彩票中的数学(1)

彩票中的数学

摘要

近年购买彩票之风盛行，为如何使得彩票公司获得最大收益对各种彩票发行方案的合理性进行分析并对方案进行优化改进。

方案的合理性根据对彩民的吸引力即彩民对方案的综合评价判断，为解决问题首先建立主成分析模型。彩票中奖号码随机产生，其概率分布符合古典概型，据此计算各等级奖项获得的概率分布。以各等级奖项的中奖率，一等奖的奖金率及总获奖率作为评价指标，运用SPSS软件进行主成分析。根据得到的特征值提取三个主成分，得出主成分与原始变量的关系式。利用综合评价公式：

Y??i?1mfizi

计算二十九种方案的综合评价值，按评价值高低对方案进行排序。根据得到的方案优劣排序列表发现吸引彩民的主要因素为：高额的高等奖，较多的低等奖以及高的总中奖率。其综合评价排名一般规律为：排名靠前的奖项方案一般为总中奖率较高，低等奖奖金占总奖金比例较高，奖项种类较多的方案，设置了高额的一等奖的方案对彩民的诱惑力也同样很强。低等奖项不多，高等奖项额度又不是太高的方案排名都在后方。总中奖率不太高，高等奖项额度平平，而低等奖项也不突出的方案排名均在中游。

对已得到的较优的方案，为使其优势得到更大的发展，在考虑不同收入水平彩民心理特征的条件下对方案进行优化，对此建立非线性规划问题。以销售总额，一等奖金额及低等奖总额的加权和为目标函数，根据各自权重列出非线性规划方程，对不同收入人群心理变化进行分析，得出相应的优化方案为：

对于年均收入在1万元左右彩民的第5号方案为最佳方案，对其奖项调整为投注方式仍为7/29，一等奖二等奖三等奖分别比率设为70%,10%,20%低等奖项设置四五六等奖分别为200元50元及5元。

对于年均收入在4?7万元间彩民的第28号方案为最佳方案，对其奖项调整为投注方式仍为6/40，一等奖二等奖三等奖分别比率设为85%,5%,10%低等奖项设置四五等奖分别为200元及50元。

对于年均收入在12?20万元间彩民的第23号方案为最佳方案，对其奖项调整为投注方式仍为7/35，一等奖二等奖分别比率设为95%,5%低等奖项设置三四等奖分别为20元及5元。

本文对问题解决过程进行分析，对所建模型不足之处进行相应改进，并将得到的结果向彩票管理部门提出了相关建议，最后给报纸写了一篇短文，供彩民参考。

关键词： 主成分析 非线性规划 综合评价

一 问题重述

一“传统型”采用“10选6?1”方案,每注中奖号码由6个基本号码及1个特别号码组成。

其中，0?9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0?4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。以中奖号码“abcdef?g”为例说明中奖等级，具体情况如附表一。

二“乐透型”采用“m选7”或“m选6?1”方案。

1.“x选7”制是先从1?m中获得7个基本号，再从剩余号码中选择1个特别号码。投注者从1?m号中选择7个不同号构成一注。

2.“m选6?1”制是先从1?m中获得6个基本号，再从剩下号码中获得一个特别号码。投注者从1?m号中选择7个不同号构成一注。 具体中奖等级情况如附表二。 三 条件：

1.两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%。

2.投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。 3.60万元?一等奖单注?500万元。

4．一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。 奖项计算方法为：

（1）低项奖数额固定。

（2）高项奖按比例分配，各高项奖额的计算方法为：

???当期销售总额?总奖金比例?-低项奖总额???单项奖比例 目前常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，

四 问题要求：

1.根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性，奖项与金额的设置以及对彩民的吸引力等因素，评价各方案合理性。

2.设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 3.给报纸写一篇短文，供彩民参考。

二 问题分析

彩票中奖号码一般由机器或由电脑随机产生，各种组合出现的概率是等可能的。故各期中奖号码出现的可能性符合古典概型。

传统型彩票的中奖规则是排列组合问题，是否获奖以及获得何种等级的奖项取决于单注号码与中奖号码相应位置上号码连续相符的个数。根据各种等级下要求相同连续号码的数量计算获奖的概率。

乐透型彩票无需考虑顺序，是组合问题。根据题中所给数据分以下五种情况讨论，各情形分别为：7m，6?1m，735，640，540，根据各等级奖项要求与中奖号码相符号码个数计算中奖概率。

