2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练19 等比数列的运算和性质

考点19 等比数列的运算和性质

【考点分类】

热点一 等比数列的基本计算

1.【2013年全国高考新课标（I）文科】设首项为1，公比为

2的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（ ） 3（A）Sn?2an?1 （B）Sn?3an?2 （C）Sn?4?3an （D）Sn?3?2an

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（ ） A.-24

B.0

C.12

D.24

3.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （ （A）

）

（B）-

（C）

（D）-

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】设数列{an}是首项为1，公比为?2的等比数列，则

a1?|a2|?a3?|a4|? .

5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】

已知等比数列?an?是递增数列,Sn是?an?的前n项和.若a1，a3是方程

x2?5x?4?0的两个根，则S6? .

6【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】若等比数列{an}满足a2?a4?20，a3?a5?40，则公比q?_____;前n项Sn?_____.

7.（2012年高考（浙江理））设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}.若S2?3a2?2,S4?3a4?2, 则q =______________. 3【答案】

2

28．（2012年高考（辽宁理））已知等比数列?an?为递增数列,且a5?a10,2(an?an?2)?5an?1,则数列的通项

公式an?______________.

9．（2012年高考（北京文））已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是 A．a1?a3?2a2 C．若a1?a3,则a1?a2

222B．a1 ?a3?2a2（ ）

[来源学。科。网Z。X。X。K]

D．若a3?a1,则a4?a2

10．（2012年高考（辽宁文））已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(a n+a n+2)=5a n+1 ,则数列{an}的公比 q = ___________.

11．（2012年高考（课标文））等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=_______.

12．（2012年高考（江西文））等比数列?an?的前n项和为Sn,公比不为1.若a1?1,且对任意的n?N都

*有an?2?an?1?2an?0,则S5?_________________.

13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】在等比数列{an}中，a2?a1?2，且2a2为3a1和a3

的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和.

14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】 已知等比数列{an}满足：|a2?a3|?10，a1a2a3?125. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m，使得

11??a1a2?1?1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由. am

【方法总结】

1.对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．

2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公式q是否等于1的判断和讨论．

3.关于等比数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，忽略根的符号的判断，导致出错；二是不能灵活利用等比数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大了运算量．

[来源学_科_网Z_X_X_K]

热点二 等比数列性质的应用

15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= .

16.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】在正项等比数列{an}中，a5?1，a6?a7?3. 则满足2a1?a2?????an?a1a2???an的最大正整数n的值为 .

17．（2012年高考（新课标理））已知?an为等比数列,a4?a7?2,a5a6??8,则a1?a10?（ ） A．7

B．5

C．??

D．??

?

18．（2012年高考（安徽理））公比为32等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11?16,则（ ） A．4

B．5

C．?

D．?

19．（2012年高考（广东文））(数列)若等比数列?an?满足a2a4?12a5?_________. ,则a1a32

20.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】已知首项为Sn(n?N*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.

3的等比数列{an}不是递减数列, 其前n项和为2(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设Tn?Sn?1(n?N*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn

【方法总结】

1.等比数列的单调性．

??a1>0(1)?

??q>1

??a1<0

或???0

??a1>0

(2)?

?0

??a1<0

或?

?q>1?

?{an}为递增数列；

?{an}为递减数列；

(3)q＝1?{an}为非零常数列； (4)q<0?{an}为摆动数列． 2．等比数列其他性质．

12

(1)若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an}，{}也是等比数列，若{bn}是等比数列，则{an·bn}

an也是等比数列．

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍成等比数列． (3)若等比数列{an}的项数为2n，则an(4)a＝qn－m(m，n∈N*)

m

S偶S奇

＝q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和．

热点三 等比数列定义以其应用

21.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知数列{an}满足3an?1?an?0，a2??前10项和等于（ ）

10A．?6(1?3?10) B．(1?3) C．3(1?3?10) D．3(1?3?10)

4，则{an}的319

22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】 已知等比数列?an?的公比为q，记

bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?????am(n?1)?m，bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?????am(n?1)?m，?m,n?N*?，则以下结论一定正确的

是（ ）

A. 数列?bn?为等差数列，公差为qm B. 数列?bn?为等比数列，公比为q2m C. 数列?cn?为等比数列，公比为qm D. 数列?cn?为等比数列，公比为qm

2

m[来源学_科_网]

cn?1amn?1amn?2?cnam(n?1)?1am(n?1)?2amn?mmmm2m2m2??q??q，所以等比，且以qq为公比.

am(n?1)?m(0,??)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an}, {f(an)}仍

(0,??)上的如下函数:①f(x)?x2; ②f(x)?2x;

23．（2012年高考（湖北理））定义在(??,0)是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”. 现有定义在(??,0)③f(x)?|x|; ④f(x)?ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 （ ） A．① ②

B．③ ④

C．① ③

D．② ④

24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n?N?)等于 .

