2013考前突破精练-三角函数

决战2010：高考数学专题精练（四）三角函数

一、选择题

1．下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是2?；

?k??,k?z?； ②终边在y轴上的角的集合是????2??③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点； ④把函数y?3sin(2x??3)的图象向右平移?6得到y?3sin2x的图象.；

⑤在?ABC中，若acosB?bcosA，则?ABC是等腰三角形； 其中真命题的序号是-------------------------------------（ ）

A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（1）（4）（5） 2．把函数y?sinx(x?R)的图像上所有的点向左平行移动

12?3个单位长度，再把图像上所

有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是 （ ）

x2A． y?sin(2x??3),x?R B． y?sin(??6),x?R

C． y?sin(2x??3),x?R D． y?sin(2x?2k?132?3),x?R

3．对于任意实数a，要使函数y?5cos(54?x??6)(k?N)在区间[a,a?3]上的值

*出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取 （ ）

A． 1和2 B． 2和3 C． 3和4 D． 2 4．函数y?sin2x是一个（ ） A．周期为?的奇函数 B．周期为?的偶函数 C．周期为

2?2的奇函数 D．周期为

?2的偶函数

5．若?为第二象限角，则cot?sec??1?cos?21?sin??sin?21?cos?=

2（ ）

A．2sin2? B．?2cos2? C．0 D．2 6．若角?和角?的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是 （ ） A． sin??sin?； B． cos??cos?； C． tan??tan?； D． cot??cot?． 7．对任意的实数?、?，下列等式恒成立的是 （ ） A． 2sin??cos??sin??????sin?????； B． 2cos??sin??sin??????cos?????； C． cos??cos??2sinD． cos??cos??2cos???2???2?sin???2???2； ．

?cos8．下列以行列式表达的结果中，与sin(???)相等的是 （ ）

sin? ?sin?cos? cos?cos? sin? sin? cos?A． B． C．

sin? sin?cos? cos?

D．

cos? ?sin?sin? cos?

?sinx, sinx?cosx9．定义函数f(x)??，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[?1,1]；

cosx, sinx?cosx?（2）当且仅当x?2k???2（3）该函数是以?为最小正周期(k?Z)时，该函数取得最大值；

的周期函数；（4）当且仅当2k????x?2k??确的个数是 （ ）

3?2(k?Z)时，f(x)?0．上述命题中正

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 1．若sin???35x2，则行列式

cos?sin?sin?cos?的值是______________ ．

2．函数y?cos的最小正周期T? ．

3．若sin(???)?12，??(??2,0)，则tan??__________

4．△ABC中，a?5,b?6,c?7,则abcosC?bccosA?CAcosB?____________．

5．化简：

?secx?cosx??cscx?sinx?sin2x? ．

6．一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午7时和9时该动点的坐标依次为?1,2?和

?3,?2?，则下午5时该点的坐标是 ．

??2??7．设x?cos? ????, 则arcsinx的取值范围 ． ??63?8．已知sin(???)?1??? ????,0? 则tan?? ． 3?2?)cxo?s(39．方程cosx(?____________．

?6??)xs?in(6?在x?)sin?((0,?))上的1解集是3?10．已知a,b,c是锐角?ABC中?A,?B,?C的对边，若a?3,b?4,?ABC的面积为

33，则c? ．

11．函数y?sin2x?cos2x的递增区间 ． 12．函数f(x)?sinx?3cosx的单调递增区间为______________．

13．三角方程2sinx?1?0的解集是_____________．

14．A?{sin?,cos?,1},B?{sin?,sin??cos?,0}，且A?B，则sin15．在△ABC中，若AB?3,16．已知cos??35?ABC?75,??2209?c?os209 ??（ ）

?ACB?60，则BC等于 ．

，且?是第四象限的角，则sin(??2?3)＝_________________．

三、解答题

1．本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东?角，前进4km后在B处测得该岛的方位角为北偏东?角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．

（1）若??2??60，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该

北 α A β B

C

0M 船自B处向

东航行多少距离会有触礁危险？

（2）当?与?满足什么条件时，该船没有触礁危险？

2．（本题满分16分，第1小题10分，第2小题6分）

在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化． 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数??n?2??k?来刻画． 其中：正整数n表示月份且n??1,12?，例f(n)?100??Acos如n?1时表示1月份；A和k是正整数；??0．

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；

② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；

③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；

（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．

3．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c． （Ⅰ）若c?2，C??3，且△ABC的面积S?3，求a,b的值；

