湖北省武汉市武汉三中等六校2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

湖北省部分重点中学2020学年度下学期期中联考

高一数学试卷

一．选择题（每小题5分，共60分）

1.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）

A. ＞

B. ＜

C. ＞

D. ＜

【答案】B

【解析】

因为,所以又，所以,变形得,选D.

2.设向量，，则下列结论中正确的是

A. B.

C. 与垂直

D. ∥

【答案】C

【解析】

试题分析：因为向量，，所以，选项A错误；，选项B错误；，所以与垂直，选项C正确；因为1×1-0×1≠0，所以向量与不平行，选项D错误。

考点：向量的数量积；向量数量积的性质；向量垂直的条件；向量平行的条件。

点评：熟记向量平行和垂直的条件，设：

非零向量垂直的充要条件：；

向量共线的充要条件：。

3.若向量＝(1,1)，＝(1，－1)，＝(－1,2)，则等于( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

试题分析：设

考点：平面向量基本定理

4.若一元二次不等式对一切实数都成立,则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由一元二次不等式，可知，所以，得到的范围.

【详解】因为一元二次不等式，对一切实数都成立，

所以，即，解得

所以的取值范围为

故选A项.

【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.

5.已知中，分别为的对边，，则等于（）

A. B. 或 C. D. 或

【答案】D

【解析】

,因为.

6.已知，则向量与向量夹角是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析：根据已知可得：，所以，所以夹角为，故选择C

考点：向量

的运算7.在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

依题意，解得，由余弦定理得

.

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出边的长，再用余弦定理即可求得

边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.

8.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）海里/小时．

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出的值，再根据正弦定理求出的值，从而求得船的航行速度.

【详解】由题意，

在中，由正弦定理得

，得

所以船的航行速度为（海里/小时）

故选C项.

【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于简单题.

9.已知，且，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

对使用基本不等式，再代入条件，得到最小值，然后研究等号成立条件，确定最终答案. 【详解】由题意

根据基本不等式，得

当且仅当时，即时，等号成立.

故选A项.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于简单题.

10.在菱形ABCD中，若，则等于( )

A. 2

B. －2

C. ||cos A

D. 与菱形的边长有关

【答案】B

【解析】

【分析】

根据，得到，连接交于，将用表示，得到答案.

【详解】连接交于，根据菱形，可知

因为，所以，所以

而，

所以

故选B项.

【点睛】本题考查向量间的互相表示，向量的数量积，属于简单题.

11.已知，，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据，转化为求的最小值，然后根据基本不等式，得到答案.

【详解】因为，所以

当且仅当，即时，等号成立

所以的最小值为

故选A项.

【点睛】本题考查对数的基本运算，基本不等式的运用，属于简单题.

12.已知△ABC的面积为, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

分析】

由，，，而

，从而得到与

【详解】中，∠BAC=, AD是角平分线得

，，

而

因此

得

而，

所以

故选D项.

【点睛】本题考查正弦定理解三角形，基本不等式，属于中档题.

二．填空题（每小题5分，共20分）

13.若关于的不等式的解集为，则__________

【答案】1

【解析】

【分析】

根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.

【详解】因为关于的不等式的解集为

所以是方程的两根，

，

由根与系数的关系得，解得

【点睛】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.

14.已知中，，则=_________

【答案】

【解析】

【分析】

对条件中的式子，利用正弦定理化成边，然后利用余弦定理，得到的值，然后得到的值. 【详解】在中，由正弦定理得

所以，

所以，得，

由余弦定理得

又因

所以

【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于简单题.

15.在中，点，满足，．若，则__________．【答案】

【解析】

如图：

，

∴，，

∴．

点睛：把一个向量用另外的向量表示时，主要掌握向量的加减法运算中三角形法则，即由待

表示向量的起始字母首尾相连到结束的字母，然后再结合向量的数乘运算，把所有的向量用基底表示即可得结论．

16.如图，已知点是平行四边形的中心，过点作直线与边及的延长线分别交于,若，，则的最小值为___________

【答案】

【解析】

【分析】

利用，转化到上，得到之间的关系，再利用基本不等式求得的最小值.

【详解】，

，共线，所以

而，

所以，即

当且仅当，即，等号成立.

