高等数学习题09答案(复旦大学出版社)

高等数学习题09答案(复旦大学出版社)

习题九

1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点t

π; 4

解：x 2asintcost,y bcos2t,z 2ccostsint

π π π π

曲线在点t 的切向量为 T x ,y ,z a,0, c

4 4 4 4 πabc时， x ,y ,z

2224

abcx y z . 切线方程为 a0 c

当t

法平面方程为 a x

a b c

0 y ( c) z 0. 2 2 2

a2c2

0. 即 ax cz

22

5. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程： (1)z = x2+y2,点M0(1,2,5);

解：（1）令u x2 y2 z，则 ux

m0

2xm0 2, uy

m0

2ym 4, uz

m0

1.

故曲线在点M0(1,2,5)的法向量为 n 2,4 , 1

故曲面在点M0(1,2,5)的切平面方程为

z-5=2(x-1)+4(y-2).

即 2x+4y-z=5. 法线方程为

x 1y 2z 5

24 1

πππ

, , 的方向导数。 343

8. 求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为

解：

u u u

y2 yz, 2xy xz, 3z2 xy,故 x y z

u u u u

cos cos cos

y(1,1,2) l x(1,1,2) z(1,1,2)

(y2 yz)(1,1,2)cos

πππ

(2xy xz)(1,1,2)cos (3z2 xy)(1,1,2)cos 5. 343

194

高等数学习题09答案(复旦大学出版社)

9. 求函数u=xyz在点（5,1,2）处沿从点A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向导数。

解：AB {4,3,12}, AB 13.

4312AB的方向余弦为 cos , cos , cos

131313

又

u

x

(5,1,2)

yz

(5,1,2)

2,

u y

(5,1,2)

xz

(5,1,2)

10,

u z

(5,1,2)

xy

(5,1,2)

5

故

u431298 2 10 5 . l13131313

11.研究下列函数的极值： (1) z = x3+y3－3(x2+y2);

2

zx 3x 6x 0

解：（1）解方程组 2

z 3y 6y 0 y

得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

zxx=6x－6, zxy=0, zyy=6y－6

在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0. 在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.

在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8. 14. 求旋转抛物面z = x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。

(x y z 1)2

解：设P（x,y,z）为抛物面上任一点.则点P到平面的距离的平方为d ,即

3(x y z 1)2

(z x2 y2) 求其在条件z= x+y下的最值。设F（x,y,z）=

3

2

2

2(x y z 1) F 2 x 0 x

3

F 2(x y z 1) 2 y 0 y

解方程组 3

2(x y z 1)

0 Fz

3

22

z x y

得x y z

1

2

1

195

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