25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】设{an}是公比为q的等比数列.

(Ⅰ) 推导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{an?1}不是等比数列.

26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 设Sn表示数列{an}的前n项和.

(Ⅰ) 若{an}为等差数列, 推导Sn的计算公式;

1?qn (Ⅱ) 若a1?1,q?0, 且对所有正整数n, 有Sn?. 判断{an}是否为等比数列. 并证明你的结论.

1?q解：(Ⅰ)解法一：设{an}公差为d,，则

Sn?a1?a2??an?a1??a1?d???a1?2d????????a1??n?1?d??

又Sn?an??an?d???an?2?2d????????an??n?1?d??

?2Sn?n?a1?an?

?Sn?n?a1?an? 2

【方法总结】

1.等比数列的判定方法：

an＋1an

(1)定义法：若a＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．

nan－1(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． n＋1＝an·

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．

2．解决与等比数列有关问题的常见思想方法：

a1na1x

(1)函数思想：在等比数列{an}中，an＝q·q，它的各项是函数y＝q·q图象上的一系列孤立的点．

(2)方程思想：准确分析a1，q，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”． (3)分类讨论思想：无论是等比数列的前n项和公式的给出，还是等比数列单调性的划分都体现了分类讨论思想的具体运用．

(4)类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．(5)整体思想：等比数列{an}的前n项和a1－anqa1a1na1公式Sn＝＝－·q(q≠1)，常把视为一个整体，其前n项和公式可写成Sn＝k－kqn，

1－q1－q1－q1－qa1k＝(q≠1)的形式，这对于解答选择题、填空题是很有帮助的． 1－q

【考点剖析】

一．明确要求

1.理解等比数列的概念．

2．考查通项公式、前n项和公式以及性质的应用．

3．以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定． 二．命题方向

1.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点．

2.客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法． 3．题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高. 三．规律总结 一个推导

利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，

同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn， a1－qn

两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1q，∴Sn＝(q≠1)．

1－q

n

两个防范

(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误． 三种方法

等比数列的判断方法有：

an＋1an

(1)定义法：若a＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．

an－1n(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． n＋1＝an·

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．注：

前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．

【考点模拟】

一．扎实基础

1. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知正数数列{an}是等比数列，若a3?a11?16，a5?1，则公

比q=（ ） A．2 B．【答案】A

2【解析】a3a11?a7?16?a7?4?a5?q2?q?2.

12 C．2 D． 222. 【河北省邯郸市2013年高三第二次模拟考试】设数列{an}是以2为首项， 1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则

ba1?ba2?????ba6等于（ ）

A. 78

B. 84

C. 124

D. 126

3. 【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n

＝14，则S4n等于（ ） A．80

B．30 C．26 D．16

4. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】已知在等比数列?an?中， a1?a3?10,a4?a6?数列的公比为（ ） A.

5，则该等比41 4 B.

1 2 C.2 D.8

5. 【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】 在正项等比数列?an?中，a1和a19为方

程x2?10x?16?0的两根，则a8a10a12?( ) (A)16 (B)32 (C)64 (D)256

3∴a8a10a12?a10?64.选

C.

6. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3?4，a4a5a6?12，

an?1anan?1?324，则n?（ ）

A. 11

B. 12

C. 14

D. 16

7. 【河南

中原名校2012—2013学年度第一学期期中联考】[在等比数列{an}中，若a3=－9，a7=－1，则a5的值等于（ ）

A．3或－3

B．3

C．－3

D．不存在

8. 【2013年浙江省高考测试卷】设数列{an}（ ） A．若an2?4n,n?N*，则{an}为等比数列

2*B．若an?an?2?an?1,n?N，则{an}为等比数列

C．若am?an?2m?n,m,n?N*，则{an}为等比数列 D．若an?an?3?an?1?an?2,n?N*，则{an}为等比数列

D．若

9. 【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】在等比数列{an}中，a1=1,a4=-4，则公比q= ，2a1+a2+a3+L+an= .

10. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】 等比数列{an}中，a1?a2?20,a3?a4?40，则a5?a6等于 .

二．能力拔高

11. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试】在等比数列{an}中,若a3a5a7?8,则a2a8?

（ ）

A．4 B ．?4 C ．2 D．?2 【答案】D

【解析】由a3a5a7?a53?8，所以a5?8，a2?a8?a52?4，故选D

12. 【2013年安徽省安庆市高三模拟考试（三模）】 在正项等比数列{an}中，lga3?lga6?lga9?3 ,则a1a11的

值是 ( )

A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10

113. 【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Tn为数列{}的前n

an155，T4?，则a1a4等于（ ） 834359A． B． C． D．

3488项和，若S4?