根据问题已知彩票的获奖金额占彩票销售总额的50%，即彩票公司与彩民各获得销售总额的一半。方案的优劣是以该方案能否吸引足够多的彩民投注使得彩票公司获得较大收益来评价的，因此方案所能带来的最大销售额是评价方案合理性的量度。

彩民购买彩票的积极性与彩民本身的经济实力以及购买彩票的获奖率相关。彩民本

1

身的经济实力是由平均收入与消费水平直观反应的，而购买彩票的获奖率可以通过调整奖项的额度及分布来改变。彩民的心理因素对彩民购买彩票的行为具有指导作用。彩民购买彩票的心理通常分为：奉献型，幻想型，疯狂型，随意型，固执型，理智型这几种基本的心理类型。其中，奉献型与幻想型心理的彩民购买彩票的积极性不受彩票奖项设计方案的影响，在研究问题时不予考虑。对于其他类型彩民，通过分析其本身经济实力与彩票获奖率所影响的心理变化曲线，运用主成分析法找出彩民关注彩票的主要因素，选取符合彩民需要的彩票方案。

在已找出的彩票方案中，根据彩民的心理变化对最优方案进行合理的改进。以提高销售总额为目标，着力于提高一等奖与低等奖奖金额。以销售总额、一等奖奖金额、所有低等奖奖金总额的加权和为目标函数，并对三个因素进行权重分析，找出三种因素的合理搭配，使得方案设置能够极大可能地吸引不同心理的彩民，以保证彩票销售公司获得最大利益。

彩票的奖项方案是综合了彩民心理与实际奖金发行概率来设置的，是以充分保证彩票发行公司利益为基础的。在合理的设计方案帮助彩票发行公司获得最大收益的同时，彩民可能获得的奖金回报增大。

三 模型假设

1.彩票发行费用不计；

2.彩票中奖号码随机产生，不受外界影响；

3.单注彩票获得高级别奖就不再兼得低级别奖； 4.彩票公司选择方案的合理性与一等奖中奖概率，总奖金率以及方案对彩民的吸引力成正相关；

5.每期的一等奖数额由高项奖计算公式计算，其数额符合高于60万，低于100万的界定。当某期一等奖低于60万，不足金额由彩票公司补足，某期计算得出一等奖金额高于100万时，一等奖金额仍设为100万；

四 符号说明

符号 p 说明 各种奖项的中奖率； 各奖项的中奖金额； 各奖项的奖金比例； 奖金率； s c v 五 模型的建立与求解

5.1模型一的建立与求解

综合分析各个方案的合理性必须要考虑多方面因素，我们不仅要考虑销售商的利益还要考虑彩民的利益。彩民最关心的问题是如何使自己的利益最大即不同彩票的总中奖

2

率。要使得彩票的总中奖率较高，其必然需要较多的低项奖，因为任何的高项奖中奖率都不会高的，否则彩票公司必然要面临亏损的危险。当然，如果一等奖金额比较大的话同样对彩民充满吸引力，所以，我们选择了十个指标作为评价各种方案好坏的标准，即一等奖中奖率p1，二等奖中奖率p2，三等奖中奖率p3，四等奖中奖率p4，五等奖中奖率p5，六等奖中奖率p6，七等奖中奖率p7，一等奖奖金率p，总中奖率v。 第一步：求出每一种方案不同奖项中奖率；

其计算公式及过程为：

传统型的（6+1/10）

14?7?7?2?10p??8?1025?1065?106111112?C92C9C10?C9C9?5p3??1.8?10p??2.61?10?44661010 1111112CCC?2CCCp5?9101069910?3.42?10?310111111111112?C9C10C10C10?3?C9C9C10C10?(3?C9?C9?2?C9)?2p6??4.1995?10106p1?乐透型（7/m） (m=37)不包括35

61?C717P1?7 p2??77CmCmCn51C7?Cm?8P4?7Cm43C7?Cn?8p7?7Cm52C7?Cm?8p5?7Cm17?Cm?8p3?;7Cm2C74?Cm?8p6? 7Cm乐透型（6+1/m）(m=29 36)

1511?CmC6?Cm1?7?7p1?7 p2? p3?77CmCmCm5242C6?CmC?C?7p4? p5?67m?77CmCm333C64?CmC6?Cm?7?7p6? p7?C7C7mm

