高等代数教学大纲

高等代数课程教学大纲

一、 课程说明

1、课程性质：

高等代数是高等院校数学系数学与应用数学专业的一门重要基础课。对学生数学思想的形成有着重要意义，是进一步学习近世代数、常微分方程等后继课的基础，也为深入理解中学数学打下必要的基础。高等代数是现代数学的基础知识，是学习其它数学学科和现代科学知识的必备基础和重要工具，尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科的发展均需要代数学的知识与支持。

高等代数也是师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课程，既是中学代数的继续和提高，对于中学数学教学工作具有重要的理论指导作用，又是输送更高层次优秀人才的专业知识保证。

2、课程教学目的要求

（1）使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。

(2) 使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。

(3) 使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。

(4) 逐步培养学生的对真理知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。

(5) 使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理高级中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。

(6) 根据教学的实际内容的需要，对大纲所列各章内容，分别提出了具体的目的要求，教学时必须着重抓住重点内容进行教学。

本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间等。

本课程教学重点应放在多项式理论与线性代数理论。多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式的一些必要的知识，为后继课提供准备；线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论。本课程的难点有行列式的Laplace定理的展开定理，线性变换的值域与核、线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，λ-矩阵和Jordan标准形的推导等。 3、先行或后继课

高等代数是在中学代数基础上在第一、第二学期开设的课程，是中学代数的深化与提高。后继

课程有近世代数、群论、环论等课程，它也是数学专业其他课程的基础。

4、教学时数分配表 本课程学分为12学分。

本课程讲授时间为一学年共186学时，第一学期84学时，第二学期102学时。其各章学时分配如下：

章节目录 第一节 数域 第二节 一元多项式 第三节 整除的概念 第四节 最大公因式 第五节 因式分解定理 第六节 重因式 第一章 多项式 第七节 多项式函数 第八节 复系数与实系数多项式的因式分解 第九节 有理系数多项式 第十节 多元多项式 第十一节 对称多项式 习题课 第一节 引言 第二节 排列 第三节 n级行列式 第四节 n级行列式的性质 第二章 行列式 第五节 行列式的计算 第六节 行列式按一行（列）展开 第七节 克拉默（Cramer）法则 第八节 拉普拉斯（Laplace）定理.行列式的乘法规则 习题课 第一节 消元法 第三章 线性方程组 第二节 n维向量空间 第三节 线性相关性 第四节 矩阵的秩 第五节 线性方程组有解判别定理 2 2 3 2 2 6 1 1 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 22 17 课时分配 1 1 2 2 2 2 27 第六节 线性方程组解的结构 习题课 第一节 矩阵概念的一些背景 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵乘积的行列式与秩 第四章 矩阵 第四节 矩阵的逆 第五节 矩阵的分块 第六节 初等矩阵 第七节 分块乘法的初等变换及应用 习题课 第一节 二次型及其矩阵表示 第五章 二次型 第二节 标准型 第三节 唯一性 第四节 正定二次型 习题课 第一节 集合.映射 第二节 线性空间的定义与简单性质 第三节 维数.基与坐标 第六章 线性空间 第四节 基变换与坐标变换 第五节 线性子空间 第六节 子空间的交与和 第七节 子空间的直和 第八节 线性空间的同构 习题课 第一节 线性变换的定义 第二节 线性变换的运算 第三节 线性变换的矩阵 第七章线性变换 第四节 特征值与特征向量 第五节 对角矩阵 第六节 线性变换的值域与核 第七节 不变子空间 第八节 若当（Jordan）标准形介绍 第九节 最小多项式 4 6 1 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 4 1 2 2 2 2 2 2 2 4 1 3 4 3 2 2 3 1 2 27 19 16 17 习题课 第一节 λ-矩阵 6 1 第二节λ-矩阵在初等变换下的标准型 2 第三节 不变因子 第四节 矩阵相似的条件 第八章 λ-矩阵 第五节 初等因子 第六节 若当（Jordan）标准形的理论推导 第七节 矩阵的有理标准形 习题课 第一节 定义与基本性质 第二节 标准正交基 第三节 同构 第四节 正交变换 第九章 欧几里德空间 第五节 正交子空间 第六节 实对称矩阵的标准形 第七节 向量到子空间的距离.最小二乘法 第八节 酉空间介绍 习题课 总 课 时 数

