∵a＞0， ∴a=5． 故答案为：5．

【点评】本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

12．把抛物线y=x2﹣ax+b的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y=x2﹣2x+3，则（b﹣2）a的值为 【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据题意，将函数y=x2﹣2x+3，向左平移3个单位，再向下平移2的单位即可得出函数y=x2﹣ax+b的图象，求出a、b的值即可得出结论．

【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x+3可化为y=（x﹣1）2+2，

∴向下平移2个单位，再向左平移3的单位所得二次函数的解析式为y=（x﹣1+3）2+2﹣2，即y=x2+4x+4， ∴a=﹣4，b=4，

∴（b﹣2）a=（4﹣2）﹣4=故答案为

．

．

．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

第13页（共30页）

13．计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测32009+1的个位数字是 4 ． 【考点】尾数特征．

【分析】通过观察可发现个位数字的规律为4、0、8、2依次循环，再计算即可得出答案． 【解答】解：∵2009÷4=502…1，

∴32009+1的个位数字与31+1=4的个位数字相同，为4． 故答案为：4．

【点评】考查了尾数特征，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．

14．在锐角三角形ABC中，BC=5

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的

动点，则CM+MN的最小值是 5 ．

【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=4，∠ABC=45°，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长． 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC， ∵BD平分∠ABC， ∴M′E=M′N′，

∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，则CE即为CM+MN的最小值， ∵BC=5

，∠ABC=45°，

×

=5．

∴CE=BC?sin45°=5

∴CM+MN的最小值是5． 故答案是：5．

第14页（共30页）

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．

15．直线y=﹣x﹣1与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为 ﹣4 ．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】过A作AD⊥BC于D，先求出直线=﹣x﹣1与x轴交点B的坐标（﹣2，0），则得到C点的横坐标为﹣2，由于C点在反比例函数y=的图象上，可表示出C点坐标为（﹣2，﹣），利用等腰三角形的性质，由AC=AB，AD⊥BC，得到DC=DB，于是D点坐标为（﹣2，﹣），则可得到A点的纵坐标为﹣，利用点A在函数y=的图象上，可表示出点A的坐标为（﹣4，﹣），然后把A（﹣4，﹣）代入y=﹣x﹣1得到关于k的方程，解方程即可求出k的值． 【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图， ∵y=﹣x﹣1，

令y=0，则﹣x﹣1=0，解得x=﹣2， ∴B点坐标为（﹣2，0）， ∵CB⊥x轴，

∴C点的横坐标为﹣2， ∵y=，令x=﹣2，则y=﹣，

第15页（共30页）

∴C点坐标为（﹣2，﹣）， ∵AC=AB，AD⊥BC， ∴DC=DB，

∴D点坐标为（﹣2，﹣）， ∴A点的纵坐标为﹣， 而点A在函数y=的图象上， 把y=﹣代入y=，得x=﹣4， ∴点A的坐标为（﹣4，﹣），

把A（﹣4，﹣）代入y=﹣x﹣1，得﹣=﹣×（﹣4）﹣1， ∴k=﹣4． 故答案为﹣4．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了与x轴垂直的直线上所有点的横坐标相同以及等腰三角形的性质． 三、解答题

16．先化简，再求值：

，其中x是不等式组

的整数解．

【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解． 【专题】计算题．

【分析】将原式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，然后找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子进行合并整理，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果，分别求出x满足的不等式组两个一元一次不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式

第16页（共30页）

组的解集，在解集中找出整数解，即为x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【解答】解：（

﹣

）÷

=[﹣]?

=?

=?

=，

又，

由①解得：x＞﹣4， 由②解得：x＜﹣2，

∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣2， 其整数解为﹣3， 当x=﹣3时，原式=

=2．

【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分．

17．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）

第17页（共30页）

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定． 【专题】几何图形问题．

【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；

（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．

【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE∥BC，且DE=BC， 同理，GF∥BC，且GF=BC， ∴DE∥GF且DE=GF， ∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．

18．t单位：某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量（小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

第18页（共30页）

（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；

（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；

（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4 小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法． 【专题】图表型．

【分析】（1）根据所有等级的百分比的和为1，则可计算出x=30，再利用A等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数为200人，然后分别乘以30%和20%得到B等级和C等级人数，再将条形统计图补充完整；

C两等级所占的百分比的和即可； （2）满足2≤t＜4的人数就是B和C等级的人数，用2500乘以B、（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图展示所有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，然后利用概率公式求解． 【解答】解：（1）∵x%+15%+10%+45%=1， ∴x=30；

∵调查的总人数=90÷45%=200（人），

∴B等级人数=200×30%=60（人）；C等级人数=200×10%=20（人）， 如图：

第19页（共30页）

（2）2500×（10%+30%）=1000（人），

所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数为1000人；

（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图为：

，

共有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种， 所以选出的2人来自不同小组的概率=

=．

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、列表法与树状图法．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

