有关线性代数矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用

线数

考研

I

第一章 前 言 ................................................................. 1 第二章 几种矩阵的判定和应用 .................................................. 2

2.1逆矩阵 ............................................................... 2

2.1.1n阶矩阵可逆的定义 .............................................. 2 2.1.2逆矩阵的性质 ................................................... 2 2.1.3矩阵可逆的条件 ................................................. 2 2.1.4求逆矩阵的方法 ................................................. 2 2.1.5求逆矩阵的例子 ................................................. 3 2.2伴随矩阵 ............................................................. 6

2.2.1伴随矩阵的定义 ................................................. 6 2.2.2伴随矩阵的性质 ................................................. 6 2.2.3有关伴随矩阵的例子 ............................................. 6 2.3对角矩阵 ............................................................. 7

2.3.1可对角化矩阵的定义 ............................................. 7 2.3.2对角化矩阵判定条件和方法 ....................................... 7 2.3.3有关可对角化矩阵的例子 ......................................... 8 2.4正交矩阵 ............................................................ 12

2.4.1正交矩阵的定义 ................................................ 12 2.4.2正交矩阵的性质 ................................................ 12 2.4.3正交矩阵的例子 ................................................ 12 2.5实对称矩阵 .......................................................... 14

2.5.1实对称矩阵的定义 .............................................. 14 2.5.2实对称矩阵的性质 .............................................. 14 2.5.3实对称矩阵A?aijn?n正交相似于对角矩阵的计算方法： ............ 14

??2.5.4有关实对称矩阵的例子 .......................................... 14 2.6正定矩阵 ............................................................ 17

2.6.1正定矩阵的定义 ................................................ 17 2.6.2正定矩阵的判定条件 ............................................ 17 2.6.3正定矩阵的性质 ................................................ 17 2.6.4正定矩阵的判定方法 ............................................ 17 2.6.5有关正定矩阵的例题 ............................................ 18

第三章 矩阵与矩阵之间的关系和应用 ........................................... 22

3.1矩阵合同 ............................................................ 22

3.1.1合同矩阵的定义 ................................................ 22 3.1.2合同矩阵的性质和有关结论 ...................................... 22 3.1.3矩阵合同的判定和证明 .......................................... 22 3.1.4有关合同矩阵的例题 ............................................ 22 3.2矩阵相似 ............................................................ 25

3.2.1相似矩阵的定义 ................................................ 25 3.2.2相似矩阵的性质 ................................................ 25 3.2.3相似矩阵的判定方法 ............................................ 25 3.2.4有关相似矩阵的例子 ............................................ 25 3.3矩阵等价 ............................................................ 27

3.3.1矩阵等价的定义 ................................................ 27 3.3.2矩阵等价的定理和性质 .......................................... 27 3.3.3有关矩阵等价的例子 ............................................ 27

结束语 ..................................................................... 30 致谢 ....................................................... 错误！未定义书签。 参考文献.................................................... 错误！未定义书签。

第一章 前 言

第一章 前 言

随着改革开放和现代化建设事业的需要，特别是“科教兴国”、“知识经济”等战略性措施日益广泛实施，国家机关、企事业单位以及各行各业对高素质、高学历人才的需求量越来越大。同时，随着高等教育的大众化，本科人才越来越多，相当一部分大学毕业生找不到理想工作，很多人希望取得更高的学历，以增强自己的竞争实力，因此，近年来，“考研热”持续升温。研究生入学考试现已成为国内影响最大、参加人数最多的国家级选拔高层次人才的水平考试。

然而研究生入学考试与在校大学生的期中或期末考试相比，其深度、广度与难度大大增加，试题综合性强，着重知识的运用，竞争激烈，淘汰率高。同时，考研作为一种选拔性水平考试，试题规范，规律性很强，不少题型反复出现，把这些反复出现的试题整理归类，以节省考生宝贵的复习时间，对考生迎考大有帮助。