乐透型（7/35）

5152C7?C28?1C7?C281P1?7 p2? p3?77C35C35C35P4?乐透型（6/40）

C?CC?C p5?77C35C354732837428

3

551C6C6?C331P1?6 p2?6 p3?C40C40C640P4?C?C?1C6401P1?5C60P4?3515446133p5?C?CC?C?1 p6?6C6C4040C54?C154p3?5C60352544623336233

乐透型（5/40）

0C54?C54p2?C560C?C?1C?Cp5?5C5C6060第二步；计算每一种方案不同奖项中奖率之和；

第三步：求出每一种方案的j?j?1,2,3?等奖的奖金金额sj，其公式为： sj=

(1??sipi)cji?47pj

（其中si?i?4,5,6,7?为四至七等奖的奖金金额，pi为四至七等奖的中奖概率，

pj为一至三等奖的中奖概率，cj为一至三等奖的奖金比例）

第四步：计算每种方案的总奖金额，然后计算一等奖奖金率v，其中一等奖奖金率v计

算方法为:

v?（一等奖金额/总奖金金额）?一等奖比率

最后得出不同方案中这十个指标的数值如附表五所示。

将所求得的数据标准化，利用SPSS进行主成分分析，求得相关系数矩阵，并进一步计算得到其特征值?i(i?1...9)如下表所示：

表一 解释的总方差 成份 合计 1 2 3 4 5 6 7 8 4.966 1.790 1.370 .517 .292 .065 .001 1.730E-5 初始特征值 方差的 % 累积 % 提取平方和载入 合计 方差的 % 累积 % 55.175 55.175 19.885 75.060 15.221 90.281 55.175 55.175 4.966 19.885 75.060 1.790 15.221 90.281 1.370 5.741 3.245 .724 .010 .000 96.022 99.266 99.990 100.000 100.000 9 1.907E-10 2.119E-9 100.000 提取方法：主成份分析。 根据主成分分析中选择主成分的规则即主成分的特征值要大于1，且所选择的主成分的累积方差贡献率要大于90%，所以应选取前三个特征值，其对应的特征向量如下所示：

4

表二 成份矩阵a p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p总 一等奖奖金比率 提取方法 :主成分分析法。 a. 已提取了的3个成份。 所以前三个主成分为： 第一主成分：

z1??0.044p1?0.929p2?0.989p3?0.99p4?0.989p5?0.056p6?0.207p7?0.831p0?0.655v

成份 1 -.044 .929 .989 .990 .989 -.056 -.207 .831 .655 2 .865 .193 .027 -.050 -.059 -.369 .906 .187 -.074 3 .375 .063 -.049 -.032 -.024 .892 -.141 .453 -.447 第二主成分：

z2?0.865p1?0.193p2?0.027p3?0.05p4?0.059p5?0.369p6?0.906p7?0.187p0?0.074v第三主成分：

z3?0.375p1?0.063p2?0.049p3?0.032p4?0.024p5?0.892p6?0.141p7?0.453p0?0.447v根据公式fi??i??i?1n和样本综合评价值公式Y??fizi，计算出这二十九种方案的综合评

i?1mi价值，从而根据综合评价值的大小进行排序，如下表所示：

表三 综合评价排序 评价排序 1 2 3 ? 13 14 15 ? 27

方案标号 23 2 5 ? 13 9 17 ? 22 5

综合评价值 -1.1678 -2.5209 -3.0191 ? -4.7308 -4.7655 -4.7882 ? -6.0763 28 29 25 28 -6.8138 -6.9828 (注：此处只选择其中的九个方案，具体排序列表见附表) 根据主成分析的综合评价与排序列表，可发现如下规律：

（1）排名靠前的奖项方案一般为总中奖率较高，低等奖奖金占总奖金比例较高，奖项种类较多的方案，例如方案2及方案5，其总的中奖率较高，而一等奖占高等奖金比例较大，其他低项奖金率占总奖金比例较高。

（2）彩民对高额的一等奖较为青睐，例如综合评价排名第一方案23，其高额奖项虽不足，但唯一的一等奖占据了高额奖金额的全部，其低项奖所占的额度也较大，这些因素使得方案23占据了综合评价榜的首位，这个结果与问题分析的指向一致。

（3）低等奖项不多，高等奖项额度又不是太高的方案排名显然都在后方。低等奖项不多则会导致总中奖率较低，使人们对获奖的信心降低，而高等奖项额度不太高又使得对彩民的诱惑力不足，因而这些方案均属最差方案。例如排名最后的方案28，其较低的总中奖率与低项奖中奖率导致其综合评价最差。

