数学（理工农医类） - 3

数学（理工农医类）

本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡是每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分．每小题有且仅有一个正确答案,请将正确答案的代号填入答题卡中.)

21．设条件p：|x|?x；条件q：x?x≥0，那么p是q的什么条件

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．非充分非必要条件

2．某质检人员从编号1～100的100件产品中抽出号码为3，7，13，17，23，27，…,93,97的产品进行检验,则这样的抽样方法为

A．简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D. 以上都可能

anaa42n22n(?1)n?a0?1?2???,(1?x)?b?bx?bx???bx0122n?x?N?? xx2xn3．x2M?NM?a0?a1?a2???an，N?b0?b2?b4???b2n，则n??M?3N的值是 记

12? A．2 B．3 C．0 D．3

limS2007S2005??2S{a}Sa??20084．设n为等差数列n的前n项的和，1，20072005，则2008=

A．-2007 B．-2008 C．2007

D．2008

5．已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|?13，c?a?3，c?b?4. 则对于任意实数t1,t2，|c?t1a?t2b|的最小值是

A．5 B．7 C．12 D．13

32?1x?(0,2)f(x)?x?3x?2,f(x)，则 6．已知函数的反函数为

13f?1()?f?1()22A．

13f?1(?)?f?1(?)22 B．

35f?1()?f?1()22 D．

13f?1()?f?1()22 C．

4?7．从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为3，则OP的距离

为

3A．2 B．3 C．2 D．2

22PF?PnF1P?x,y?x12?F1F28．双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1,F2，点nnn（n?1,2,3?）在其右支上，且满足n?12，PF，则2008的值是 A．40162

B．40152 C．4016

D．4015

9．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30?方向2km处，沙河的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km。现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物，经测算，从M到B，M到C修建公

路的费用分别是a万元/km，2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是 A．(27?2)a万元 C．(27?1)a万元

B．5a万元 D．(23?3)a万元

?x?y?2≥0??x?y?2≤0?y?0x﹑y10．已知实数满足??x?Z,y?Z?，每一对整数

?x,y?对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多

少个不同的圆

A．70 B．61 C．52 D．43 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填入答题卡中)

limx2?x?a2?|x?1|= ; 11．若a为实数，1?2i＝-2i，则x?12?ai12.若正整数m满足10?2m512010?10m?1，则m= ；（lg2?0.3）

13．用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数,其中数字1、4相邻的偶数有 个; 14．如果O是线段AB上一点，则

OB?OA?OA?OB?0，类比到平面的情形；若O是△ABC内一点，有

S?OAB?OC?S?OBC?OA?S?OCA?OB?0，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD内一点，则有 .

15．若x、（i）

y满足条件ax?y≤1(a?0)，

的轨迹形成的图形的面积为1，则a? ，

P(x,y)x2?y2?（ii）

2x?2ya的最大值为

三、解答题(本大题共6小题,共75分.请将解答过程写在答题卡上)

16.(本小题满分12分) 若m=(3sin?x,0)，n=(cos?x,?sin?x)(??0),在函数f(x)?m?（m+ n）+ t的图像中，对称

??x?[0,]3时，f(x)的最大值为1。 中心到对称轴的最小距离为4，且当

（I）求函数f(x)的解析式；

[0,]2[f(x)]?f(x)?m?03内有实根，求实数m的取值范围。 （II）若关于x的方程在

17．（本小题满分12分）2008年北京奥运会乒乓球比赛将产生男子单打、女子单打、男子团体、女子团体共四枚金牌，保守

43.,54估计中国乒乓球男队获得每枚金牌的概率均为中国乒乓球女队获得每枚金牌的概率均为

?（I）求按此估计中国乒乓球女队比中国乒乓球男队多获得一枚金牌的概率；

（II）记中国乒乓球队获得金牌的枚数为ξ，求按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ。（结果均用分数表示）

18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P?ABCD中，底面是底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上． （I）求F在何处时，EF⊥平面PBC； （II）在条件（I）下，EF是否为PC与AD的公垂线段？说明理由；

矩形且AD=2，AB?PA?2，PA⊥

若是，求出公垂线段的长度；若不是，

（III）在条件（I）下，求直线BD与平面BEF所成的角．

x2y2??14319．（本题满分12分）如图，已知椭圆的右焦点为F，过F的直线（非x轴）交椭圆于M、N两点，右准线l交x轴于点K，左顶点为A.

（I）求证：KF平分∠MKN；

（II）直线AM、AN分别交准线l于点P、Q，设直线MN的倾斜角为?，试用?表示线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小

y值.

P M

A O N F K x 12Q y?ax?1?a?0?f?x?220．（本小题满分13分）函数y?lnx关于直线x?1对称的函数为，又函数的导函数为g?x?，记

h?x??f?x??g?x?

（I）设曲线

y?h?x?21,h?1??????y2?1相切，求a的值； x?1ll在点处的切线为，若与圆

（II）求函数h?x?的单调区间； （III）求函数h?x?在[0，1]上的最大值；

21．（本小题共14分）

**已知函数y?f(x),x?N,y?N，满足：

*a,b?N,a?b，都有af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a)； ①对任意

*②对任意n?N都有f[f(n)]?3n.

