19届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2函数

§2.2函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间．

1

2 2．函数的最值

知识拓展

函数单调性的常用结论

(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x

2)，

f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0?f (x )在D 上是增加的，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

<0?f (x )在D 上是减少的． (2)对勾函数y ＝x ＋a x

(a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，递减区间为[－a ，0)和(0，a ]．

(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)

(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞)．( × )

(3)函数y ＝1x

的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ )

题组二 教材改编

2．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是____________．

答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))

3．函数y ＝

2x －1在[2,3]上的最大值是________． 答案 2

4．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]

解析 由题意知，[2，＋∞)?[m ，＋∞)，∴m ≤2.

3 题组三 易错自纠

5．函数y ＝12log (x 2

－4)的递减区间为________．

答案 (2，＋∞)

6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．

答案 －6

解析 由图像(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是????

??－a 2，＋∞，令－a 2＝3，得a ＝－6.

7．函数f (x )＝????? 1x

，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1

的最大值为________． 答案 2

解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x

为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最

大值为

2.

题型一 确定函数的单调性(区间)

命题点1 给出具体解析式的函数的单调性

典例 (1)(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的递增区间是( )

A ．(－∞，－2)

B ．(－∞，1)

C ．(1，＋∞)

D ．(4，＋∞) 答案 D

解析 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.

设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．

要求函数f (x )的递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的递增区间．

∵函数t ＝x 2－2x －8的递增区间为(4，＋∞)，

∴函数f (x )的递增区间为(4，＋∞)．

故选D.

(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是__________________________________．

4 答案 [－1,0]，[1，＋∞)

解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，

二次函数的图像如图．

由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．

命题点2 解析式含参数的函数的单调性

典例 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．

解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1

证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则

f (x 2)－f (x 1)＝ax 2

2＋1x 2－ax 21－1

x 1

＝(x 2－x 1)??????a (x 1＋x 2)－1

x 1x 2，

由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4，

1＜x 1x 2＜4，－1＜－1

x 1x 2＜－14

.

又因为1＜a ＜3，

所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，

得a (x 1＋x 2)－1

x 1x 2

＞

0，

从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，

故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上是增加的．

引申探究

如何用导数法求解本例？

解 因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1

x 2，

因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，

又1＜a ＜3，

所以2ax 3－1＞0，

所以f ′(x )＞0，

5 所以函数f (x )＝ax 2＋1x

(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数． 思维升华 确定函数单调性的方法

(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接．

跟踪训练 (1)(2017·郑州模拟)函数y ＝? ??

??132231x x －＋的递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.?

????－∞，34 C.? ??

??12，＋∞ D.????

??34，＋∞ 答案 B 解析 易知函数y ＝? ????13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的递减区间为?

????－∞，34. ∴函数y ＝? ????132231x x －＋的递增区间是?

????－∞，34. (2)函数f (x )＝|x －2|x 的递减区间是( )

A ．[1,2]

B ．[－1,0]

C ．(0,2]

D ．[2，＋∞) 答案 A

解析 由题意得，f (x )＝????? x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，

当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的递增区间；

当x <2时，(－∞，1]是函数f (x )的递增区间，

[1,2]是函数f (x )的递减区间．

题型二 函数的最值

1．函数f (x )＝? ??

??13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3

解析 由于y ＝? ??

??13x 在R 上是减少的，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上是增加的，所以f (x )在[－1,1]上是减少的，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.

2．已知函数f (x )＝????? x 2，x ≤1，x ＋6x

－6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．

答案 26－6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qbzq.html