（4）总中奖率不太高，高等奖项额度平平，而低等奖项也不突出的方案由于并无突出优点，也不受彩民反感继而综合评价徘徊在高峰与低谷间。例如排名在1415的方案9与方案7即是高等奖项额度并不突出，低等奖项也较为平稳。

（5）因为高等奖项获奖率较低，所以总获奖率主要是由低等奖项的总获奖率决定。奖项设制方案中在总获奖率相同的情况下，其综合评价与一等奖额度成正相关。在一等奖所占额度一定的情况下，奖项制定方案的综合评价与低项奖获奖率成正相关。

（6）高额高等奖项是以迎合疯狂型与随意型心理人群来制定的，而较高的低等奖获奖率是为固执型及理智型购买彩票彩民而设制的。

总之，彩票奖金额度的制定方案是以最大可能地吸引有着不同购买彩票心理彩民购买彩票为目标的。

5.2 模型二的建立与求解

一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为

?(x)?1?e(??0)

其中?表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。 5.2.1计算实力因子

实力因子是反应一个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区的彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，

在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此，不同地区的实力因子应有一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。为此，我们以中等地区的收入水平（或全国平均水平）为例进行研究。根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1万元，按我国的基本国情，平均工作年限T=40年，则人均总收入为40万元，于是，当x0?40万元时，取4?105?(x0)?1?e?0.5（即吸引力的中位数），则有???4.80449?105同理，可

?ln0.5以算出年收入1万元、2万元、4万元、7万元、12万元、20万元的实力因子如表二。

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?x???0????2?x???????2要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。因为彩民购买彩票是一种风险投资行为，为此，我们根据决策分析的理论，考虑到彩民的心理因素的影响， 可取

(??0)

为风险决策的益损函数，于是作出如下的指标函数

?(x)?1?e?x???????2F??pi?(xi)

i?17即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的奖项和奖金设置对彩民的吸引力。

7??F??pi?(xi)i?1?x??(i)2??(xi)?1?e? ?7??xi?((1??pjxj)?ri)?pij?4?2????6.30589?10这里分别对年收入1万元、2万元、4万元、7万元、12万元、20万元,工作年限均40年的情况进行了讨论，给出适用于相应各种情况的最优方案，如下面的表。

表四 不同收入指标所适用方案 年收入 指标 1 万元 40 480449 5 7/29 58.934 2 万元 80 960898 11 7/31 36.422 4 万元 160 7 万元 280 12 万元 480 20 万元 800 9608980 23 7/35 3.3232 x0 ? 方案 投注方式 F?10 ?71921800 3363140 5765390 28 6/40 23.807 28 6/40 14.282 23 7/35 7.5050 首先，总奖金比例一般为销售总额的50%，则销售总额越大总奖金额就越大，所以为了提高总奖金额，我们的第一个目标就是使总销售额达到最大，这样对销售方和彩民都是很有益的。其次，根据现实中情况可知，彩民在买彩票的时候还是比较关注一等奖奖金额的，如果一等奖奖金额设置的相对较高，则会增加彩票对彩民的吸引力，所以，我们的第二个目标就是使一等奖奖金额相对较高。最后，买彩票是否中奖是一种随机事件，销售方为了自己的利益是不可能使每个彩民都能得到高项奖，必定有些彩民会得低项奖或不得奖。得低项奖或不得奖都会使彩民购买彩票的热情有所减少，所以，我们的最后一个目标是使低项奖奖金额提高，从而达到激励彩民的作用。所以目标函数是销售总额、一等奖奖金额、所有低等奖奖金总额的加权和，并设权重各为w1,w2,w3。我们设销售总额为y元，其上限为M,xi(i?1,2,3)为第i等奖占高项奖的比例，xj(j?4,5,6,7)为第j等奖金额，当高项奖的比例xj(j?1,2,3)为多少和低项奖的奖金额xi(i?4,5,6,7)为