【点睛】本题考查向量的基底代换，向量共线表示，基本不等式中“1的代换”，属于中档题.

三．解答题

17.已知，

（1）若，且，求；

（2）若向量与互相垂直，求的值．

【答案】（1）或（2）

【解析】

【分析】

（1）设向量，根据，得到方程，然后根据，得到的另一个方程，解

出，得到.（2）根据向量互相垂直，得到，然后代入和，得到关于

的方程，得到答案. 【详解】（1）设因为，所以，因为，所以解得或，所以或（2）向量与互相垂直所以，即而所以因此，解得【点睛】本题考查向量的平行和垂直关系的转化，属于简单题. 18.已知三个内角,,的对边分别为,,, 且.

(1)求角，

(2)若=,的面积为，求.

【答案】（1）（2）3

【解析】

【分析】

（1）把条件中的式子利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，然后得到角的值. （2）由的面积为，结合（1）中的结论，得到的值，再利用余弦定理得到的值，从而求出的值.

【详解】（1）在中，由正弦定理得

所以，可转化为

因为为

的内角，所以，所以得，因为，所以. （2）因为的面积为，所以，可得在中，由余弦定理得，即所以，又所以. 【点睛】本题考查正弦定理边化角，余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.

19.解关于的不等式.

【答案】当时，，当时，，当

时，，当时，，当时，.

【解析】

试题分析：（1）第一层先讨论，确定二次不等式对应二次函数的开口方向；（2）时要讨论根和的大小关系，结合三个二次的关系得不等式的解集.

试题解析：当时，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，.

考点：二次不等式的解法，分类讨论思想.

20.四边形中，∠∠的面积为.

（1）求;（2）若，求.

【答案】（1）4（2）3

【解析】

【分析】

（1）根据的面积为，求出，从而得到，再利用余弦定理得到的长；（2）根据（1）中求出的长，得到的值，再求得的值，利用正弦定理，求得

的长.

【详解】（1）在中，，的面积为，

可得，所以

因为，所以

在中，由余弦定理得

所以.

（2）在中，

而，所以

在中，由正弦定理得，即，

得.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，属于简单题.

21.甲、乙两地相距100，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度为（）.已知汽车每小时的运输成本（单位为元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度的平方成正比，比例系数为；固定部分为元(为正的常数）.

（1）若，，要使全程的运输成本不超过500元，求速度的取值范围；

（2）若已知.

①试分析为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶；

②若要使得全程运输成本的最小值不高于600元，试求的最大值.

【答案】（1）（2）①②360

【解析】

【分析】

根据题意分别表示运输成本的可变部分和固定部分，将运输成本表示成关于速度的函数，（1）代入的值，根据题意列出不等式，解出的范围；

（2）①利用基本不等式，求出运输成本的最小值，其中等号成立条件即为所求；②根据题意列出不等式，分离出，然后求出的最大值.

【详解】由题意运输成本（）

（1），，不超过500元，则有，

即，解得.

又因，所以的范围为.

（2）①由基本不等式得

当且仅当，即时等号成立.

而，所以，所以等号可以成立，

即汽车以的速度行驶时，全程运输成本最小，最小值为.

②由①可知全程运输成本最小值为，（为正的常数）

根据题意要使全程运输成本的最小值不高于600元，

则，即，即

由，可得，

所以，所以的最大值为.

【点睛】本题考查将实际应用题转化为数学表达式的能力，解一元二次不等式，利用基本不等式求最值，参变分离求参数的最值，属于中档题.

22.已知中，角的对边分别为，且.

（1）求证：；（2）若，试求.

【答案】（1）见解析（2）4：5：6

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理写出，代入已知条件进行化简，利用基本不等式，得到的范围，然后得到的范围.（2）利用正弦定理进行边化角，然后代入，整理化简得到关于的方程，解出，再利用余弦定理，表示出之间的关系，然后得到.

【详解】（1）在中，

由余弦定理得

而是内角，所以

（2）在中，由正弦定理得

由得

因为，所以

所以

因为，所以

整理得

解得或

因为，所以，所以

由余弦定理得，代入

得，整理得

所以

所以

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，二倍角公式等综合运用，属于难题.

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