概率论与数理统计模拟试题(十)

概率论与数理统计模拟试题（十）

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专业班号 考 试 日 期 年 月 日 姓 名 学 号 期末 题号 得分

一 二 三 四 五 六 七 八 √ 一、填空题 (每小题3分，共24分)

1．设事件A,B互不相容，且P(A)?0.3，P(B)?0.6，则P(BA)? 2．若在区间（0，1）内任取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 3. 设随机变量X服从均值为2、方差为?2的正态分布，且

P(2?X?4)?0.3，则P(X?0)? 124. 随机变量X,Y相互独立且服从同一分布，

P(X?k)?P(Y?k)?(k?1)/3，k?0,1，则P(X?Y)?

5．设随机变量X的密度函数为fX(x),则Y=eX的密度函数是

?)，6．设随机变量X,Y的相关系数?XY?0.5E,(X)?E(YE(X2)?E(Y2)?2，则E[(X?Y)2]?

7. 设(X1,X2,X3,X4)为总体X?N(0,1)的样本,则X3?X4X?X2122~

8．设(X1,X2??,X9)是来自正态总体N(?,0.92)的样本，已知x?5,则?的置

信度为0.95的置信区间为

二、（10分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中

5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，求丢失的一箱也是英语书的概率.

三、（12分）某设备由n个部件构成。在设备运转中第i个部件需要调整的概率为pi(0?pi?1)，i?1,2,?,n.设各部件的状态相互独立，以X表示在设备运转中同时需要调整的部件数，求E(X)和D(X).

四、（12分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数

?cx,0?x?y?1， f(x,y)??0,其他?求（1）常数c ; (2)X,Y的边缘密度函数； （3）P(X?Y?1). 五、（10分）某种商品各周的需求量是相互独立的随机变量。已知该商品第一周的需求量服从参数为?的指数分布，第二周的需求量服从参数为?的指数分布（???），试求两周总需求量的分布函数和密度函数.

六、（10分）某供电站供应本地区一万户居民用电，已知每户每天用电量（单位：度）均匀分布于区间[ 0，12]上。现要求以99%的概率保证本地区居民的正常用电，问供电站每天至少要向居民供应多少度电？(用中心极限定理近似计算，已知?(2.33)?0.99.) 七、（12分）已知总体X的分布函数为

?1?e?(x??)x??F(x)?? x???0(??R)，

其中?为未知参数. (X1,X2??,Xn)是来自总体的一组样本.

?,它是否是?的无偏估计？ （1）求?的矩估计量?（2）求?的极大似然估计量?*，它是否是?的无偏估计？

八、（10分） 机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋盐的标准重量为500克，标准差不能超过10克. 某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机取9袋，测得x?499,s2?16.032. 问这天自动包装机工作是否正常.（??0.05）？（附表：t0.05(8)?1.8595,?0.052(8)?15.507, ?0.0252(8)?17.535）

t0.025(8)?2.306，

参考答案; 一、1.

415 ； 2. ； 3. 0.2 ； 4. ； 5. 7891f(lny),y?0 ；

y6. 6 ； 7. t(2) ； 8. (5?0.3u0.025,5?0.3u0.025)或(4.815,5.585) 二、解 用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为第k箱， k?1,2,3分别表示英语书，数学书，语文书.

21C43C521C528P(A)??P(Bk)P(ABk)??2??2??2?2C910C95C936k?13

21C4383（5分）P(B1A)?P(B1)P(AB1)/P(A)??2/P(A)???.

2C936368（5分）

三、解 引入随机变量 Xi??X??Xi

i?1n?1 第i个部件需调整?0 第i个部件不需调整 i?1,2,?n，则

X1,X2,?,Xn相互独立， E(X?i)p iX?(i , Dn，)(ip i?1,2,?n ip?（6分）

故 E(X)?E(?Xi)??E(Xi)??pi

i?1ni?1ni?1nnnD(X)?D(?Xi)??D(Xi)??pi(1?pi)i?1i?1i?1

（6分）

四、解: (1) （3分）

0?x?y?1??f(x,y)dxdy??cxdx?dy?1 ， c=6

0x11(2)0?x?1时fX(x)??x6xdy?6x(1?x)，故fX(x)??（3分）

当0?y?1时，fY(y)??0（3分） (3)

P(X?Y?1)??1/201?6x(1?x)?00?x?1其他0?y?1其他y?3y26x?dx3，y 故fY(y)???02

6xdx?1?xxdy??1/206x(1?2x)dx?1 4（3分）

五、解 设第一周和第二周的需求量分别是X,Y，则(X,Y)联合密度函数是

???e?(?x??y) f(x,y)??0? 当z?0时，FZ(z)?0，当z?0时， FZ(z)?P(X?Y?z)???e??xdx?0z(z?x)0x?0,y?0其它

?????e??ydy?1?????e??z?e??z（7分）

???(e??z?e??z),z?0?所以两周需求量的分布密度为fZ(z)?FZ?(z)?????（3

?0,z?0?分）

六、解 设 Xi为第i户居民每天的用电量, X1,X2,?,X10000独立同分布，Xi~U(0,12)，E(Xi)?6，D(Xi)?12，i?1,2,?,10000.

设供电站每天要向居民供电的量为N, 居民每天用电量为

10000Y??Xi?1i，则由题意有

P(Y?N)?0.99 （5分）

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为 即 ????Y?10000?6N?10000?6??N?10000?6? P(Y?N)?P???????10012??10012?10012?

N?1000?06N?1000?0?6?2.3 3.故 N=60403.6（度） ?0.99?10012?10012?（5分）

?e?(x??)x??七、解 总体X的密度函数为f(x)?? x???0??(??R)

??X?1 （1）EX???xe?(x??)dx???1 ，故?的矩估计量为 ??是?的无偏估计. ??因 E(?)E(?X??1 )，所以?（4分）

（2）似然函数为 L(?)??f(xi;?)??ei?1i?1nn?(xi??)??e?(xi??)i?1n xi??,

i?1,2,?n

dL(?)?0，所以L(?)单调增加，注意到xi??，i?1,2,?n，因因 d?此当?取(x1,x2??,xn)中最小值时，L(?)取最大，所以?的极大似然估计量为

?*?min{X1,X2??,Xn}

（4分）

Z?min{X1,X2??,Xn}分布函数是F(z)?1?(1?FX(z))n，分布密度是

?ne?n(x??)x?? fZ(z)?? x???0(??R)

因EZ???nxe???n(x??)1dx???，故?*?min{X1,X2??,Xn}不是?的无偏

n估计（4分）

八、解: (1) H0:??500H1:??500. 若H0成立, 统计量

T?X?500~t(8). S/3拒绝域为{|T0??X?500|?t?(8)}，t0.025(8)?2.306. 代入数据得T的观察值S/323??0.18716.0322故接受

H0.

（5分）

8S2???2}.由（2）H0:??100,H1:??100.由H1知，拒绝域为{?2?8S22?2~?(8)知，

取?2(8)?15.507，代入数据得

8?16.0320.05100?20.56，（5分）

（或先做（2），则（1）可不必做。）

100故应拒绝H0

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