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 6 186 24 17 5、使用教材

本课程选用的教材是北京大学数学系编《高等代数》第三版 6、教学方法与手段

采用课堂讲授及讨论的教学方法，本课程以黑板讲授为主，辅以多媒体演示，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多引导思考；要注重对教材内容各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增强以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题，质疑解答。 7、考核方式

考试成绩按百分制计算,其中考试成绩占80%,平时作业、课堂考核占20% 8、主要参考书目

1. 张禾瑞、郝炳新. 高等代数.北京：高等教育出版社，1983.

2. 姚慕生. 高等代数.上海：复旦大学出版社，2002. 3. 蓝以中. 高等代数. 北京：北京大学出版社，2000.

4. 陈志杰. 高等代数与解析几何. 北京：高等教育出版社，1996. 5. 张贤科. 高等代数. 北京：清华大学出版社（第二版），2004. 6. 李师正. 高等代数解题方法与技巧. 北京：高等教育出版社，2004. 7. 王品超. 高等代数新方法.徐州：中国矿业大学出版社，2003. 8. 钱吉林. 高等代数题解精粹. 北京：中央民族大学出版社，2002. 9. 张禾瑞. 近世代数基础. 北京：高等教育出版社，1992.

10、冯克勤等. 近世代数引论.合肥：中国科学技术大学出版社，2002. 11、熊全淹. 近世代数. 武汉：武汉大学出版社， 1999.

二、 课程内容

第一章 多项式（27课时）

1、教学目的及要求：掌握带余除法、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论。

2、教学重点：因式分解及唯一性定理，有理系数多项式的因式分解。 3、教学难点：有理系数多项式的因式分解。 4、主要内容教学要求： 知识目标：

（1）掌握一元多项式的概念和运算规则，整除互素的概念及简单性质并能进行相关论证。 （2）掌握最大公因式概念和求法，因式分解定理及有关因式的条件，在复数实数范围内进行因

式分解的理论结果。

（3）掌握多项式有理根判别，有理不可约多项式的概念，艾森斯坦判别法及应用。 能力目标：

（1）训练学生领会和把握多项式的概念和运算规则。

（2）掌握多项式的基本理论中的公理化定义、性质，并且能应用这些理论进行推理论证、计算和解决问题。

5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1 数域(1学时) §2一元多项式(1学时) (一) (二)

有关多项式的概念 多项式的代数性质

§3整除的概念(2学时) (一) (二) (三)

整除概念

整除性几个常用性质 不可约多项式

§4最大公因式(2学时) (一) (二) (三) (四)

最大公因式的定义及唯一性 最大公因式的存在性及求法 互素的概念

最大公因式、互素概念的推广

§5因式分解定理(2学时) (一) (二)

不可约多项式及其性质 因式分解唯一性定理

§6重因式(2学时) (一) (二) (三)

一些概念：重因式、单因式、微商等 重因式的判别及求法 去掉因式重数的方法

§7多项式函数(2学时) (一) (二)

多项式的根 多项式的根的个数

§8复系数与实系数多项式的因式分解(2学时) (一) (二)

复数域上多项式的分解 实数域上多项式的分解

§9有理系数多项式(3学时) (一)

有理系数多项式的根

1）本原多项式及Gauss引理 2）确定整系数多项式有理根的范围 3）求有理系数多项式根的方法 (二)

Eisenstein判别法

§10多元多项式(2学时) (一) (二) (三) (四)

基本概念

多元多项式中单项式的排列次序 两个结论(关于乘积首项和次数) 多元多项式函数

§11对称多项式(2学时) (一) (二) (三)

