信息论与编码第三章曹雪虹习题答案

相信我，没错的！！！

第三章

?21??33??12???3.1 设二元对称信道的传递矩阵为?33?

(1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；

解： 1)

3311H(X)???p(xi)??(?log2??log2)?0.811 bit/symbol4444iH(Y/X)????p(xi)p(yj/xi)logp(yj/xi)ij322311111122 ??(?lg??lg??lg??lg)?log210433433433433 ?0.918 bit/symbol3211????0.583343433112p(y2)?p(x1y2)?p(x2y2)?p(x1)p(y2/x1)?p(x2)p(y2/x2)?????0.41674343H(Y)???p(yj)??(0.5833?log20.5833?0.4167?log20.4167)?0.980 bit/symbolp(y1)?p(x1y1)?p(x2y1)?p(x1)p(y1/x1)?p(x2)p(y1/x2)?jI(X;Y)?H(X)?H(X/Y)?H(Y)?H(Y/X)H(X/Y)?H(X)?H(Y)?H(Y/X)?0.811?0.980?0.918?0.749 bit/symbolI(X;Y)?H(X)?H(X/Y)??0.811?0.749?0.062 bit/symbol 2)

1122C?maxI(X;Y)?log2m?Hmi?log22?(lg?lg)?log210?0.082 bit/symbol33331其最佳输入分布为p(xi)?

23-2某信源发送端有2个符号，xi，i＝1，2；p(xi)?a，每秒发出一个符号。接受端有3

?1/21/20?种符号yi，j＝1，2，3，转移概率矩阵为P???。

1/21/41/4??（1） 计算接受端的平均不确定度；

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（2） 计算由于噪声产生的不确定度H(Y|X)；

（3） 计算信道容量。

?1/21/20??

1/21/41/4??联合概率p(xi,yj)

解：P??X Y y1 y2 y3 0 x1 x2 则Y的概率分布为 Y a/2 (1?a)/2 y1 a/2 (1?a)/4 (1?a)/4 y2 y3 (1?a)/4 (1?a)/4 1/2 11+a41?a4（1）H(Y)?log2? log?log241?a41?a1116a1?a ?log2?log?log2241?a41?a1111a1?a ?log2?log16?log?log2441?a241?a311a1?a ?log2?log?log2241?a41?a取2为底

311a1?aH(Y)?(?log2?log)bit 22241?a41?a1a11?a11?a11?a1??alog?log?log? （2）H(Y|X)???log?log?222224444??23(1?a)??alog2?log2

23?a?log2

2取2为底

H(Y|X)?3?abit 211a1?a??a?c?maxI(X;Y)?max?H(Y)?H(Y|X)??max?log2?log?log?p(xi)p(xi)p(xi)41?a241?a??2a11a1?a?(ln2?ln?ln)241?a41?a 取e为底2?a112a11?aa11?ln2??ln?(??) 2241?a41?a41?a1?a1a11?aa2?ln2??ln? 22(1?a2)41?a41?a2没文化，真可怕！！！

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111?a ?ln2?ln241?a= 0

1?a1? 1?a43?a?

51311131?c??log2?log??log 92541?25454312531?log2?log?log 104162043153?log2?log?log2 10241015?log 24

3.3 在有扰离散信道上传输符号0和1，在传输过程中每100个符号发生一个错误，已知P(0)=P(1)=1/2，信源每秒内发出1000个符号，求此信道的信道容量。

解：

由题意可知该二元信道的转移概率矩阵为：

?0.990.01? P????0.010.99?为一个BSC信道

所以由BSC信道的信道容量计算公式得到：

C?logs?H(P)?log2??pilogi?121?0.92bit/signpi1Ct?C?1000C?920bit/sect

3.4 求图中信道的信道容量及其最佳的输入概率分布.并求当e=0和1/2时的信道

容量C的大小。

X 0

1 1－e

Y 0

1 1

e e 2

1－e

2

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00??1??,此信道为非奇异矩阵,又r=s,可利用方程组求解

e解: 信道矩阵P=01?e???e1－e??0?

?3j=1P(bj|ai)bj=?P(bj|ai)logP(bj|ai) (i=1,2,3)

j=13ìb1=0???í(1-e)b2+eb3=(1-e)log(1-e)+eloge ?????eb2+(1-e)b3=eloge+(1-e)log(1-e)解得b1=0

b2=b3=(1-e)log(1-e)+eloge

所以 C=log

?2j=log[20+2×2(1-e)log(1-e)+eloge]

b(1-e)j=log[1+21-H(e)]=log[1+2(1-e)ee]

ì11?1-C-C?P(b)=2b=2==1?(1-e)e1-H(e)?1+2(1-e)e1+2? ?ee?(1-e)e?b2-C?P(b)=2=í2?1+2(1-e)(1-e)ee???P(b3)=2b3-C=P(b2)??????3而 P(bj)=?P(ai)P(bj|ai) (j=1,2,3)

i=1ìP(b1)=P(a1)???得íP(b2)=P(a2)(1-e)+P(a3)e ?????P(b3)=P(a2)e+P(a3)(1-e)1所以 P(a1)=P(b1)=

1+2(1-e)(1-e)ee(1-e)eeeP(a2)=P(a3)=P(b2)=P(b3)= (1-e)e1+2(1-e)e当e=0时,此信道为一一对应信道,得

1 C=log3, P(a1)=P(a2)=P(a3)=

311当e=1/2时,得 C=log2, P(a1)=,P(a2)=P(a3)=

24

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3.5 求下列二个信道的信道容量，并加以比较 ?p??p??2???p??p??? （2）?（1）??p??p???p??p??2?????其中p+p=1

2?00?? 2???

解：

（1）此信道是准对称信道，信道矩阵中Y可划分成三个互不相交的子集 由于集列所组

成的矩阵??p???p???p????2???,??而这两个子矩阵满足对称性，因此可直接利用准对??p?????2??2称信道的信道容量公式进行计算。 C1=logr-H(p1’ p2’ p3’)-

?NklogMk

k?1其中r=2,N1=M1=1-2? N2=2? M2=4? 所以 C1=log2-H(p??,p-ε,2ε)-(1-2?)log(1-2?)-2?log4?

=log2+(p??)log(p??)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog4ε =log2-2εlog2-(1-2ε)log(1-2ε)+(p??)log(p??)+(p-ε)log(p-ε) =(1-2ε)log2/(1-2ε)+(p??)log(p??)+(p-?)log(p-?) 输入等概率分布时达到信道容量。

（2）此信道也是准对称信道，也可采用上述两种方法之一来进行计算。先采用准对称信

道的信道容量公式进行计算，此信道矩阵中Y可划分成两个互不相交的子集，由子

集列所组成的矩阵为??p???p???2p????2??，??p?????00??这两矩阵为对称矩阵 其中?2??r=2,N1=M1=1-2? N2=M2=2?，所以 C=logr-H(p-?,p-ε,2ε,0)-

?NklogMk

k?1=log2+(p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε)+2εlog2ε-(1-2ε)log(1-2ε)-2εlog2ε =log2-(1-2ε)log(1-2ε)+( p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε) =(1-2ε)log2/(1-2ε)+2εlog2+(p-?)log(p-?)+(p-ε)log(p-ε) =C1+2εlog2

输入等概率分布（P（a1）=P（a2）=1/2）时达到此信道容量。比较此两信道容量，可得C2=C1+2εlog2

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