高三数学高考复习：空间向量与立体几何复习指津（理）

空间向量与立体几何复习指津

在引入空间向量后，许多空间问题（如空间角、空间距离等）的求解，已经从传统的“作———证———算”转化为，将所求问题表示为向量的闭回路（课本称为“封口向量”），然后利用数量积求解，即已从传统意义上的几何方法转向以空间向量为媒介的代数运算．特别是法向量的应用，更是大大拓展了求解空间问题的思路！现对《空间向量与立体几何》一章予以简单梳理，供同学们复习参考．高.考-资.源-网 一、空间向量的线性运算 1．空间向量的概念

空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等． 2．空间向量的加法、减法和数乘运算

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律： ①交换律，即a+b=b+a；②结合律，即(a(a+b)?c?a?(b+c)；③分配律，即． (???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均为实数） 3．空间向量的基本定理

（１）共线向量定理：对空间向量a，b(b?0)，a∥b的充要条件是存在实数?，使

a=?b．

（２）共面向量定理：如果空间向量a，b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x，y，使c=xa+yb．

（３）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存

b+zc．其中{a，b，c}是空间的一个基底，a，b，c在有序实数组x，y，z，使p=xa+y都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底{a，b，c}惟一线性表示（线性组合）．

4．两个向量的数量积

两个向量的数量积是ab=abcos?a，b?，数量积有如下性质： ①ae=acos?a，e?（e为单位向量）；②a⊥b?ab=0； ③aa=a；④ab≤ab．

数量积运算满足运算律：①交换律，即ab=ba；②与数乘的结合律，即

2(?a)b=?(ab)；③分配律，即(a+b)c=ac+bc．

二、空间向量的直角坐标运算 1．空间直角坐标系

若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用{i，j，k}表示；

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，可建立一个空间直角坐标系O?xyz，作空间直角坐标系O?xyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）． 2．空间直角坐标系中的坐标运算

给定空间直角坐标系O－xyz和向量a，存在惟一的有序实数组使a=a1i+a2j+a3k，则(a1，a2，a3)叫作向量a在空间的坐标，记作a=(a1，a2，a3)．对空间任一点A，存在惟一的OA?xi+yj+zk，点Ａ的坐标，记作A(x，y，z)，x，y，z分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算律

（1）若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a+b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，

a?b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，?a?(?a1，?a2，?a3)，ab=(a1b1，a2b2，a3b3)，

a∥b?a1??b1，a2??b2，a3??b3(??R)，a⊥b?a1b1?a2b2?a3b3?0． ，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB?(x2?x1 （2）若A(x1，y1，y2?y1，z2?z1)．即一个

向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 4．直线的方向向量与向量方程

（１）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，作向量OA?a，则点A在空间的位置被a所惟一确定，a称为位置向量．

（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP?ta，则此向量方程称为动点P对应直线l的参数方程，向量a称为直线

l的方向向量．

三、直线、平面的法向量及向量在平面内的射影

如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?（记作a⊥?），向量a叫做平面?的法向量．法向量有两个相反的方向．法向量的具体应用方法，可以归结为：

1．空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决 （１）设a、b分别为直线a，b的一个方向向量，那么a⊥b?a⊥b?ab=0； （２）设a、b分别为平面?，?的一个法向量，那么?⊥??a⊥b?ab=0； （３）设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，那么l⊥??a∥b．

2．空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，都可以用向量方法来研究 （１）设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a、b，那么a∥b?a∥b．

（２）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来证明线面平行问题．

（３）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行．高.考-资.源-网 3．在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角 空间角主要有：①线线角：异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；②线面角：直线AB与平面?所成角为arcsinABnABn，其中n是平面?的法向量；③面面角：二面角

的大小为arccosmnmn或??arccosmn，其中m，n是两个半平面的法向量． mn 斜线与平面所成角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）．与最小角定理联系密切的一个重要公式是cos??cos?1cos?2，要注意其应用！

4．立体几何中涉及的距离问题较多，如点与线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等，都是学习中的难点，若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定 可利用AB?ABAB实现距离与向量之间的转化．设e是直线l的一个单位方向向量，线段AB在l上的投影是A?B?，则有A?B??ABe，由此可求点到线，点到面的距离问题． 空间距离主要有：①点面距：设n是平面?的法向量，A??，则B到?的距离为

2ABnn；②线线距：设n是两条异面直线l1，l2的公垂线的向量，若A，B分别是在l1，l2上

的任意一点，则l1，l2的距离为

ABnn；③线面距、面面距．与前面求法相同．

对于不容易作出的空间距离（如线线距、点面距等）、空间角（如线线角、无棱二面角等），利用法向量求解和传统方法相比具有明显的优势．如证明直线和平面垂直的判定定理（本文例1），传统方法是构造并多次利用平面几何中的三角形全等，技巧性大、思想方法灵活（多次转化），虽然典型但许多同学难以理解和熟练掌握，更不便于表述，而用向量法证明的篇幅大大缩短，容易理解记忆，方法简捷！再如，证明垂直于同一个平面的两条直线平行（本文例2），使用空间向量则简单明了，易于掌握． 例1 已知：m、n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为O，且l⊥ m，ln⊥． 求证：l⊥?．

证明：在平面?内任作一条直线g，因m，n为不平行向量，由平面向量基本定理，存

m，ln⊥知lm?0，lg=l(xm+yn)?0，在唯一实数对（x，y），使g=xm+yn，由l⊥即l⊥g（l与?内任意直线垂直），所以l⊥?．

例2 已知：直线OA、BD都垂直于平面?，垂足为O、B．求证：OA∥BD．

证明：以O为原点，在平面?内作两条互相垂直的直线分别为x、y轴，以射线OA为z轴，建立空间直角坐标系O?xyz，设BD?xn+yj+zk，即BD?(x，y，z)，因为

BDj=0，即x?0，y?0，BD?(0，0，z)，可得BD?zk，因BD⊥?，则BDi?0，此BD∥k，又O、B为两个不同的点，所以OA∥BD．

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