高等代数是数学类专业的一门重要的基础课，也是数学系硕士研究生入学考试的一门必考科目，矩阵问题在数学系硕士研究生入学考试数学试题中占有相当大的比例。而矩阵不仅是代数学的一个主要研究对象，也是高等代数的很多分支研究问题的工具，它贯穿了整个高等代数的内容。

为了帮助考生加深对矩阵知识的理解，掌握有关矩阵问题的解题方法和技巧，提高应试能力，本论文总结了有关矩阵的概念、定理，矩阵与矩阵的关系、性质和解题的技巧方法，列举出数学考研有关矩阵的典型例题。引导考生在较短时间内掌握解有关矩阵问题的要领，并顺利通过研究生入学考试。

1

广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用

第二章 几种矩阵的判定和应用

2.1逆矩阵

2.1.1n阶矩阵可逆的定义

设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得

AB?BA?E(E为n阶单位矩阵)，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵。当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A?1。

2.1.2逆矩阵的性质

设A,B是n阶可逆矩阵，则 （1）?A?1??A；

?1（2）若k?0，则kA可逆，且?kA???11?1A； k（3）AB可逆，且?AB??B?1A?1；

?1（4）AT可逆，且?AT???A?1?；

?1T（5）Ak可逆，且?Ak???A?1?；

?1k（6）A?1?A；

（7）如果A是m?n矩阵，G是m阶可逆矩阵，H是n阶可逆矩阵，则

r?A??r?GA??r?AH??r?GAH?。

?12.1.3矩阵可逆的条件

（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A?0； （2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是r?A??n；

（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；

（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积； （5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得AB?E（或BA?E），则A可逆，且A?1?B；

（6）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零。

2.1.4求逆矩阵的方法

法1：伴随矩阵法：A?1?1?A。 A2阶方阵求逆矩阵：2阶方阵的伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律。

2

第二章 几种矩阵的判定和应用 ?a11设2阶方阵A???a?21a12??，矩阵A的代数余子式A11??a22?，A12???a12?，a22???a22?a12??A21???a21?，A22??a11?。所以，其伴随矩阵A?????a?。 a11??211?a22?a12??所以，A?1?? ??A??a21a11??AB?注：对分块矩阵??CD??不能按上述规律求伴随矩阵。

??

法2：初等变换法：

矩阵的阶大于或等于3的一般采用初等变换法 （1）?A?E?初等行变换E?A??1?

?A??E?????初等列变换（2）???1? ??E??A?（3）当矩阵A可逆时，可利用

?A?B?初等行变换?E?A?1B?,???A??E????初等列变换?1? ???C??CA?优点：不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即可求出

A?1B或CA?1。

法3：分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式：

?A1?? ??????????A?sA2??????As??A2?A1????????1?1?A1?1????1A2?????， ????1??As???As?1????1As?1?????，

????A?1??1?其中Ai?i?1,2,?,s?均为可逆矩阵。

2.1.5求逆矩阵的例子

例1 （清华大学）设A为主对角线元素为零的4阶实对称可逆矩阵，E为4阶单位阵。

?0??0B??0??0?000??000?0k0??00l???k?0，l?0?。

3

广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 （1）试计算E?AB，并指出A中元素满足什么条件时，E?AB为可逆矩阵。 （2）当E?AB可逆时，试证明?E?AB?A为对称矩阵。

?1解：

?0??a（1）设A??12a?13?a?14?1a120a23a24a13a230a34a14??1??a24??0，则E?AB??0a34?????00??0ka131ka23010ka34la14??la24?。 ?la34?l??22?0时，E?AB为可逆矩阵。 故E?AB?1?kla34。即当1?kla34（2）?E?AB?A?A?1?E?AB?由于AT?A，BT?B，所以

???1??A?1?B?。

?1?1T?????A?B?????A?即是?A?B?对称矩阵，故?E?AB??1??A?B?1T?1T?1?BT????A??1T?1?B??1?A?1?B???1，

?1?1?1A是对称矩阵。

解题技巧：

做本题（1）时，可运用可逆矩阵的充要条件：A可逆?A?0。 做本题（2）时，首先要考虑到对称矩阵的定义：若A是对称矩阵，则AT?A。像?E?AB?A是两矩阵的乘积，应将其化为一个矩阵，再利用对称矩阵的定义

?1来解决。

?4???1?A?例2 已知?0??0?