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多少时，使目标函数：

Max?w1y?w2(y?p43x4y?p5x5y?p6x6y?p7x7y)x1/2?w3(p4x4?p5x5?p6x6?p7x7)y/2

有最大值。

以它们之间所满足的关系为约束条件，设以xj?j?1,2,3?,xi?i?4,5,6,7?为决策变量，则可得到非线性规划模型：

Max?w1y?w2(y?p43x4y?p5x5y?p6x6y?p7x7y)x1/2?w3(p4x4?p5x5?p6x6?p7x7)y/2?x1?x2?x3?1?(y?p3xy?pxy?pxy?pxy)x/2?600000445566771???(y?p43x4y?p5x5y?p6x6y?p7x7y)x1/2?5000000?x?0.5 x?x x?x x?x 455667?1??x7?5 y?M xi?0 y?0 限制总销售额在一亿元以内，且w1,w2,w3分别为0.50.30.2，，最终得，这两种方案经改进后的结果。下表所示：

表五 不同收入指标具体所适用方案 年收入 指标 1 万元 40 480449 5 7/29 58.934 0.7 0.1 0.2 200 10 5 0 2 万元 80 960898 11 7/31 36.422 0.8 0.05 0.15 300 50 5 0 4 万元 160 1921800 7 万元 280 3363140 28 6/40 14.282 0.85 0.05 0.1 200 50 0 0 12 万元 480 5765390 23 7/35 7.5050 0.95 0.05 20 5 0 0 0 20 万元 800 9608980 23 7/35 3.3232 0.95 0.05 20 5 0 0 0 x0 ? 方案 投注方式 F?10 ?7 28 6/40 23.807 0.85 0.05 0.1 200 50 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 由上可看出：

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对于年均收入在1万元左右彩民的第5号方案为最佳方案，对其奖项调整为投注方式仍为7/29，一等奖二等奖三等奖分别比率设为70%,10%,20%低等奖项设置四五六等奖分别为200元50元及5元。

对于年均收入在4?7万元间彩民的第28号方案为最佳方案，对其奖项调整为投注方式仍为6/40，一等奖二等奖三等奖分别比率设为85%,5%,10%低等奖项设置四五等奖分别为200元及50元。

对于年均收入在12?20万元间彩民的第23号方案为最佳方案，对其奖项调整为投注方式仍为7/35，一等奖二等奖分别比率设为95%,5%低等奖项设置三四等奖分别为20元及5元。

综合以上因素，我们可以给彩票管理部门提出一些有价值的决策参考建议： 1.由于销售规则模式直接决定了彩票的总中奖率，应尽可能选择总中奖率高的彩票销售规则。这样可以提高彩民参与购买彩票的信心，为公司带来更多的销售收入。 2.适当的提高一等奖的奖金额，以增加彩票对彩民的“诱惑”。

3.奖项设置时，应考虑尽可能多设立一些奖项，以扩大中奖面，吸引更多的人购买彩票。

4.适当提高低项奖的奖金额，以提高彩民参与的信心。

5.在可能的情况下，把总奖金占销售总额的比例提高，这样可使总奖金额增大，吸引彩民购买更多的彩票，从而提高销售量，同时增加彩票销售公司的收入。

六 模型的优化与改进

问题一中主成分分析法对于彩票方案的评价是一个多指标评价问题。我们在模型一中取了九个指标，基本上反映了一个彩票方案的合理性，事实上，彩票方案对彩民的吸引力远远不止是由这些指标体现的，且这些指标中有些指标间存在不太强的相关性，在此，我们要尽量采用多的指标进行主成分分析模型从而对方案进行更加客观的评价。我们所取的前三个主成分达到90%因素，因此还是存在一些误差的。以后进行分析时成分要尽可能的高。

问题二我们设置的方案是根据不同人群划分的，得出每个人群最优解，在进行优化，而没有建立在对前面问题一分析的基础之上，虽然这样分析的更加全面，但是不可避免的问题是没有尽可能利用问题一中得到的结论，充分利用问题一的分析信息。因此，我们认为问题二设置的方案是不全面的，应该把排名前几位方案也优化一下。在此补上问题一排名前两位方案的改进方案：

由第一问可知，第二十三种方案，第五种方案和第二种方案相对较好，所以，我们可以对着三种方案进行改进。又因为第二十三种方案方案比较特殊，为了使其具有普遍性，我们只对第五种方案和第二种方案即彩民容易接受的两种方案进行改进。最终得，这两种方案经改进后的结果。（非线性规划模型同问题二）

表六 方案二与五的优化方案 方案 一等奖的比例 6+1/10 70% 7/29 70% 二等奖的比例 16% 10% 三等奖的比例 14% 20% 四等奖的金额 200 200 五等奖的金额 50 100 六等奖的金额 10 10 七等奖的金额 5 0 当然在彩票方案模型优化时，没有将销售规则考虑进去是一大缺限。事实上，也许

