2010-2011中考数学压轴题(备战2012)

A组 1．（2011·陕西） 如图，二次函数y?23x—213x的图像经过△AOC的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n)

一、求A、B的坐标

二、在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形

三、这样的点C有几个？ 四、能否将抛物线y?23x—213x平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C

两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。

1

2．（2011·陕西）

如图①、在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形

(2)如图②、甲在矩形ABCD,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标； （3）、如图③，在矩形ABCD中， AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？ 若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？

图① 图② 图③

2

3．（2010·陕西省）

问题探究

（1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； ．．

（2）如图②，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

问题解决

（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4．开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由． y

C C D D M

A ①

B

A ②

B O ③ H D P C B x

3

4．（2010·江苏省连云港市）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们

把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．

（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_____________；

（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有

S梯形ABCD＝S△AED．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；

（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，且S△ACD＞S△ABC ，过点A能否作出四

边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由； （4）如图3，四边形ABCD是任意凸四边形，P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），

请画出过点P的面积等分线．

B A

B P A

A B

C D E C D C 图2 图1 图3

D 4

5．（2010·重庆市潼南县）如图，已知抛物线y＝

12x＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交

2

于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

y y D B O C E A x B O C A x 备用图

5

6．（2010·安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′． （1）求折痕所在直线EF的解析式；

（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式； （3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，

433，

说明理由．

6

y B C F E O A x

7．（2010·河南省）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

A M O B C x y

7

8．（2010·河南省）如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝6），B（a，3）两点． （1）求k1、k2的值； （2）直接写出k1x＋b－

k2xk2x（x＞0）的图象交于A（1，

＞0时x的取值范围；

（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB＝CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

y A B C P O E D x 8

9．（2010·浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝

14x＋1，点C

2

的坐标为（－4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．

y （1）写出点M的坐标；

（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．

①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； ②当梯形CMQP的两底的长度之比为1 :2时，求t的值．

Q

9

B 1 M A x P C O 1

10．（2010·吉林省）如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．AD＝2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M．若点P在线段AE上运动时，点Q也

2

随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm．设EP＝x cm，FQ．．＝y cm，解答下列问题：

（1）直接写出当x＝3时y的值；

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？ （4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积． A D

10

A D P Q B

C

B

C

E

图①

F E F

（备用图）

11．（2010·江苏省苏州市）如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）． （1）求抛物线的解析式；

（2）设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA ＋PB ＋PM ＞28是否总成立？请说明理由．

O A x B 2

2

2

y

11

12．（2010·湖南省长沙市）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝82cm，OC＝8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S； y （2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝

14x＋bx＋c经过

2

C B B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

Q O P A x

12

13.（2011?临沂）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13

14．（2010·湖北省荆门市）已知：如图一次函数y＝轴交于点B；二次函数y＝

122

12x＋1的图象与x轴交于点A，与y

12x＋bx＋c的图象与一次函数y＝

x＋1的图象交于B、C两点，

与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

C 2 y B x A O D E

14

15.（2011?菏泽）如图，抛物线y=x+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD2

的值最小时，求m的值．

15

16．（2010·湖北省宜昌市）如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx＋nx＋k＝0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S⊙O，矩形PDEF的面积为S矩形PDEF．

（1）求证：以a＋h为边长的正方形面积与以a，h为边长的矩形面积之比不小于4；

2

（2）求（3）当

S⊙O

S矩形PDEFS⊙O

的最小值；

的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP于Q，这时线段AQ的长与m，

S矩形PDEF

n，k的取值是否有关？请说明理由． A F P

B

E D C 图（1）

16

A B

（供画图参考）

C 图（2）

178．（2010·湖北省黄冈市）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（米/秒）与时间t（秒）的关系如图a，A（10，5），B（130，5），C（135，0）． （1）求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；

（2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）； （3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135），与图a的图象相交于P、Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；

（4）由（2）（3），直接猜出在t时刻，该同学离开家所走过的路程与此时S的数量关系．

v(m/s) 5 A B

0 10 130 C t(s)

图a

17

v(m/s) x5 A =t P B 0 10 Q 130 C t(s)图b

B组

1.（2011?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上． （1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

（3）已知?AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方

向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

18

2.（2011?河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点

为 A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）． （1）求c，b （用含t的代数式表示）：

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； ②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，

有；

（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

19

3．（2011?江苏泰州）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。 （1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；

