高等数学习题09答案(复旦大学出版社)
更新时间:2023-05-17 08:07:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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高等数学习题09答案(复旦大学出版社)
习题九
1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程: (1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点t
π; 4
解:x 2asintcost,y bcos2t,z 2ccostsint
π π π π
曲线在点t 的切向量为 T x ,y ,z a,0, c
4 4 4 4 πabc时, x ,y ,z
2224
abcx y z . 切线方程为 a0 c
当t
法平面方程为 a x
a b c
0 y ( c) z 0. 2 2 2
a2c2
0. 即 ax cz
22
5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程: (1)z = x2+y2,点M0(1,2,5);
解:(1)令u x2 y2 z,则 ux
m0
2xm0 2, uy
m0
2ym 4, uz
m0
1.
故曲线在点M0(1,2,5)的法向量为 n 2,4 , 1
故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为
z-5=2(x-1)+4(y-2).
即 2x+4y-z=5. 法线方程为
x 1y 2z 5
24 1
πππ
, , 的方向导数。 343
8. 求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向角为
解:
u u u
y2 yz, 2xy xz, 3z2 xy,故 x y z
u u u u
cos cos cos
y(1,1,2) l x(1,1,2) z(1,1,2)
(y2 yz)(1,1,2)cos
πππ
(2xy xz)(1,1,2)cos (3z2 xy)(1,1,2)cos 5. 343
194
高等数学习题09答案(复旦大学出版社)
9. 求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点A(5,1,2)到B(9,4,14)的方向导数。
解:AB {4,3,12}, AB 13.
4312AB的方向余弦为 cos , cos , cos
131313
又
u
x
(5,1,2)
yz
(5,1,2)
2,
u y
(5,1,2)
xz
(5,1,2)
10,
u z
(5,1,2)
xy
(5,1,2)
5
故
u431298 2 10 5 . l13131313
11.研究下列函数的极值: (1) z = x3+y3-3(x2+y2);
2
zx 3x 6x 0
解:(1)解方程组 2
z 3y 6y 0 y
得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).
zxx=6x-6, zxy=0, zyy=6y-6
在点(0,0)处,A=-6,B=0,C=-6,B2-AC=-36<0,且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 在点(0,2)处,A=-6,B=0,C=6,B2-AC=36>0,所以(0,2)点不是极值点. 在点(2,0)处,A=6,B=0,C=-6,B2-AC=36>0,所以(2,0)点不是极值点.
在点(2,2)处,A=6,B=0,C=6,B2-AC=-36<0,且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. 14. 求旋转抛物面z = x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。
(x y z 1)2
解:设P(x,y,z)为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为d ,即
3(x y z 1)2
(z x2 y2) 求其在条件z= x+y下的最值。设F(x,y,z)=
3
2
2
2(x y z 1) F 2 x 0 x
3
F 2(x y z 1) 2 y 0 y
解方程组 3
2(x y z 1)
0 Fz
3
22
z x y
得x y z
1
2
1
195
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