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可以建立一个模型单独用于设计销售规则，然后再结合我们建立的非线性规划模型来设计彩票方案会更合理一些。另外，在处理非线性规划模型时进行的线性加权处理也过于主观臆断，没有基础依靠。

七 模型的推广

本文为解决问题分别建立了主成分析模型与非线性规划模型。

主成分析法是对原指标进行标准化，消除变量在水平及量纲上的影响，通过相关计算确定主成分，对各主成分包含的信息给予适当解释，用少数几个主成分来解释多个变量间的内部结构。

主成分析法可以广泛的运用于解决实际问题。主成分析法在实际决策中具有重要作用。实际生活中为解决问题进行决策时，通常需要决策的问题受到多重因素的影响，怎样从各种矛盾中找出问题的主要矛盾，对正确认识问题解决问题是有作用的。例如，在公司高层决策时，在问题上集中了实行某一方案的优势因素与其潜在的危险及实际的基本情况。如何在顺利实行方案获利的前提下顺利规避风险进行决策，运用主成分析的方法找出影响决策的主要因子，根据主要因子之间的关系进行最优决策，获得最优的实践方案。除了决策问题主成分析还可运用到研究实验结果分析，资源管理，科学研究等等广阔的领域。

非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划。

非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。在经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面普遍地存在着最优化问题。例如：如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最高的利润；如何设计某种产品，在满足规格、性能要求的前提下，达到最低的成本；如何确定一个自动控制系统的某些参数，使系统的工作状态最佳；如何分配一个动力系统中各电站的负荷，在保证一定指标要求的前提下，使总耗费最小；如何安排库存储量，既能保证供应，又使储存费用最低；如何组织货源，既能满足顾客需要，又使资金周转最快等。对于静态的最优化问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方法去处理。

八 模型的评价

问题一中，在对彩票方案合理性分析上，本文采用运用SPSS软件进行主成分析，将原始变量转变为主成分，形成了反映主成分何指标包含信息量的权数，以计算综合评价值，这样首先在指标权重选择上克服主观因素的影响，有助于保证客观反映样本间的现实关系；其次主成分析法在对原指标变量变换后形成了彼此相互独立的主成分，消除了评价指标间的相关影响；再次，主成分析中各主成分是按方差大小依次排列，在分析问题时，可以舍弃一部分主成分，只取前方差较大的三个主成分来代表原变量，减少了计算工作量，使得计算能够简化易行。

我们在建立主成分析模型时，极大限度地减少了原始变量，只用较少的主成来进行解决问题，这不可避免地减低了模型的敏感性，使得得到的结果只能是大体上的合理结果。

为解决问题二我们建立了非线性规划模型。在解决问题的过程中，我们充分考虑了不同收入人群的心理变化来对彩票发行的最优方案进行调整，使得彩票发行方案更能符

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合不同阶层的彩民大民众，对不同收入阶层的彩民分别得出了适合其的彩票发行方案，根据其心理特点对具体方案进行相应的调整，得出了令人满意的结果。

但我们的模型建立仍有相应的缺点。首先，我们在考虑彩民实力因子时仅考虑了彩民的平均收入水平而忽略了彩民的消费水平，这使得对彩民的实力因子的分析变得片面而缺乏实际性。进而，我们进行权重分析时确立的权重值较为主观，并为获得相关方面专家的认证。以及得出的方案虽较符合对不同收入阶层的需求，但在实际实施时必有相应的劣势，而这在论文中并未考虑。

给报社的一篇关于购买彩票的评论性短文

如果有人告诉你，彩票是让你发财，这是不可信的，但彩票能满足人们的心理想象。彩票做的好，彩票文化做的好，一个非常重要的环节就是要把彩票业和人们的心理需要的关系把握恰到好处，它必须给人们提供想象空间，让人们觉得不管几率多么小，它具有想象力的活动。比如有鼓吹100%中奖率，大家都明白奖品肯定很低廉或根本就是骗人，提高想象力的同时会产生不断的沮丧，因为老不中，人们会周期性的低落。彩票要走出这样的简单怪圈，但如果总拿利益来吊彩民的胃口，那么彩票是很难做下去的，容易得了就没有吸引力，彩票要变成能够吸引人的活动，它不是简单地说可以发财致富。