（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?sin2A，试判断△ABC的形状．

4．（本题满分12分）第1小题满分5分，第2小题满分7分．

???（理）设a?(cos?,(??1)sin?),b?(cos?,sin?),(??0,0?????)是平面上

2????的两个向量，若向量a?b与a?b相互垂直，

（1）求实数?的值；

??44（2）若a?b?，且tan??，求?的值（结果用反三角函数值表示）

53

???5．（文）已知a?(cos?,3sin?),b?(3cos?,sin?),(0?????)是平面上的两个向

2量．

??（1）试用?、?表示a?b；

??364（2）若a?b?，且cos??，求?的值（结果用反三角函数值表示）

135

6．已知角?的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(?3,3)．

cosxsin?sinxcos?（1）解关于x的方程：?1?0；

（2）若函数f(x)?sin(x??)?cos(x??)（x?R）的图像关于直线x?x0对称,求

tanx0的值．

第4部分：三角函数 参考答案 一、选择题

1－5CCBDB 5－9AACA 二、填空题 1．

725

2．4? 3．?33

4．55 5．1

26．?11,?18? 7．??????,? ?62?24

8．?9．{3?4}

10．13 11．?k????3?8,k????(k??) ?8?12．[2k???6,2k??5?6k],k?Z

13．{x|x?k??(?1)14．－1 15．6． 16．4?3310?6,k?Z} （只要正确，允许没有化简）

三、解答题

1．解：（1）作MC?AB，垂足为C，

由已知??600，??300，所以?ABM?1200，?AMB?300 所以BM?AB?4，?MBC?600，……（2分） 所以MC?BM?sin600?23?3.5，

北 α A β M 所以该船有触礁的危险．……（4分） 设该船自B向东航行至点D有触礁危险， 则MD?3.5，……（5分）

在△MBC中，BM?4，BC?2，

MC?23，CD?B D C 3.5?(23)22?0.5，

所以，BD?1.5（km）．……（7分）

所以，该船自B向东航行1.5km会有触礁危险．……（8分） （2）设CM?x，在△MAB中，由正弦定理得，即

4sin(???)?BMcos?ABsin?AMB?BMsin?MAB，

，BM?4cos?sin(???)，……（10分）

，……（12分）

而x?BM?sin?MBC?BM?cos??所以，当x?3.5，即即

cos?cos?sin(???)?784cos?cos?sin(???)?724cos?cos?sin(???)，

时，该船没有触礁危险．……（14分）

2．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．

由此可得，T?2???12????6；

由规律②可知，f(n)max?f(8)?100A?100k，f(n)min?f(2)??100A?100k

f(8)?f(2)?200A?400?A?2；

又当n?2时，f(2)?200?cos(?6?2?2)?100k?100，

所以，k?2.99，由条件k是正整数，故取k?3． ?? 综上可得，f(n)?200cos?n??6?2??300符合条件． ????（2） 解法一：由条件，200cos?n?2??300?400，可得

?6???????1?2k???n?2?2k??，k?Z cos?n?2??363?6?2?6??6????2k???2?n?2k???2????，k?Z ??3??3??12?n?12k?2?12?12k?2???，k?Z．

因为n??1,12?，n?N*，所以当k?1时，6.18?n?10.18，

故n?7,8,9,10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”． 解法二：列表，用计算器可算得 月份n 人数

f(n)

… …

6 383

7 463

8 499

9 482

10 416

11 319

… …

故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．

3．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，a2?b2?ab?4，…………………………………．3分

又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC?3，得ab?4．···························· 2分

?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?2，b?2．······················································ 2分

?ab?4，（Ⅱ）由题意得sinBcosA?sinAcosA， ································································· 3分 当cosA?0时，A??2当cosA?0时，得sinB?sinA，由正弦定理得a?b，

，△ABC为直角三角形 ·························································· 2分

所以，△ABC为等腰三角形． ···················································································· 2分 ??????24．解：（1）由题设，得(a?b)(a?b)?0，即|a|?|b|2?0, 所以，(??1)sin??sin??0，即?(??2)sin??0 因为0????2,?sin??0,又??0，

22222 所以??2?0,即??2.

?? （2）由（1）知，a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，

??? ?a?b?cos(?? ?cos?co?s?4)?， 5?sin?s?in??4a?b?， ??co?s，又(5 （解法1）?0??????2，

则??2?????0，?sin(???)??tan?[?(???)?735,tan(???)??34

tan??7?, ]，又0???224 ???arctan

24 （解法2）sin??sin[(???)??]?(? ???arcsin

2573447?，又0???, )????25555253??5．解：（1） a?b?3cos?cos??3sin?sin??3cos(???)； ??3612 （2）?a?b?， ,?cos(???)?13134? 又cos??,0?????，

52 ?sin??35,sin(???)?513, 3365（解法1） cos??cos[(???)??]?（解法2） sin??sin[(???)??]?5665，???arccos56653365

，???arcsin5?6

6．（1）?角?终边经过点P(?3,3)，∴??2k1??cosxsin?sinxcos?(k1?Z)． （2分）

∴由

?1?0可得：cos(x??)??1 （4分）

x???2k2???(k2?Z)， ∴x?2k???6(k?Z)． （6分）

（2）? f(x)?sin(x??)?cos(x??)?2sin(x????4)（x?R） （2分）

且函数f(x)的图像关于直线x?x0对称， ∴ f(x0)??2，即sin(x0???∴ x0???∴

?4?k???4)??1，

?2，即x0?k???4??(k?Z) （4分）

tanx0?tan(k???4??)?tan(?4??)?1?tan?1?tan? （6分）

1?(??1?(?3333)?2?)3． （8分）

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