高等数学同济大学第六版 6-3答案

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)?

0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?

80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是

W?mgRh? R?h其中g是地面上的重力加速度? R是地球的半径?

(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg? 在高于地面630km处进入轨道? 问把这颗卫星从地面送到630的高空处? 克服地球引力要作多少功？已知g?9?8m/s2? 地球半径R?6370km?

证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为m的物体升高的功元素为

dy? dW?kMm2y所求的功为 W??R?hRkMmdy?k?mMh? y2R(R?h)?11243173?5.98?10?630?105?9.75?10 (2)W?6.67?10?(kJ)?

6370?103(6370?630)?103 4? 一物体按规律x?ct3作直线运动? 媒质的阻力与速度的平方成正比? 计算物体由x?0移至x?a时? 克服媒质阻力所作的功? 解 因为x?ct3? 所以

2x v?x?(t)?3cx? 阻力f??kv??9kct? 而t?()3? 所以 c2224424x f(x)??9kc()3??9kc3x3? c2 功元素dW??f(x)dx? 所求之功为

W??[?f(x)]dx??9kcxdx?9kc00aa23432a30?2727xdx?kc3a3? 743 5? 用铁锤将一铁钉击入木板? 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比? 在击第一次时? 将铁钉击入木板1cm? 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等? 问锤击第二次时? 铁钉又击入多少？

解 设锤击第二次时铁钉又击入hcm? 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比? 即f?kx? 功元素dW?f dx?kxdx? 击第一次作功为

W1??kxdx?1k?

021击第二次作功为

W2??kxdx?1k(h2?2h)? 121?h 因为W1?W2? 所以有 1k?1k(h2?2h)? 22解得h?2?1(cm)?

6? 设一锥形贮水池? 深15m? 口径20m? 盛满水? 今以唧筒将水吸尽? 问要作多少功？

2 解 在水深x处? 水平截面半径为r?10?x? 功元素为 32 dW?x??r2dx??x(10?x)2dx?

3所求功为

W???x(10?2x)2dx

0315 ???(100x?40x2?4x3)dx 0915 ?1875(吨米)?57785.7(kJ)?

7? 有一闸门? 它的形状和尺寸如图? 水面超过门顶2m? 求闸门上所受的水压力?

解 建立x轴? 方向向下? 原点在水面? 水压力元素为

dP?1?x?2dx?2xdx? 闸门上所受的水压力为

P?2?xdx?x22?21(吨)=205? 8(kN)?

255 8? 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体? 尺寸如图所示? 当水箱装满水时? 计算水箱的一个端面所受的压力?

解 建立坐标系如图? 则椭圆的方程为

(x?3)2y24??1? 2312()4 压力元素为

dP?1?x?2y(x)dx?x?8(3)2?(x?3)2dx?

344所求压力为 P??320x?8(3)2?(x?3)2dx?8?2?3(1?sint)?3cost?3costdx 3443?2444?? ?9?2cos2tdx?9?(吨)?17.3(kN)? 4016(提示? 积分中所作的变换为x?3?3sint)

44 9? 有一等腰梯形闸门? 它的两条底边各长10m和6m? 高为20m? 较长的底边与水面相齐? 计算闸门的一侧所受的水压力? 解 建立坐标系如图? 直线AB的方程为 y?5?1x?

10 压力元素为

dP?1?x?2y(x)dx?x?(10?1x)dx?

5所求压力为

1 P??x?(10?x)dx?1467(吨)?14388(千牛)?

0520 10? 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片? 铅直地沉没在水中? 顶在上? 底在下且与水面平行? 而顶离水面3cm? 试求它每面所受的压力? 解 建立坐标系如图?

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