（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。

20

4．（2011?江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多

少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型:设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y?2(x?探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y?x?① 填写下表，画出函数的图象：

x …… y ……

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还

可以通过配方得到．请你通过配方求函数y?x?1x2

ax)(x＞0)．

1x (x＞0)的图象性质．

y 5 4 14 13 12 1 2 3 4 …… …… 3 2 1 －1 O －1 1 2 3 4 5 x (x＞0)的最小值．

解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

21

5．（2011?江苏无锡）(本题满分10分)十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表： 税现行征税方法 税率 5％ 10％ 15％ 20％ 25％ 草案征税方法 速算扣除数 月应纳税额x 0 25 125 375 1375 x≤1 500 1500

例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：

方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5％+1500×10％十600×15％=265(元)． 方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即2600×15％一l25=265(元)。 (1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；

(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元? (3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不 变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元?

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6、（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点． （1）求此抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长； （3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC

边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说

明理由．

23

7.（2011?重庆江津区）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB=y米，BC=x米．（注：取 π=3.14） （1）试用含x的代数式表示y；

（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；

①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；

②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？

③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由．

24

8、（2011?湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1． （1）求B点坐标；

（2）求证：ME是⊙P的切线；

（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点， ①求△ACQ周长的最小值；

②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．

25

9.（2011?山东滨州）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米． （1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）

（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）

26

10.（2011?山东泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

27

11．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；

（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一

点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．

28

12. （2011?日照）如图，抛物线y=ax+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交2

抛物线于另一点C．

（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

29

13. （2011?衢州）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式； （2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；

（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

30

14.（2011·上海）（本题满分12分，每小题满分各4分）

已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数y?3x?3的图像与y轴交于点A，点M

4在正比例函数y?3MO＝MA．二次函数

2x的图像上，且y＝x2

＋bx＋c的图像经过点A、M．

（1）求线段AM的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数y?34x?3的图

像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

31

15.（2011·上海）

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin?EMP?（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（定义域即函数自变量取值范围）

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），1213．

求AP的长．

32

16．（2010·上海市）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P． （1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值； （3）若tan∠BPD＝，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．

31

B D E C 图1

A D A E D A E C 图3（备用）

P B C 图2（备用）

P B P 17.（2011?重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB

的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动

33

时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

34

18．（2010·湖北省黄冈市）已知抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点

2

O．过抛物线上一点P（x，y）向直线y＝（1）求字母a，b，c的值； （2）在直线x＝1上有一点F（1，

3454作垂线，垂足为M，连FM（如图）．

），求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，

并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

35

y M y＝5

4F N O x＝1 P x

19．（2011·湖北省黄冈市）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线y?1x交

2于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．

⑴求b的值． ⑵求x1?x2的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

20.(2011·天津)

36

4y F N M O x l M1 F1 N1 第24题图

已知抛物线C1：y1?12x?x?1．点F(1，1)．

2 (Ⅰ) 求抛物线C1的顶点坐标；

(Ⅱ) ①若抛物线C1与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：

1AF?1BF?2

②抛物线C1上任意一点P（xP，yP）)（0?xP?1）．连接PF．并延长交抛物线C1于点Q（xQ，yQ），试判断

1PF?1QF?2是否成立？请说明理由；

12 (Ⅲ) 将抛物线C1作适当的平移．得抛物线C2：y2?恒成立，求m的最大值．

若2?x?m时．(x?h)，y2?x2

C组

1．（2011?江苏淮安）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：

37

（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；

…

现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC． 经探究知S四边形1

＝ S△ABC，请证明． P1P2R1R23

A

P1 R1 R2 图1

D C

Q1

图2

Q2

P2 B

A P1 R1

R2

C

P2 B

问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究

S四边形P1Q1Q2P2与S

四边形ABCD

之

间的数量关系．

问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若 S四边形ABCD＝1，求S四边形P2Q2Q3P3．

A

P P4 P1 P2 3

B

问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3

将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．

D A

P1 P2 P3 S4 C

B

S1 S2 S3

Q1

Q2 图3

Q3 Q4 C D Q1

Q2 图4

Q3

2.（2011?重庆綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC

38

的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

3.（2011?湖北宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n

39

相交于两点，这两点的坐标分别是（0，﹣）和（m﹣b，m﹣mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且 a，m不为 0． （1）求c的值；

（2）设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1?x2的值； （3）当﹣1≤x≤1时，设抛物线y=ax+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时丨2