0??000?，试求A?1和A。 ?03?6?0?33???430解：对AA??AE两边取行列式得AA?A，于是

4300?1000433?63?A?A????27，

003?6?10?3300?33?1??100????3?11000?。 即A??3，故A?1?A????3?A?00?12???001?1??

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第二章 几种矩阵的判定和应用 ?A1又因为A???O??A1?1O??43??3?，其中A1????10??，A2????3A2?????1?1?0?1?1??1??A1??A?A2?，2?14A13?A??21?0?O???1?4????1?00A2???00??6??，可求得 3???1?36????， 339???故由AA??AE得

A?AA????1?A1?1?A??O?00??00?。 12??11??

解题技巧：

当我们看到A的伴随矩阵A?，首先应该考虑采用伴随矩阵法来求A?1，因为

?11?A?1?A，所以求A?1的关键是求A。又由AA??AE知A?A?A??，可见求

A得A和?A??后即可得到A。

?1对于求解A，也可利用A?1来求，根据A?1的特点，可先将A?1化为分块矩阵

?A1O??1?的形式，如A?1??，A?A?OA?2??等变换法来求A1，A2的逆矩阵即可。

???1?A1???O?O??A2???1?A1?1???O?O??，再通过初?1?A2?例3（武汉大学）设矩阵A???T，其中?是n维列向量，?T是?的转臵，又已知?T??1。 （1）证明: A2?A

（2）证明: B?E?A?A2???An是可逆矩阵，并求B?1这里E是n阶单位矩阵。

证:（1）显然有

A2?????T????T????T?????T?1???T?A

????（2）显然可求得A为对称矩阵且A的全部特征值为0(n?1重〕，1(1重)。那么不妨设可逆矩阵P使得

A?Pdiag?1，0，?，0?P?1。

于是有

B?E?A?A2???An?Pdiag?n?1，1，?，1?P?1。

显然B为可逆矩阵，且有

5

广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 ?1?B?1?Pdiag?，1，?，1?P?1?n?1?n?E?Pdiag?1，0，?，0?P?1

n?1n?E?An?1例4 (华中科技大学)设A为n阶方阵，若存在唯一的n阶方阵B，使得

ABA?A，证明：BAB?B。 分析:注意反证法的应用。

证明:首先证明A可逆，利用反证法。

若A不可逆，那么A的秩小于n，不妨设r?A??r?n，于是有可逆矩阵P,Q，

OO??ErO??1???C?QQ使得A?P?，取?OO??OE??，显然有

n?r?????ErACA?P??O?OO??1???QQ?O???OO??OO??A?P??OO??A?O， En?r????若存在B使得ABA?A，那么对于矩阵B?C，也有

A?B?C?A?ABA?ACA?A?O?A，

这与B的唯一性相矛盾。

于是A必可逆，那么对ABA?A左乘A?1，右乘B即可得BAB?B。

2.2伴随矩阵

2.2.1伴随矩阵的定义

若A??aij?n?n，那么它的伴随矩阵A???Aij?n?n (其中Aij表示矩阵中元素aij的代数余子式)。

i?j注：Aij???1?Mij，(其中Mij表示矩阵中元素aij的余子式)。

2.2.2伴随矩阵的性质

（1）AA??A?A?AE；

（2）若A可逆，则A??AA?1，A?1?（3）?AB??B?A?（例2）；

?1?A； A（4）注意到A?中的每个元素都是矩阵A的n?1阶子式乘以某个值为1或?1的常数，于是对于常数a，有?aA??an?1A?。

?2.2.3有关伴随矩阵的例子

例1 (天津大学)设矩阵A的伴随矩阵

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第二章 几种矩阵的判定和应用 ?10??01A???10??0?3?00??00??1?1，且AXA?XA?3E，求矩阵X。 10??08???143解:由关系式AXA?1?XA?1?3E, 可得X?3?A?E?A。