购买彩票，是机遇与风险并存的一种投资活动，彩民们不知道这些销售方案中具有哪些本质的不同，也不知道应该投资哪些种类的彩票才能使期望获得利益最大，以致使不少彩民只能盲目跟从，缺乏自己的决策主见，也使彩民的投资得不到应有的回报。

我们通过对彩票中的数学问题进行科学的分析，对多种彩票销售方案中各种奖项的中奖情况，各种奖项的奖金额占总奖金额的比例分析，想告诉彩民们在购买彩票时应该选择怎样的彩票，才能尽可能的使预期收入最高，同时也想告诉彩民们关于彩票销售中的一些数学奥秘。因为我们发现人们对彩票的认识不够，约60%的人经常购买彩票，有些人甚至盲目购买，一次性购买大量彩票，既不符合现实又浪费大量钱财，人们基本上没有认真思考过彩票的利与弊。 通过对上述材料的理解， 我们可以知道购买彩票并不是偶然性占多数，对于其中蕴涵的数学原理，只要我们细心考察，就不难发现彩票中也有一定的规律可寻。所以通过这次研究活动，我们要认真看待彩票，同时也可以在彩票中学习。总之，我们要合理看待问题，善于使用数学的理论分析研究。 下面给广大彩民一些建议：

（1）购买彩票，首先要看彩票的销售规则，并熟悉彩票的销售规则。“传统型”大奖吸引力很低，但是获奖面相当高，特别适合“保守型”彩民。 “乐透型”大奖吸引力很高，但获奖面相对较低，比较适合“风险型”彩民。

（2）高额奖项奖金越高，一般其中奖率越低，所以瞄准大奖，梦想着凭借中大奖可以有朝一日能步入百万富翁的行列的彩民不要盲目购买。

（3）无论彩民选择哪种彩票，目的是让有限的资金获得最佳的效果。在购买彩票时，要综合考虑多种因素，要科学，谨慎选择，细心考察，不要盲目跟从，要认真思考过彩票的利与弊。

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参考文献

[1]姜启源，数学模型（第二版）[M],北京：高等教育出版社，1992 [2]王松桂等，概率论与数理统计[M]，北京：科学出版社，2000

[3]高强，从经济角度审视博彩现象[J]，陕西经贸学院学报，2001；10 [4]许乘，概率论与数理统计[M],哈尔滨，哈尔滨工业大学出版社2002；3

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八 附录

附表一：中奖说明（传统型）表 中 奖 10选6+1 （6+1/10） 等 级 基 本 号 码 特别号码 说 明 一等奖 abcdef g 选7中（6+1） 二等奖 abcdef 选7中（6） 三等奖 abcdeX Xbcdef 选7中（5） 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选7中（4） 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中（3） 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（2） 附表二：中奖说明（乐透型）表 中 奖 33 选 7（7/33） 36 选 6+1（6+1/36） 等 级 基 本 号 码 特别号说 明 基 本 号 码 特别号说 明 码 码 一等奖 ●●●●●●● 选7中（7） ●●●●●● ★ 选7中（6+1） 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选7中（6+1） ●●●●●● 选7中（6） 三等奖 ●●●●●●○ 选7中（6） ●●●●●○ ★ 选7中（5+1） 四等奖 ●●●●●○○ 选7中（5+1） ●●●●●○ 选7中（5） ★ 五等奖 ●●●●●○○ 选7中（5） ●●●●○○ ★ 选7中（4+1） 六等奖 ●●●●○○○ 选7中（4+1） ●●●●○○ 选7中（4） ★ 七等奖 ●●●●○○○ 选7中（4） ●●●○○○ ★ 选7中（3+1） 注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。

附表三：各奖项方案奖金分布比例表 序 一等二等三等号 奖项 奖 奖 奖 方案 比 比 比 例 例 例 1 6+1/10 50% 20% 30% 2 6+1/10 60% 20% 20% 3 6+1/10 65% 15% 20% 4 6+1/10 70% 15% 15% 5 7/29 60% 20% 20% 6 6+1/29 60% 25% 15% 7 7/30 65% 15% 20% 8 7/30 70% 10% 20% 9 7/30 75% 10% 15%