第20页（共30页）

【考点】切线的判定． 【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 【解答】（1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切，

故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．

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【点评】此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

20．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售 总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）

（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ A，B两种型号车的进货和销售价格如下表： 进货价格（元） 销售价格（元） A型车 1100 今年的销售价格 B型车 1400 2000 【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】销售问题．

【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．

【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得

，

解得：x=1600．

经检验，x=1600是原方程的根． 答：今年A型车每辆售价1600元；

第22页（共30页）

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得 y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a）， y=﹣100a+36000．

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍， ∴60﹣a≤2a， ∴a≥20．

∵y=﹣100a+36000． ∴k=﹣100＜0， ∴y随a的增大而减小． ∴a=20时，y最大=34000元． ∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．

∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．

21．问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：△EFC的面积S1= 9 ，△ADE的面积S2= 1 ． 探究发现（2）在（1）中，若BF=m，FC=n，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2． 拓展迁移（3）如图2，?DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为3、7、5，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．

【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）△EFC的面积利用底×高的一半计算；△ADE的面积，可以先过点A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行线分线段成比例定理的 推论，可知△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求AG，再利用三角形的面积公式计算即可；

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（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四边形DBFE是平行四边形，同时，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，从而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S1：S2=n2：m2，由于S1=nh，那么可求S2，从而易求4S1S2，又S=mh，容易证出结论；

（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，容易证出△DBE≌△GHF， 那么△GHC的面积等于8，再利用（2）中的结论，可求?DBHG的面积，从而可求△ABC的面积．【解答】（1）解：S1=×6×3=9， 过A作AH⊥BC，交DE于G， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=BF=2， ∵DE∥BC，

∴AG⊥DE，△ADE∽△ABC， ∴∴=

=

， ，

解得：AG=1， ∴S2=×DE×AG=故答案为：9；1；

（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，

∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF， ∴△ADE∽△EFC， ∴

=（

）2=

，

=1，

∵S1=nh， ∴S2=

×S1=

，

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∴4S1S2=4×nh×而S=mh， ∴S2=4S1S2；

=（mh）2，

（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形， ∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH， ∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF， ∴BH=EF， ∴BE=HF，

在△DBE和△GHF中∴△DBE≌△GHF（SAS）， ∴△GHC的面积为7+5=12，

由（2）得，平行四边形DBHG的面积S为∴△ABC的面积为3+12+12=27．

=12，

，

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、全等三角形的判定和性质，关键是正确掌握平行四边形对边相等，相似三角形面积之比等于相似比的平方．

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22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．

【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；压轴题． 【分析】方法一：

（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣

2

（t﹣1）

+．利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m， m2﹣m﹣3）．

如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣ m2+3m=．易求得K1（1，﹣方法二： （1）略．

第26页（共30页）

），K2（3，﹣

）．

（2）作QH⊥AB，并分别列出AP，BQ，PB的参数长度，利用三角函数得出HQ的参数长度，进而求出△PBQ的面积函数．

（3）利用水平底与铅垂高乘积的一半求解． 【解答】方法一：

解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得，

所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；

（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t． ∴PB=6﹣3t．

由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）． 在Rt△BOC中，BC=

=5．

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H． ∴QH∥CO， ∴△BHQ∽△BOC， ∴

=

，即

=，

∴HQ=t．

∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣当△PBQ存在时，0＜t＜2 ∴当t=1时， S△PBQ最大=

．

；

t2+t=﹣

（t﹣1）2+

．

答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是

（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．

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把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得

，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3． ∵点K在抛物线上．

∴设点K的坐标为（m， m2﹣m﹣3）．

如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m， m﹣3）． ∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．

当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=∴S△CBK=．

S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m） =×4?EK =2（﹣m2+m） =﹣m2+3m． 即：﹣ m2+3m=． 解得 m1=1，m2=3． ∴K1（1，﹣方法二： （1）略．

（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∵B（4，0），∴lBC：y=x﹣3， 过点Q作QH⊥AB于点H，

），K2（3，﹣

）．

．

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∴tan∠HBQ=，∴sin∠HBQ=， ∵BQ=t，∴HQ=t， ∴S△PBQ=PB?HQ=∴当t=1时，S△PBQ最大=

（3）过点K作KE⊥x轴交BC于点E， ∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=∴S△CBK=，

设E（m， m﹣3），K（m，S△CBK=∴﹣

=，

=

），

=﹣

，

，

．

=﹣

，

∴m1=1，m2=3， ∴K1（1，﹣

），K2（3，﹣

）．

第29页（共30页）

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．

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