2012高考立体几何冲刺复习（精选历年高考题）

2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编

立体几何

一、选择题:

1（ 2010年高考全国卷I理科7）正方体

ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦

值为 A

2362 B C D 3333D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面

D1 A1

D A

O C B B1

C1

ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等,设DO⊥

11S?ACD1?DO?S?ACD?DD1.设DD1=a, 33平面ACD1，由等体积法得VD?ACD1?VD1?ACD,即则S?ACD1?1133211AC?AD1sin60???(2a)2??a,S?ACD?AD?CD?a2. 222222S?ACD?DD1a33DO3??asin???D所以DO?,记DD与平面AC所成角为,则,所以?112S?ACD13DD133acos??6. 32（ 2010年高考全国卷I理科12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为 (A)

234383 (B) (C) 23 (D) 333B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有

1

43112. V四面体ABCD??2??2?h?h,当直径通过AB与CD的中点时,hmax?222?12?23,故Vmax?3323

4（2010年高考四川卷理科11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面?，垂足为B， BCD是平面?内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是

?（A）Rarccos（C）

1718 （B）Rarccos 2525w_w_w.k*s 5*u.c o*mA14?R （D）?R 315解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝

12 w_w_w.k*s 5*u.c o*m

Ocos∠BAC＝25 5?BMCND连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝4545R，同理AN＝R，且MN∥CD 55 w_w_w.k*s 5*u.c o*m而AC＝5R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC

w_w_w.k*s 5*u.c o*m? MN＝

4R， 5连结OM、ON，有OM＝ON＝R

OM2?ON2?MN217?于是cos∠MON＝

2OM?ON25所以M、N两点间的球面距离是Rarccos1725 w_w_w.k*s 5*u.c o*m

答案：A

5(2010年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (

2

A) ?a

2(B)

72?a 3(C)

112?a (D) 5?a2 3【答案】B

解析：如图，P为三棱柱底面中心，O为球心，易知

2331AP??a?a,OP?a，所以球的半径R满足：

3232R2?(321272a)?(a)?a，故S3212722?4?R??a． 球36（2010年高考北京卷理科8）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 【答案】D

解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，?EFQ1的面积永远不变，为面A1B1CD面积的4，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导

致四面体体积的变化。

7、(2010年高考全国2卷理数11）与正方体ABCD?A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个

3

8、(2010年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

（A） 直线 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D） 双曲线 【答案】D

解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B

9（2010年高考辽宁卷理科12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)（0,6?2） (B)（1,22） (C) (6?2,6?2） (D) （0,22） 【答案】A

4

二、填空题： 10、(2010年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm． 【答案】4

4【解析】设球半径为r，则由3V球?V水?V柱可得3??r3??r2?8??r2?6r,解得r=4.

3

11、(2010年全国高考宁夏卷14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种） 【解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等．

12、（2010年高考江西卷理科16）如图，在三棱锥O?ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直， 且OA?OB?OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平 分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的 大小关系为 ． 【答案】S3?S2?S1

13、（2010年高考浙江卷12）若某几何体的正视图（单位：cm）如图所示，

3

则此几何体的体积是_______cm. 【答案】144 14、（2010年高考辽宁卷理科15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______. 【答案】23

ABOC

5

面AEC外一点F满足FB?DF?5a，FE=6a ．

图

（1）证明：EB⊥FD；

（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ?22FE,FR?FB,求平面BED与平面33RQD所成二面角的正弦值．

【解析】

（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG. 由BQ=

22FE,FR=FB知, QR||EB. 33而EB?平面BDF，∴QR||平面BDF， 而平面BDF?平面RQD= DG， ∴QR||DG||EB.

11

由（1）知，BE?平面BDF，∴DG?平面BDF， 而DR?平面BDF，BD?平面BDF， ∴DG?DR,DG?DQ，

∴?RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角． 在Rt?BCF中，CF?BF2?BC2?(5a)2?a2?2a，

sin?RBD?FC2a212，cos?RBD?1?sin?RBD?． ??BF5a55

52a?35?229．

sin?RDB?2929a3故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是229． 2920如图，四棱锥S-ABCD中，SD?底面ABCD，AB//DC，AD?DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

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【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【解析】解法一：

(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,

由此知 DG?GC?BG?1,即?ABC为直角三角形，故BC?BD. 又SD?平面ABCD,故BC?SD,

所以，BC?平面BDS,BC?DE. 作

BK?EC,K为垂足，因平面EDC?平面SBC，

(Ⅱ) 由SA?SD2?AD2?5,AB?1,SE?2EB,AB?SA,知

22?1??2?AE??SA???AB??1,又AD=1.

?3??3?故?ADE为等腰三角形.

取ED中点F,连接AF,则AF?DE,AF?连接FG，则FG//EC,FG?DE.

所以，?AFG是二面角A?DE?C的平面角. 连接AG,AG=2,FG?AD2?DF2?6. 3DG2?DF2?6, 313

AF2?FG2?AG21cos?AFG???,

2?AF?FG2所以，二面角A?DE?C的大小为120°.

解法二：

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D?xyz，

由m?DE,m?DC,得

m?DE?0，m?DC?0 故

?x?y2z???0,2y?0. 1??1??1??令x?2，则m?(2,0,??).

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