四等奖 金 额 50 300 300 300 300 200 500 200 200 13

五等奖 金 额 20 20 20 30 20 50 50 30 六等奖 金 额 5 5 5 5 5 15 10 10 七等奖 金 额 5 5 5 备 注 按序 按序 按序 按序 10 7/31 60% 11 7/31 75% 12 7/32 65% 13 7/32 70% 14 7/32 75% 15 7/33 70% 16 7/33 75% 17 7/34 65% 18 7/34 68% 19 7/35 70% 20 7/35 70% 21 7/35 75% 22 7/35 80% 23 7/35 100% 24 6+1/36 75% 25 6+1/36 80% 26 7/36 70% 27 7/37 70% 28 6/40 82% 29 5/60 60% 15% 10% 15% 10% 10% 10% 10% 15% 12% 15% 10% 10% 10% 2000 10% 10% 10% 15% 10% 20% 25% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 10% 20 15% 10% 20% 15% 8% 20% 500 320 500 500 500 600 500 500 500 300 500 1000 200 4 500 500 500 1500 200 300 50 30 50 50 50 60 50 30 50 50 100 100 50 2 100 100 50 100 10 30 20 5 10 10 10 6 10 6 10 5 30 50 20 10 10 10 50 1 10 5 2 5 5 5 5 5 无特别号 附表四 各方案评价排序表 评价排序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

方案标号 23 2 5 3 6 4 10 7 1 12 8 27 13 9 17 18 15 29 11 14

综合评价值 -1.1678 -2.5209 -3.0191 -3.0707 -3.2505 -3.527 -3.563 -3.7924 -4.0956 -4.2165 -4.3091 -4.6495 -4.7308 -4.7655 -4.7882 -4.8335 -4.8949 -4.899 -4.991

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 20 14 26 16 21 24 19 22 25 28 -5.1644 -5.1866 -5.2738 -5.3507 -5.6188 -5.8593 -5.9727 -6.0763 -6.8138 -6.9828 附表五 各奖项的获奖率与奖金率

p1 p2 p3 p4 p5 p6 P7 v 方案 P -7-7-7-7-7-7-7（10） （10） （10） （10） （10） （10） （10） （10-7） 1 20 8 180 2.61 0 0 0 211 0.451799 2 20 8 180 2.61 34200 420390 0 454800 0.551874 3 20 8 180 2.61 34200 420390 0 454800 0.612503 4 20 8 180 2.61 34200 420390 0 454800 0.662818 5 64.07 44.85 941.8 2.826 28250 47090 298000 374400 0.571249 6 64.07 141 845.7 8.88 22200 148000 197000 368260 0.587558 7 49.12 34.39 756.5 2.269 23820 39710 264760 329140 0.627587 8 49.12 34.39 756.5 2.269 23820 39710 264760 329140 0.684567 9 49.12 34.39 756.5 2.269 23820 39710 264760 329140 0.734892 10 38.03 26.62 612.3 1.837 20200 33670 235720 290280 0.577461 11 38.03 26.62 612.3 1.837 20200 33670 235720 290280 0.734935 12 29.71 20.8 499.1 1.497 17220 28700 210000 256470 0.62795 13 29.71 20.8 499.1 1.497 17220 28700 210000 256470 0.684662 14 29.71 20.8 499.1 1.497 17220 28700 210000 256470 0.734925 15 23.41 16.39 409.6 1.229 14740 24570 188430 228210 0.684723 16 23.41 16.39 409.6 1.229 14740 24570 188430 228210 0.734987 17 18.59 13.01 338.3 1.015 12680 21140 169160 203360 0.657114 18 18.59 13.01 338.3 1.015 12680 21140 169160 203360 0.662116 19 14.87 10.41 281.1 0.8432 10960 18270 0 29540 0.678407 20 14.87 10.41 281.1 0.8432 10960 18270 152240 181780 0.684859 21 14.87 10.41 281.1 0.8432 10960 18270 152240 181780 0.73496 22 14.87 10.41 281.1 0.8432 10960 18270 152240 181780 0.785406 23 14.87 291.5 11805 170.5 1065700 0 0 1077980 0.999581 24 11.98 34.74 208.4 2.918 7290 65660 87550 160760 0.745606 25 11.98 34.74 208.4 2.918 7290 65660 0 73210 0.795896 26 11.98 8.386 234.8 0.7044 9500 15850 137360 162970 0.684937 27 9.713 6.799 197.2 0.5915 8280 13800 240000 262300 0.678315 28 26.1 15.63 515.8 1.29 20630 27510 0 48700 0.803222

15

29

1.83 9.155 494.4 0.9887 26200 0 0 26710 0.56179

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