注意到A是4阶矩阵，有A??AA?1，而A??AA?1?AA?1?A。 注意到A??8，于是有A?2，可得A??2A?1。 在等式A??2A?1的两边取逆，即有

?2??1?0A?2?A?????2??0?经简单计算有

?6000???0600???1X?3?A?E?A??。

6060????0240?1????例2(吉林工业大学，吉林大学)设A,B，均为n阶方阵，求证?AB??B?A?。

000??200?， ?020?6014??证明：（1）当AB?0时，A?0且B?0，由公式A??AA?1，可得 ?AB??AB?AB??B?B?A?A??B?A?，

??1?1?1 （2）当AB?0时，考虑矩阵A????A??E，B????B??E，由于A和B都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个?，使A????0，B????0。由上面（1）的结论有?A???B?????B???A????。

??令?A???B??????fij????n?n,B???A?????gij????n?n。由上式得

????i，j?1，fij????gij???，2，?，n?,

即有无穷多个?使上式成立，但fij???，gij???都是多项式，从而上式对一切?都成立.特别令??0，这时有

?AB????A?0?B?0????B?0??A?0???B?A?。

2.3对角矩阵

2.3.1可对角化矩阵的定义

如果数域P上的n阶矩阵A可相似于对角矩阵，则称A可对角化。

2.3.2对角化矩阵判定条件和方法

数域P上n阶矩阵A可对角化的判定条件：

（1）充分必要条件：A有n个线性无关的特征向量；

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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 （2）充分必要条件：A的所有重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于其重数；

（3）充分必要条件：A的最小多项式没有重根； （4）充分必要条件：A的不变因子都没有重根； （5）充分条件：A有n个互异的特征值； （6）充分条件：A是实对称矩阵。

n阶矩阵A可对角化的判定方法：

?，?t，其第一步：求A的全部特征值。设A的所有互异特征值为?1，?,2，?，rt，且r1?r2???rt?n。若t?n，即A有n个互异的特征重数分别为r1，r2，值，则A可对角化。

第二步：对每一特征值?i，解方程组??iE?A?x?0得对应?i的线性无关特

?，pisi?i?1，2，?，t?。 征向量（即齐次方程组的基础解系）pi1，pi2，若某个si?ri，即对应?i的线性无关特征向量的个数小于?i的重数，则A不可对

2，?，t?，则A可对角化。 角化；若si?ri?i?1，第三步：当A可对角化时，把n个线性无关的特征向量按列构成矩阵

P?p11，p12，?，p1r1，p21，p22，?，p2r2，?，pt1，pt2，?，ptrt，

??1Er1????E??2r2则P?1AP?????。 ?????tErt?????

注：对角矩阵?的对角线元素恰好是A的n个特征值，且特征值的顺序与P的列向量顺序保持一致。

2.3.3有关可对角化矩阵的例子

?1?11???4y?，例1 设矩阵A??x已知A有三个线性无关的特征向量，??2是A的??3?35???二重特征值。试求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵。

解：因为A有三个线性无关的特征向量，??2是A的二重特征值，所以A的对应于??2的线性无关的特征向量有两个，故r?2E?A??1。由于

1?1??11?1??1????2E?A???x?2?y???0x?2?x?y?

?3?35?00????0?解得x?2，y??2。

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第二章 几种矩阵的判定和应用 ?1?11???4?2?。 所以，矩阵A??2??3?35???设?1，?2，?3是A的三个特征值，由已知可知?1??2?2。 由?1??2??3?1?4?5?10，可得?3?6。

可求得对应于特征值?1??2?2的线性无关特征向量为

T?1???1，1，0?，T?2??1，0，1?。

T?2，3?。故可逆矩阵 而对应于特征值?3?6的特征向量为?3??1，??111??200??????1P??10?2?,使得PAP??020?。

?013??006?????