*

（I）试证明：f(x)为N上的单调增函数；

（II）求f(1)?f(6)?f(28)的值；

（III）令an?f(3),n?N，试证明：

2008年普通高等学校招生全国统一考试（模拟考试） 数学（理工农医类）参考答案 1—5 ABBBC 6—10 CBCBD

n*n1111≤?????4n?2a1a2an4

11. -3 12．154 13．24 14．VO?BCD?OA?VO?ACD?OB?VO?ABD?OC?VO?ABC?OD?0

?3?2?a?3 15．(1) 2 ， (2) ?(0?a?1)(a≥1)

，

16. m+n=

(3sin?x?cos?x,?sin?x)f(x)?m

?

（m+ n）+

t=(3sin?x,0)?(3sin?x?cos?x,?sin?x)?t=3sin?x(3sin?x?cos?x)?t

3sin2?x?3sin?xcos?x?t?=

333?cos2?x?sin?x?t222

3sin(2?x?=

?3)?3?t2………4分

?2???f(x)2?4?（I） ∵对称中心到对称轴的最小距离为，∴的最小正周期T=∴，∴??1……5分 ∴

f(x)?3sin(2x??3)?3?t2……6分

33?????sin(2x??)??,???2x????,?x?[0,]3223?33?，?? 3时，当

??f(x)??t,3?t?，?f(x)max?1?3?t?1,?t??2

f(x)?[?2,1],f(x)?3sin(2x??3)?12…8分

（II）由(1)得

1?f2(x)?f(x)?[?,2]4.?方程

f2(x)?f(x)?m?0有实

1?m?[?2,]4 ………………………………… 12分 根,

17．解：（I）设中国乒乓球男队获0枚金牌，女队获1枚金牌为事件A，中国乒乓球男队获1枚金牌，女队获2枚金牌为事件B，那么，

3??4?13?3??4??4?1?3???C?1???????1???C2????1??????P(A?B)?P(A)?P(B)?4??5??5??4??4??5?50 …5分

1222 （II）根据题意中国乒乓球队获得金牌数是一随机变量ξ， 它的所有可能取值为0,1,2,3,4

（单位：枚）。那么，

341P(??0)?(1?)2?(1?)2?,45100334344711P(??1)?C2(1?)?()?(1?)2?C2(1?)2?()?(1?)?,445455200334434347311P(??2)?C2?C2(1?)?()?(1?)?()?(1?)2?()2?()2?(1?)2?,4455454540033444211132P(??3)?C2(1?)?()?()2?C2()?()?(1?)?,44545550349P(??4)?()2?()2?,4525

则概率分布为： ξ 0 1 2 3 4 P 1400 7200 73400 2150 925 ……………10分 那么，所获金牌数的数学期望

E??0?177321931?1??2??3??4??400200400502510（枚）

31答：中国乒乓球队获得金牌数的期望为10枚。 ………………12分

18．（I）以A为坐标原点，分别以射线AD、AB、AP为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0, 0, 0), P(0, 0,2), B(0,2, 0), C(2,2, 0), D(2, 0, 0), E(1, 0, 0)，

∵F在PC上，∴不妨令PF??PC， 设F(x,y,z)，BC?(2, 0, 0)，PC?(2,

2, ?2), EF?(x?1, y, z)，

∵EF⊥平面PBC，∴EF?BC?0，EF?PC?0

又∵PF??PC，∴

??21y?z?2， 2，x=1，

故F为PC的中点…………………………………………………………… 4分

（II）由(1)可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，∴EF是PC与AD的公垂线段，

∵

??

2221

y?z?)2，∴EF?(0, 2, 2，即|EF|?1………8分 2，x=1，

（3）由(1)可知PC?(2,

2, ?2)，且PB?BC?2，F为PC的中点，

∴PC⊥BF，又∵EF⊥PC，∴PC为平面BEF的一个法向量， 而BD?(2, ?2, 0)，设BD与平面BEF所成角为?， sin??cos?BD,PC??BD?PC|BD|?|PC|?36则，

∴

??arcsin33arcsin6，故BD与平面BEF所成的角为6。………………12分

19．解：（I）法一：作MM1⊥l于M1，

|MF||M1K|?|NF||N1K|，

NN1⊥l于N1，则

又由椭圆的第二定义有

|MF||M1M||N1K||M1K|??|NF||N1N|∴|NN1||MM1|∴∠KMM1=∠KNN1，即∠MKF=∠NKF，

∴KF平分∠MKN………………………………5分 法二：设直线MN的方程为x?my?1.

?x?my?1?2?(3m2?4)y2?6my?9?0y2?x??1?(x,y),(x,y)4322, 由?设M、N的坐标分别为11 y1?y2??6m9,yy??123m2?43m2?4

∴

设KM和KN的斜率分别为k1,k2，显然只需证k1?k2?0即可.