2

y0丨的最小值．

4.（2011?山东潍坊）如图，y关于x的二次函数y=﹣

（x+m）（x﹣

40

3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0） （1）写出A、B、D三点的坐标；

（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．

5．（2010·河南） （1）操作发现·

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 A

41

E D F

G B C

保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求（3）类比探究

ADAB的值；

保持（1）中的条件不变，若DC＝n·DF，求

6. （2011?台北）

ADAB的值．

图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面

显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分。如图(十七)，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分？

42

7．（2010·安徽省合肥一中自主招生）如图1，在△ABC中，AB＝BC，且BC≠AC，在△ABC上画一条直线，若这条直线既平分△ABC的面积，又平分△ABC的周长，我们称这条线为△．．ABC的“等分积周线”．

（1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”；

（2）在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请

43

说明理由；

（3）如图2，若AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法． A A

8．（2010·安徽省合肥一中自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）． （1）若点P以

34B 图1

C

B 图2

C

cm/s的速度运动

44

①当PQ∥AB时，求t的值；

②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由． （2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相

切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．

A A

P

9．（2010·浙江省嵊州市普通高中提前招生）

如图1至图4，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2均表示⊙O与线段AB、BC或弧AB相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c，请阅读下列材料：

①如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周． ②如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滚动，在点B处，必须由⊙O1

C

Q

B

C

备用

B

45

的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转

解答以下问题：

n360周．

O1 O1 A O O2 A B

图1

图2 O2 D B n° C

（1）在阅读材料的①中，若AB＝2c，则⊙O自转__________周；若AB＝l，则⊙O自转__________周．在阅读材料的②中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转__________周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转__________周．

（2）如图3，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．

O B O A D

A C P

（3）如图4，半径为2的⊙O从半径为18，圆心角为120°的弧的一个端点A（切点）开始先

图4 图3 ，再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙在外侧滚动到另一个端点B（切点）O自转多少周？请说明理由．

10．（2010·重庆市）已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；

B 46

（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图②，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M，N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

y y B B

M

N P A x A x OOQ

C C 图① 图②

11．（2010·江苏省南通市中考网上阅卷模拟考试）已知二次函数y＝－x＋bx＋c的图象与x轴交于B（－2，0），C（4，0）两点，点E是对称轴l与x轴的交点．

2

（1）求二次函数的解析表达式；

（2）T为对称轴l上一动点，以点B为圆心，BT为半径作⊙B，当直线CT与⊙B相切时，求T点的坐标；

（3）若在x轴上方的P点为抛物线上的动点，且∠BPC为锐角，求PE的取值范围；

（4）对于（1）中得到的关系式，若x为整数，在使得y为完全平方数的所有x的值中，设

47

y A l

x的最大值为m，最小值为n，次小值为s，（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么就称这个数为完全平方数．）求m、n、s的值．

12．（2010·江苏省镇江市）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >， 即：当n为非负整数时，如果n－

12

≤x＜n＋

12，则< x >＝n．

如：<0 >＝<0.48 >＝0，<0.64 >＝<1.493 >＝1，<2 >＝2，<3.5 >＝<4.12 >＝4，? 试解决下列问题： （1）填空：①<π>＝________（π为圆周率）；

②如果<2x－1>＝3，则实数x的取值范围为________________；

48

（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＝m＋< x >

②举例说明＝＋不恒成立；

（3）求满足＝

43x的所有非负实数x的值；

2

（4）设n为常数，且为正整数，函数y＝x－x＋

14的自变量x在n≤x＜n＋1范围内取值时，

函数值y为整数的个数记为a，满足＝n的所有整数k的个数记为b．求证：a＝b＝2n．

13．（2010·广东省佛山市）一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：

如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．

（1）若∠BAC是锐角，请探索在直线AB上有多少个点D，能保证△ACD∽△ABC（不包括

全等）？

（2）请对∠BAC进行恰当的分类，直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC（不

49

A

包括全等）的点D的个数．

14．（2010·广东省茂名市）已知⊙O1的半径为R，周长为C．

（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是l1、l2、l3．求证：l1＋l2＋l3＜C； （2）如图，在直角坐标系xOy中，设⊙O1的圆心O1（R，R）． ①当直线l：y＝x＋b（b＞0）与⊙O1相切时，求b的值； ②当反比例函数y＝

kx（k＞0）的图象与⊙O1有两个交点时，求k的取值范围．

y y R O1 O O1 50 x O O1 x

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