?12?3???例2 设矩阵A???14?3?的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是

?1a5???否可相似对角化。

解：A的特征多项式为

??1?13?E?A?1??43????2???2?8??18?3a?。

?1?a??5若??2是特征方程的二重根，则有22?16?18?3a?0，解得a??2。

当a??2时，A的特征值为2，2，6，矩阵

?1?23???2E?A??1?23?

??12?3???的秩为1，故??2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化。 若??2不是特征方程的二重根，则?2?8??18?3a为完全平方，从而

2218?3a?16，解得a??。当a??时,A的特征值为2，4，4，矩阵

33???3?23?4E?A??103?，

??2??1?1?3??的秩为2，故??4对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化。

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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 ?2?20???例3 已知实对称矩阵A???21?2?，求可逆矩阵P,使PTAP为对角矩阵。

?0?20???解：（法1用配方法）A所对应的二次型为

222f?2x12?4x1x2?x2?4x2x3?2?x1?x2??x2?4x2x3。

?y1?x1?x2?x1?y1?y2??令?y2?x2，即?x2?y2，得 ?y?x?x?y33?3?322f?2y12?y2?4y2y3?2y12??y2?2y3??4y3。

2?z1?y1?y1?z1??令?z2?y2?2y3，即?y2?z2?2z3，得标准形 ?z?y?y?z3333??22f?2z12?z2?4z3。

所用可逆线性变换为

?x1?z1?z2?2z3?x1??11?2??z1????????x?z?2zx?01?2，即?2?2????z2?。 23??x??001??z?x3?z3??3????3??11?2??200?????故可逆矩阵P??01?2?，使得PTAP??0?10?。

?004??001?????

(法2)可求得?E?A????2????4????1?，所以A的特征值为

?1??2，?2?1，?3?4。

又对应特征值?1??2，?2?1，?3?4的特征向量分别为

p1??1，2，2?，p2???2，?1，2?，p3??2，?2，1?。

TTT单位化得

?122??212??221?q1??，，?，q2???，?，?，q3??，?，?。

333333333???????1?22??1?故可逆矩阵(实际是正交矩阵) P?q1，q2，q3??2?1?2?，使得

3?1??22???200???PTAP?P?1AP??010?。

?004???TTT??

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第二章 几种矩阵的判定和应用 2?2??2??5?4? 例4 （天津大学）设三阶实对称矩阵A??2??2?45???（1）求一个正交矩阵C及对角形矩阵?，使CTAC??。 （2）求一个对称矩阵B使A?B2。

解：（1）显然易见，可求得A的特征多项式为f???????10????1?，于是A的

2特征值为?1??2?1，?3?10。 由?10E?A?x?0解得一个基础解系为

?1???e1???2?，

?2???由?1E?A?x?0解得一个基础解系为

?0??2?????e2??1?，e3??0?，

?1??1?????将e1单位化，将e2，e3先正交化后单位化，之后将这三个向量组成一个正交矩阵为

?13?C???23??23??1000???显然有CTAC??010?。

?001???223??22?26?，

?2226??0?1000??1000??1000???????TT（2）显然有A?C?010?C?C?010?CC?010?CT，

?????001?????001001???????8?102?2102?210????999???1000????2?2105?4104?410?那么有对称矩阵B?C?010?CT????，

999?????0?014?4105?410????2?210??999??使得A?B2成立。

例5（三峡大学） A为正定矩阵，B是实对称矩阵。 （1）证明存在可逆矩阵?使?TA??E，?TB?为对角矩阵。

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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 （2）证明AB的特征值都是实数。

解：（1）因为A为正定矩阵，B为实对称矩阵，则存在可逆矩阵Q，使QTAQ?E，

?QTBQ??QTBTQ?QTBQ，所以QTBQ为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P使

T得PTQTBQP??。

令??QP，显然?可逆，?TB???QP?BQP?PTQTBQP??，

T?TA???QP?TAQP?PTQTAQP?PTEP?PTP?E。

（2）由A正定可知A?1正定，由（1）可知，存在可逆矩阵Q，

?，?n?,??i?R，i?1，2，?n?， 使得QTA?1Q?E，QTBQ?diag??1，由于?E?AB?0，所以?A?1?B?0。

?，???n?， 而QT??A?1?B?Q??QTA?1Q?QTBQ??E?QTBQ?diag????1，所以QT??A?1?B?Q??A?1?BQ?????1?????2??????n?。