∵K(4,0) ∴

k1?k2?y1y2xy?xy?4(y1?y2)??2112x1?4x2?4(x1?4)(x2?4)

而x2y1?x1y2?4(y1?y2)?(my2?1)y1?(my1?1)y2?4(y1?y2)

?2my1y2?3(y1?y2)?2m??9?6m?3??0223m?43m?4即k1?k2?0 得证.

(4,（II）由A，M，P三点共线可求出P点的坐标为

6y1)2?x1

(4,由A，N，Q三点共线可求出Q点坐标为

6y2)2?x2，……………………7分

?x?my?1?2?(3m2?4)y2?6my?9?0y2?x??1?x?my?13设直线MN的方程为.由?4 y1?y2??6m9,yy??123m2?43m2?4…………………………………………9分

∴

|PQ|?则：

18(6y16y26[2(y1?y2)?x2y1?x1y2]18(y1?y2)???22?x12?x24?2(x1?x2)?x1x2my1y2?3m(y1?y2)?9

6m236)?3m2?43m2?4??61?m2?9?6mm2??3m??93m2?43m2?4……………………………………11分

又直线MN的倾斜角为?，则m?cot?,??(0,?)，∴

|PQ|?61?cot2??6sin?

??∴

?2时，|PQ|min?6………………………………………………………………12分

20．解：（I）由题意得f(x)?ln(2?x),g(x)?ax,?h(x)?ln(2?x)?ax.……（2分）

?h?(x)?a?

1,过(1,h(1))x?2点的直线的斜率为a－1，

?过(1,h(1))点的直线方程为y?a?(a?1)(x?1).

|1?a?1|

又已知圆心为（－1，0），半径为1，由题意得

(a?1)?12?1,解得a?1.…（4分）

ax?2a?111h?(x)??a[x?(2?)]?,函数定义域为(??,2).?ax?2ax?2 （II）

?0,?2?1?2.a……（5分）

11h?(x)?0,解得x?2?;令h?(x)?0,解得2??x?2,aa令……（7分）

11(??,2?)是h(x)的增区间,(2?,2)是h(x)的减区间.aa所以，…………（8分）

（III）①当

2?11?0,即0?a?时,h(x)在[0,1]上是减函数,a2

?h(x)的最大值为h(0)?ln2.…………（9分）

②当

0?2?1111?1,即?a?1时,h(x)在(0,2?)上是增函数,在(2?,1)上是减函数a2aa，

11?当x?2?时,h(x)的最大值为h(2?)?2a?1?lna.aa…………（11分）

③当

2?1?1,即a?1时,h(x)在[0,1]上是增函数?h(x)的最大值为h(1)?a. a

10?a?时,h(x)2综上，当的最大值为ln2； 1?a?1时,h(x)当2的最大值为2a?1?lna；

当a?1时,h(x)的最大值为a. …………（13分）

*a,b?N,a?b，都有(a?b)(f(a)?f(b))?0， 21．解：（I）由①知，对任意*

由于a?b?0，从而f(a)?f(b)，所以函数f(x)为N上的单调增函数.………3分

（II）令f(1)?a，则a…1，显然a?1，否则f(f(1))?f(1)?1，与f(f(1))?3矛盾.从而a?1，而由f(f(1))?3,即得f(a)?3.

又由（I）知f(a)?f(1)?a，即a?3.

*于是得1?a?3，又a?N，从而a?2，即f(1)?2. …………5分

进而由f(a)?3知，f(2)?3. 于是f(3)?f(f(2))?3?2?6, ………7分 f(6)?f(f(3))?3?3?9, f(9)?f(f(6))?3?6?18,

f(18)?f(f(9))?3?9?27, f(27)?f(f(18))?3?18?54, f(54)?f(f(27))?3?27?81, 由于54?27?81?54?27,

而且由（I）知，函数f(x)为单调增函数，因此f(28)?54?1?55. 从而f(1)?f(6)?f(28)?2?9?55?66. ………… 9分

nnn?1f(a)?f(f(3))?3?3?3n（III）,

an?1?f(3n?1)?f(f(an))?3an，a1?f(3)?6.

即数列 ∴

{an}是以6为首项, 以3为公比的等比数列 .

…………11分

an?6?3n?1?2?3n(n?1,2,3?)11(1?n)111111113?1(1?1)?????(?2???n)??3n1111a1a2an2333243(1?n)?1?4 …12分 33于是,显然4另一方面

12n3n?(1?2)n?1?Cn?2?Cn?22???Cn?2n…1?2n,

1111n(1?n)…(1?)?342n?14n?2. 从而4综上所述, . ……14分

2008年普通高等学校招生全国统一考试（模拟考试） 数学答题卡（理科）

姓 名 准考证号 贴条形码区 考生禁填写：缺考考生，监考员用2B 铅笔填涂右面的缺考标记 填涂样例 正确填涂 注 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 意 选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5mm黑色 签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 事 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 项 保持卡面清洁，不要折叠、不 一、选择题 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 二、填空题 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题 16、 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 续16. n1111??????4n?2a1a2an4 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 17. 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 18. 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效

请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 19. A yM F O N Q P K x 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 20. 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效 21． 请在各题目的答题区内作答，超出黑色矩形框限定区的答案无效。Zheng

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