基本概念、对称多项式环、初等对称多项式 对称多项式的基本定理 一元多项式的判别式

习题课（6课时）

第二章 行列式（17课时）

1、教学目的和要求：通过本章学习，使学生熟练掌握计算行列式的三种方法：利用定义、利用性质、降阶，并会运用Gramer法则求线性方程组的解。

2、教学重点： n阶行列式的定义，行列式的性质，行列式的一些计算及关于Gramer法则。 3、教学难点：Laplace定理，行列式乘法规则。 4、主要内容教学要求： 知识目标：

（1）掌握排列、n阶行列式的定义和基本性质

（2）掌握子式、余子式、代数余子式及行列式的依行依列展开，克拉默定理。

（3）熟练掌握用化上三角形式，依行依列展开法，以及用行列式性质，建立递推公式，克拉默

定理等方法计算行列式，证明行列式的性质及基本理论。

能力目标：

（1）训练学生领会和把握n阶行列式的定义和基本性质。

（2）掌握n阶行列式的基本理论、性质，并且能应用这些理论进行n阶行列式的计算以及论证问题。

5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1引言 §2排列(2学时) (一) (二)

基本概念： n级排列，逆序数，偶(奇)排列，对换 排列的奇偶性

§3 n级行列式(2学时) (一) (二)

一般行列式的定义 行与列的地位是对称的

§4 n级行列式的性质(2学时) (一) (二)

行列式的性质 应用实例

§5行列式的计算(2学时) (一) (二)

矩阵的初等变换 行列式计算

§6行列式按一行(列)展开(2学时) (一) (二)

行列式按一行展开的性质 展开性质的应用

§7 Cramer法则(2学时)

§8 Laplace 定理、行列式乘法法则(2学时) (一) (二)

Laplace定理 行列式乘法规则

习题课（4课时）

第三章 线性方程组（22课时）

1、教学目的及要求：使学生掌握n维向量的线性运算及线性方程组的求解方法。 2、教学重点：以线性相关性概念及线性方程组有解判定定理为重点。 3、教学难点：线性相关性理论和线性方程组解的理论为难点。 4、主要内容教学要求 ： 知识目标：

（1） 掌握矩阵三种初等变换的意义 （2） 掌握消去法解线性方程组的方法

掌握矩阵的秩，线性方程组可解的判别法及有解、无解、唯一解的理论和解法。

能力目标：

（1）训练学生理解和领会矩阵三种初等变换的意义

（2）能应用消去法解线性方程组、以及能熟练应用矩阵的秩，线性方程组可解的判别法的理

论。

5、各章节主要知识点及教学时间分配:：

§1消元法(2学时) (一) (二)

方程组的初等变换 方程组的有解判别

§2 n维向量空间(2学时)

(一) (二)

n维向量概念 n维向量的运算

§3线性相关性(4学时) (一) (二) (三)

一些概念：线性组合、向量组等价、线性相关(无关) 线性相关性的判定

极大线性无关组及向量组的秩

§4矩阵的秩(2学时) (一) (二)

矩阵的秩 矩阵秩的求法

§5线性方程组有解判定定理(2学时) (一) (二)

有解判定定理 线性方程组解的求法

§6线性方程组的结构(4学时) (一) (二) (三)

齐次线性方程组解的结构 一般线性方程组解的结构 线性方程组解的几何意义

习题课（6课时）

第四章 矩阵（17课时）

1、教学目的及要求：使学生熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用。 2、教学重点：矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握。 3、教学难点：理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法。 4、主要内容教学要求 ： 知识目标：

（1） 掌握矩阵加法，数乘、乘法运算规则，分块运算规则。 （2） 掌握逆矩阵的定义，可逆的条件及简单的运算性质。

（3） 熟练掌握用伴随矩阵及初等变换两种求逆矩阵的方法，会用初

变换方法求矩阵的秩，能用分块矩阵求某些分块阵的逆矩阵。 （4） 了解初等变换与初等矩阵的关系，掌握矩阵秩定义及等价叙述

掌握矩阵等价分解的形式。

（5） 能用某些概念和性质进行初等的推理和证明，特别是用等价分解的方法证明某些问题。 能力目标：

（1）训练学生能熟练进行矩阵运算，矩阵三种初等变换，求逆矩阵。

（2）能应矩阵三种初等变换，初等矩阵以及矩阵的秩和行列式，矩阵可逆的条件等理论论证问题。 5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1矩阵的概念(1学时) §2矩阵的运算(2学时)