2由于Q?0，

?，?n为?A?1?B的特征值，也为?E?AB的实根。 所以?1，?2，2

解题技巧：在解本题时，要用到正定矩阵和对称矩阵的性质。

2.4正交矩阵

2.4.1正交矩阵的定义

如果n阶实矩阵A满足ATA?E?或AAT?E，或A?1?AT?，则称A为正交矩阵。

2.4.2正交矩阵的性质

（1）如果A是正交矩阵，则A??1；

（2）如果A是正交矩阵，则AT，A?1，A?，Ak均是正交矩阵；而lA是正交矩阵的充分必要条件是：l??1；

（3）如果A,B是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵；

（4）n阶实矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是：A的n个列（或行）向量是两两正交的单位向量。

2.4.3正交矩阵的例子

例1 （南京大学）设A为n阶实对称矩阵，S为n阶实反对称矩阵?即S??ST?，且AS?SA，A?S为满秩矩阵，试证：?A?S??A?S?为正交矩阵。

?1证：因为A?S为满秩矩阵，所以r?A?S??n，则A?S可逆。

?A?S?T?A?S??A?S??1?

?A?S??1?A?S??A?S??A?S??1，

又由AS?SA，得?A?S??A?S???A?S??A?S?。代入上式得

?1T??A?S??A?S???A?S??A?S????A?S???1T?112

第二章 几种矩阵的判定和应用 ??A?S??A?S???A?S??A?S??1T?1?E，

故?A?S??A?S?是正交矩阵。

?1例2 （中国科学院）求证：不存在正交矩阵A,B，使A2?AB?B2。 证：用反证法。若存在n阶正交矩阵A,B使A2?AB?B2， ① 式①右乘B?1得

A?B?A2B?1，

式①变形为A?A?B??B2，再左乘A?1得

A?B?A?1B2，

由于A,B是正交矩阵，从而A2B?1是正交矩阵，此即A?B是正交矩阵。类似可知A?B是正交矩阵，故有

E??A?B??A?B??2E?ATB?BTA，

TE??A?B??A?B??2E?ATB?BTA，

T两式相加得2E?4E。矛盾，即证结论。

解题技巧：利用正交矩阵性质的（2）、（3）和正交矩阵的定义来求解。

?2?12???，B?例3 （长春地质学院）设有二阶矩阵A???21??3???3??，试分别将它们0??用正交矩阵化为对角矩阵，并求正交矩阵P，使PTAP?B。

解：因为?E?A????3????1?，所以A的特征值为?1?3，?2??1。可求得正交阵

??P1?????T11212?1??2?， 1??2??30?使得PAP1???0?1??。 ①

??又因为?E?B????3????1?，所以B的特征值为?1?3，?2??1。也可求得正

交阵

??P2?????32121???2?， ?3?2??30?使得P2TBP2???0?1??。 ②

??T?1?1根据式①和②得P1TAP1?P2BP2，从而?P2P1?A?P1P2??B。

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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 令P?P1P2?1?1?3?11?3???，则P为正交阵，且PTAP?B。

?22??3?11?3?

2.5实对称矩阵

2.5.1实对称矩阵的定义

对于实矩阵A，若AT?A，则称A为实对称矩阵。 注：若A为实反对称矩阵?AT??A。

2.5.2实对称矩阵的性质

（1）实对称矩阵的特征值皆为实数；

（2）实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交；

（3）实对称矩阵可正交相似于对角矩阵，即对于任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵Q，使QTAQ?Q?1AQ为对角矩阵；

