初等数学建模模型(适用于初级建模爱好者)

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一 雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花 时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。 假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一 路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是 你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。 但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力

地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

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1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略， 使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向(风),路程的远近，行 走的速度

2 模型假设及符号说明1)把人体视为长方体，身高 h 米，宽度 w 米，厚度 淋雨总量用C 升来记。 d米。

2)降雨大小用降雨强度

I

厘米/时来描述，降雨强度指单位

时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。

3)风速保持不变。4)你一定常的速度 v 米/秒跑完全程 D米。

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3 模型建立与计算1)不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 S 2 wh 2 dh wd 雨中行走的时间 t D v (秒 )(米 )2

降雨强度 I ( 厘米 / 时 ) 0 . 01 I ( 米 / 时 ) ( 0 . 01 / 3600 ) I ( m / s )C t ( I / 3600 ) 0 . 01 S ( 米 ) 10 ( D / v ) I / 3600 S (升)3

模型中 D , I , S 为参数，而

v 为变量。

结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。

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若取参数

D 1000 米 , I 2 厘米 / 小时 ,2

h 1 . 50 米 , w 0 . 50 米 , d 0 . 20 米 , 即 S 2 . 2 米 。

你在雨中行走的最大速 你在雨中行走了

度 v 6 米 / 每秒，则计算得

167 秒，即 2 分 47 秒。

从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041(升)。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。

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2)考虑降雨方向。 若记雨滴下落速度为 r(米/秒) 雨滴的密度为 p , p 1 表示在一定的时刻 在单位体积的空间

雨滴下落 的反方向

d

w

内，由雨滴所占的

v

h

空间的比例数，也 人前进 的方向 称为降雨强度系数。 所以， I rp

因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。

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顶部的淋雨量C 1 ( D / v ) wd ( pr sin )D / v 表示在雨中行走的时间 r sin 表示雨滴垂直下落的速 , wd 表示顶部面积， 度。

前表

面淋雨量C 2 ( D / v ) wh [ p ( r cos v )]

总淋雨量(基本模型)C C1 C 2 pwD v 6

( dr sin h ( r cos v ))

取参数 r 4 m / s , I 3600 2 cm / s , p 1 . 39 10

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C

6 . 95 10 v

4

( 0 . 8 sin 6 cos 1 . 5 v )

可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ,如何选择 v 使得 C 最小。 情形1

90

C 6 . 95 10

4

(

0 .8 v

1 .5 )

结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。

假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得

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C 11 . 3 10

4

m 1 . 13 升3

情形2 60

4

C 6 . 95 10

[1 . 5 ( 0 . 4 3 3 ) / v ]

结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得C 14 . 7 10 4

m 1 . 47 升3

情形3

90 180

此时，雨滴将从后面向你身上落下。C 6 . 95 10 4

[( 0 . 8 sin 6 cos ) / v 1 . 5 ]

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令 90 ,则 0 90 。

C 6 . 95 10

4

[( 0 . 8 sin( 90 ) 6 cos( 90 )) / v 1 . 5 ] 4

C 6 . 95 10

[( 0 . 8 cos 6 sin ) / v 1 . 5 ]能的。

当 0 90 时， C 可能取负值，这是不可

出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从

你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。

当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 v r sin 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是pwDh ( r sin v ) / v

淋雨总量为C pwD [ dr cos h ( r sin v )] / v

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当 v r sin 时， C 取到最小值。

C

D r sin

wdpr cos

再次代如数据，得C 6 . 95 10 4

( 0 . 8 cos ) /( 4 sin )

结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。 若雨滴是以120 的角度落下，即雨滴以 30 的角 从背后落下，你应该以 v 4 sin 30 2 m / s 的速度行走，

此时，淋雨总量为C 6 . 95 10 4

( 0 . 8 3 / 2 ) / 2 m 0 . 24 升3

这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

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当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即 v r sin 你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是pwDh ( v r sin ) / v

淋雨总量为 C pwD [ dr cos h ( v r sin )] / vC pwDr [( d cos r sin ) / v h / r ]

当 d cos r sin 0 , v 尽可能大， 当 d cos r sin 0 , v 尽可能小，

C 才可能小。 C 才可能小。

而 v r sin , 所以 v r

sin , C 才可能小。取 v 6 m / s , 30 时，

C 6 . 95 10

4

( 0 . 4 3 6 ) / 6 m 0 . 77 升。3

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4 结论若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。

5 注意 关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。 雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。

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二 席位分配问题某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，

丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？ 1 问题的提出 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则mm q p N

表示某单位的席位数 表示某单位的人数

p

N

表示总人数表示总席位数

q

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20个席位的分配结果 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 所占比例 100/200 60/200 40/200 分配方案 (50/100) 20=10 (30/100) 20=6 (20/100) 20=4 席位数 10 6 4

现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别 人数 甲 乙 丙 103 63 34 所占比例 分配方案 席位数 10

103/200=51.5% 51.5 % 20 =10.3 63/200=31.5% 31.5% 20=6.3 34/200=17.0% 17.0% 20=3.4

6 4

现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。(不公平！)

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为了在表决提案时可能出现10:10的平局，再设一个席位。21个席位的分配结果

系别 人数甲 乙 丙 103 63 34

所占比例

分配方案

席位数11 7 3

103/200=51.5% 51.5 % 21 =10.815 63/200=31.5% 31.5% 21=6.615 34/200=17.0% 17.0% 21=3.570

现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。(不公平！) 惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。

存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？

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2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。 系别 甲 乙 丙 人数 100 60 40 席位数 10 6 4 每席位代表的人数 100/10=10 60/6=10 40/4=10

系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度

甲乙 丙

10363 34

106 4

103/10=10.363/6=10.5 34/4=8.5

中差 好

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系别 人数 席位数 每席位代表的人数甲 乙 丙 103 63 34 11 7 3 103/11=9.36 63/7=9 34/3=11.33

公平程度中 好 差

一般地，

单位 人数 席位数 每席位代表的人数 AB

当

p1p2

n1

p1 n1 p2 n2

p1 n1

p2 n2

n2

席位分配公平

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但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来 判断。1) p1 n1 p2 n2 称为“绝对不公平”标 准。

此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。

单位 A

人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准 120 10 12 12-10=2

BC

100

10

10102

1020 10

D

1000 10

100

102-100 =2

C,D的不公平程度大为改善！

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qdum.html