14. 【东北三校2013届高三4月第二次联考】已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a3a5?9a4与a7的等差中项为，则S5等于( )

8A．35 B．33 C．31 D．29

1a1，且4

115. 【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】等比数列{an}中a1?512，公比q??，

2记?n?a1?a2?是（ ）

A． B． 2 C． 3 D． 4

，?8 ，?9，?10，?11中值为正数的个数 ?an（即?n表示数列{an}的前n项之积）

16. 【北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考】

已知数列{an}为等比数列，a4?a7?2，a5?a6??8，则a1?a10的值为（ ）

A．7

B．?5

C．5

D．?7

17.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】

已知{an}是等比数列, a2?2,a5?A. [12,16) 【答案】C

1，则a1a2?a2a3?4321632B.[8,16) C.[8,) D. [,)

333?anan?1(n?N?)的取值范围是（ ）

18[1?()n]11n?14?32[1?(1)n]?[8,32). 【解析】依题意知q?，a1?4，∴anan?1?8()∴原式=1243431?418. 【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】设等比数列{an}的前n项积为Tn，（n?N*），已知

am?1am?1?2am?0，且T2m?1?128，则m= .

19. 【陕西省宝鸡市2013届高三3月份第二次模拟考试】

已知在公比不等于1的等比数列{a}中，a2,a8,a5成等差数列.

n（1） 求证：s4,s10,s7成等差数列；

（2） 若a1?1，数列{an}的前项和为Tn，求证：Tn?2

3解得q3?1(舍去)，q3=-

1. (10分) 2

11?|?|n2 =2[1?(1)n]<2 . (12分) ∴Tn=

121?|?|220. 【江西师大附中、鹰潭一中2013届四月高三数学】

2各项均为正数的数列?an?前n项和为Sn,且4Sn?an?2an?1,n?N?.

[来源:Zxxk.Com]

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)已知公比为q(q?N?)的等比数列?bn?满足b1?a1，且存在m?N?满足bm?am,bm?1?am?3,求数列?bn?的通项公式.

三．提升自我

21. 【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】

已知等差数列?an?首项为a，公差为b，等比数列?bn?首项为b，公比为a，其中a,b 都 是大于1的正整数，且a1?b1,b2?a3，对于任意的n?N，总存在m?N，使得am?3?bn成立，则an? ． 【答案】5n-3

【解析】∵a1?b1,b2?a3∴a?b以及ab?a?2b，则b?a?2??a?b， ∴a?2?1?a?3，a是大于1的正整数得a=2．

**

122. 已知an?()n，把数列?an?的各项排列成如下的三角形状，

3

记A（m,n)表示第m行的第n个数，则A（=（ ） 10,12）939294112（）（）（）（） A. B. C. D.

1313131323. 已知等比数列?an?满足2a1?a3?3a2，且a3?2是a2，a4的等差中项.

（Ⅰ）求数列

?an?的通项公式；

1，Sn?b1?b2?????bn，求使 Sn?2n?1?47<0 成立的正整数n的最小值. an（Ⅱ）若bn?an?log2

24. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n(n?N*) （1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3； （2）求证：数列{an?2(?1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式. 3

25. 【黔东南州2013年5月高三年级第二次模拟考试】设数列{an}满足：a1?1,点?an,an?1?(n?N*)均在直线

y?2x?1上.

（I）证明数列{an?1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式; （II）若bn?log2(an?1),求数列?an?1??bn的前n项和Tn.

???Tn?1?21?1?22?1?23?2(1?n2)?n?2n?1 ?1?2·························································· 10??1?2n?n?2n?1 ·

[来源学科网]

??······································································································ 11? 2?(n?1)?2 ·

n?1

故Tn?(n?1)?2n?1?2 12?

【考点预测】

1. 已知等比数列an?公比为q，其前n项和为Sn，若S3,S9,S6成等差数列，则q3等于（ ） A.??111 B.1 C.?或1 D.?1或 222

2. 已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7?a11的最小值为（ ）

A．16

B．8

C．22 D．4

3. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(?x)?f(x)，f(?2)??3，数列?an?满足a1??1，且（其中Sn为?an?的前n项和）.则f(a5)?f(a6)? （ ） Sn?2an?n，A．3 【答案】A

B．?2 C．?3

D．2

32

4. 设数列?an?的前n项的和为Sn，且a1?1,an?1?3Sn?n?1,2,????，则log2S4等于_ _.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qdj5.html