（4）若A为实对称矩阵，则存在可逆矩阵P，使得PTAP也是实对称矩阵； （5）若A为实对称矩阵，则存在为实对称矩阵B，使得A?B2（例2）。

2.5.3实对称矩阵A??aij?n?n正交相似于对角矩阵的计算方法：

?，?t是A的所有第一步：求A的特征值和对应的线性无关特征向量。设?1，?2，?，rt，且r1?r2???rt?n。又设对应特征值互异特征值，其重数分别为r1，r2，?i的ri个线性无关的特征向量为

pi1，pi2，?，piri?i?1，2，?，t?。

?，piri用Schmidt方法正交化： 第二步：当ri?1时，将特征向量pi1，pi2，?i1?pi1，?ij?pij?[pij，?i1][?i1，?i1]?i1???1[pij，?i,j?1][?i,j?1，?i,j?1]?i,j?1?j?2，?，ri?，

再单位化 qij??ij?ij1pi1?j?1，2，?，ri?，

pi1。

如果ri?1，直接将pi1单位化得qi1?第三步：构造正交矩阵

Q?q11，q12，?，q1r1，q21，q22，?，q2r2，?，qt1，qt2，?，qtrt，

????1Er1??则Q?1AQ?QTAQ??????2Er2????。 ???tErt??2.5.4有关实对称矩阵的例子

例1 试求正交的相似变换矩阵，化下列实对称矩阵为对角矩阵

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第二章 几种矩阵的判定和应用 ?5?13??211?????（1）A???15?3?；（2）A??121?。

?112??3?33?????解：（1）可求得

??5?E?A?1?3T1?33?????4????9?，

??53??3TTA的特征值为?1?0，?2?4，?3?9。对应的特征向量分别为

p1???1，1，2?，p2??1，1，0?，p3??1，?1，1?，

（它们应是两两正交的）单位化得

?1??1??1????????6???3??2?11?1??1?1?1?q1?p1??q?p?，，q?p?3322????， ??3?2p1p3p2?6????0??2??1???????????6??3?

?111????623??11??1?故正交矩阵Q???，使得 23??61??20??3??6?000????1TQAQ?QAQ??040?。

?009???

（2）可求得

??2?E?A??1?1T?1?1?1????1????4?，

2??2?1T??2A的特征值为?1??2?1，?3?4。又A对应的特征值?1??2?1的线性无关特征

1，0?，p2???1，0，1?，将其正交化 向量分别为p1???1，?11??1?p1???1，1，0?，?2?p2??1???，?,1?，

?22?[?1，?1]T[p2，?1]T?1112??11?再单位化q1??2???，?，??1???，，0?,q2???，

666?22????2?11TTA对应的特征值?3?4的特征向量为

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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 p3??1，1，1?，

T单位化得q3?1p3?111?p3???，，??。

?333?1??63?11???，使得 63?21??63??100????1TQAQ?QAQ??010?。

?004????1T?1??2??1故正交矩阵Q???2?0??

解题技巧:要将实对称矩阵A化为对角矩阵，应先通过?E?A?0来求A的特征值。若其特征值互异，则可通过解??iE?A?x?0来求对应的特征向量，然后直接将其单位化。若某一特征值有重数，则应先将其特征向量正交化，然后再单位化。

?13144???2A?142418例2 （北京航空航天大学）已知??，求满足关系X?A的实对

?41829???称矩阵X。

解：易解得A的三个特征值为1，16, 49，找出这三个特征值的特征向量，然后再单位化并组成正交矩阵Q，即有(注意到对称矩阵对应于不同的特征值的特征向量必正交，所以这里不需要正交化)

??23?2313???Q??23?1323?，

??132323???16，49?QT??Qdiag?1，4，7?QT??Qdiag?1，4，7?QT??X2， 那么有A?Qdiag?1，?320???T4，7?Q??242?。 即有X?Qdiag?1，?025???

解题技巧:通过观察A可知其为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得QDQT?A或QTAQ?D，再将对角阵D写成D02，即可得答案X?QD0QT。所以首先应求出正交矩阵Q。因为本题所求出A的特征值互异，所以其对应特征向量必正交，从而对特征向量直接单位化即可。

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