§3矩阵乘积的行列式与秩(2学时) §4矩阵的逆(2学时) (一) (二) (三)

可逆矩阵 可逆矩阵的性质 可逆矩阵的两个应用

§5矩阵的分块(2学时) (一) (二)

分块矩阵的乘积 分块矩阵的应用

§6初等矩阵(2学时) (一) (二)

初等矩阵与初等变换 逆矩阵的求法

§7分块乘法的初等变换及应用举例(2学时) (一) (二)

分块乘法的初等变换 应用举例

习题课（4课时）

第五章 二次型（16课时）

1、教学目的及要求：使学生掌握用非退化线性替换，化二次型为标准形及判断二次型的正定性。 2、教学重点：以配方法和初等变换法化标准形和正定性的判别为重点。 3、教学难点：化标准形和正定性的判别为难点。 4、主要内容教学要求： 知识目标：

（1）掌握实二次型的三种表达形式。

（2）掌握正定二次型，负正二次型的相应等价条件及实二次型的惯性定理，进行相关论证。 （3）掌握二次型化简与对称阵合同的关系，

（4）掌握实数域上二次型都可通过变量的正交变换化为标准形及其理论和应用。 能力目标：

（1）能用正交变换化二次型为标准形、能应用相关理论证明正、负、不定性。 （2）能用初等变换方法及配方法化简一般数域上的二次型。用证明问题。 5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1二次型的矩阵表示(2学时) (一) (二)

二次型及二次型矩阵 替换前后二次型矩阵的关系

§2标准形(4学时) (一) (二)

二次型的标准形 求标准形的方法

1)、配方法 2)、初等变换法 §3唯一性(2学时) (一) (二) (三)

二次型的秩 实二次型的规范形 复二次型的规范形

§4正定二次型(4学时) (一) (二) (三)

正定二次型及其性质 正定性的判别

与正定二次型平行的几个类型

习题课（6课时）

第六章 线性空间（19课时）

1、教学目的及要求：以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念，让学生理解线性空间的基本结构，会进行一些基本运算。

2、教学重点：以线性空间维数和基的求解为重点。 3、教学难点：难点为对同构和直和的理解。 4、主要内容教学要求： 知识目标：

（1）掌握向量空间的定义和性质，并能判断验证向量空间。

（2）掌握子空间的定义及充要条件，线性相关性及其理论，掌握替换定理，熟练应用这些理论

解决问题。基、维数、维数公式及相关的理论，掌握子空间的运算和等价命题。

（4）掌握坐标的定义、坐标变换公式、线性空间同构的概念。

（5）掌握齐次线性方程组解空间的理论，并能运用这些理论于论证和计算。 能力目标：

（1）训练学生能熟练应用基、维数、维数公式理论解决问题。

（2）能应用基变换公式、坐标变换公式、线性空间同构、齐次线性方程组解空间的理论论证和

计算。

5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1集合、映射(1学时)

§2线性空间的定义及简单性质(2学时) §3维数、基与坐标(2学时) (一) (二)

线性相关性及几个结论 维数、基与坐标

§4基变换与坐标变换(2学时) (一) (二)

基变换与坐标变换 关于过渡矩阵的求法

§5线性子空间(2学时) (一) (二)

线性子空间及其判别 生成子空间

§6子空间的交与和(2学时) (一) (二) (三)

子空间的交与和定义 维数公式

子空间交与和的求法

§7子空间的直和(2学时) §8线性空间的同构(2学时)

(一)同构的概念 (二)同构的性质 习题课（4课时）

第七章 线性变换（27课时）

1、教学目的及要求：通过研究线性变换，要求学生在理解概念的基础上熟练掌握线性变换在某组基下的矩阵的求解方法。

2、教学重点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点。 3、教学难点：线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，为本章难点。 4、主要内容教学要求： 知识目标：

（1）掌握线性映射，线性变换的定义与运算规则；

（2）会求线性变换在基下的矩阵，掌握线性变换与矩阵对应关系。 （3）掌握矩阵特征值和特征向量的概念及求法；

（4）掌握矩阵相似于对角阵的条件及特征向量是线性无关的，用其证明问题。 （5）掌握不变子空间的概念和性质。 （6）利用线性变换进行相关论证。 能力目标：

（1）会求线性变换在基下的矩阵、矩阵的特征值和特征向量、能应用线性变换与矩阵相似理

论论证问题。

（2）会判断一个子空间是否为线性变换的不变子空间。 5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1线性变换定义(2学时) §2线性变换的运算(2学时) (一) (二)

运算及运算规律 线性变换多项式

§3线性变换矩阵(3学时) (一)

线性变换在一组基下的矩阵

1) 线性变换在一组基下的矩阵 2) 坐标变换公式

(二)线性变换在不同基下的矩阵 1) 线性变换在不同基下的矩阵的关系 2) 相似矩阵的性质

§4特征值、特征向量的定义(3学时) (一) (二)

特征值、特征向量的求法 特征多项式的性质

§5对角矩阵(2学时) (一) (二)

某组基下的矩阵为对角阵的线性变换 相似对角阵及所对应基的求法

§6线性变换的值域与核(2学时) (一) (二)

值域与核的定义及其性质 值域与核的求法

§7不变子空间(2学时) (一) (二) (三)

不变子空间举例

不变子空间与线性变换矩阵化简的关系 V的分解

§8 Jordan标准形介绍(2学时) §9最小多项式(2学时)

(一)最小多项式及其基本性质 (二)最小多项式的求法

(三)利用最小多项式判别一个矩阵是否可对角化 习题课（6课时）

第八章 λ－矩阵（17课时）

1、教学目的及要求：掌握λ-矩阵的标准形唯一性和矩阵相似的条件。 2、教学重点：化λ-矩阵成标准形及求不变因子。 3、教学难点：Jordan标准形的理论推导为难点。 4、主要内容教学要求： 知识目标：

(1)化λ-矩阵为标准形。

(2) 会求λ-矩阵的不变因子，初等因子。 (3) 掌握矩阵的相似条件。 能力目标：

(1) 会计算矩阵的若当标准形，最小多项式及有理标准形。 5、各章节主要知识点及教学时间分配:

§1λ-矩阵(1学时)

§2λ-矩阵在初等变换下的标准形(2学时) §3不变因子(2学时) (一) (二) (三) (四)

行列式因子 标准形的唯一性 不变因子

λ-矩阵可逆、等价的充要条件

§4矩阵相似的条件(2学时)

§5初等因子(2学时)

(一)不变因子与初等因子的关系 (二)初等因子的求法

§6 Jordan标准形的推导(2学时) §7 矩阵的有理标准形(2学时)

习题课（6课时）

第九章 欧几里得空间(24课时)

1、教学目的及要求：使学生掌握欧氏空间的度量性质，正交变换和对称变换。 2、教学重点：以内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形为重点。 3、教学难点：标准正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形为难点。 4、主要内容教学要求： 知识目标：

（1）掌握内积的公理定义，欧氏空间之间的同构概念。 （2）掌握正交变换定义及等价条件。

（3）掌握对称变换，及对称变换与对角矩阵之间的关系。 能力目标：

（1）能用内积的公理定义熟练的计算问题。

（2）能应用正交变换、正交矩阵；对称变换、对称矩阵证明问题。 5、各章节主要知识点及教学时间分配:：

§1定义与基本性质(2学时) (一) (二)

一些概念 度量矩阵

§2标准正交基(2学时) (一) (二)

标准正交基的存在性及求法 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵

§3同构(2学时) §4正交变换(2学时) §5正交空间(2学时) (一) (二)

正交子空间的性质 正交补

§6对称矩阵的标准形(4学时) (一) (二) (三)

实对称矩阵与对称变换

用正交矩阵化实对称矩阵为对角形 二次型的化简及二次曲面分类

§7向量到子空间的距离，最小二乘法(2学时)

§8酉空间介绍(2学时)

习题课（6课时）

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