中考数学热身一元一次不等式组及其应用含解析 - 图文

教学资料参考范本 中考数学热身一元一次不等式组及其应用含解析 撰写人：__________________ 时 间：__________________ 1 / 13 一.课前热身 1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y元．后来他以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y 2．某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共有（ ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 3．已知一个矩形的相邻两边长分别是3cm和xcm，若它的周长小于14cm，面积大于6cm2，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若方程组的解是负数，那么a的取值范围是 ． 二、典例精析 5．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为 ． 6．××市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 7．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如表： 类 别 进价（元/台） 售价（元/台） 电视机 1800 20xx 洗衣机 1500 1600 2 / 13 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元． （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润=售价﹣进价） 三、中考演练 8．如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，求a的取值范围． 9．××市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．20xx年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被多少条？ 品名 规格（米） 销售价（元/条） 羽绒被 羊毛被 2×2.3 2×2.3 415 150 10．某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市 元． 11．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 12．若a＞0，b＜﹣2，则点（a，b+2）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由； 3 / 13 （2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？ 4 / 13 一元一次不等式（组）及其应用 参考答案与试题解析 一.课前热身 1．某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y元．后来他以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y 【考点】一元一次不等式的应用． 【专题】应用题． 【分析】题目中的不等关系是：买黄瓜每斤平均价＞卖黄瓜每斤平均价． 【解答】解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是 以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱 则＞ 解之得，x＞y． 所以赔钱的原因是x＞y． 故选B． 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 2．某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共有（ ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题． 【分析】本题先由题意找出不等关系列出不等式组为得：，解出即可． 【解答】解：设买软件x片，磁盘y盒，x取正整数， 得：70x+80y≤530， 5 / 13

不相同的选购方式有（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），共6种方案． 故选C． 【点评】解决本题的关键是根据总价钱得到相应的关系式，易错点是得到整数解的个数． 3．已知一个矩形的相邻两边长分别是3cm和xcm，若它的周长小于14cm，面积大于6cm2，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】一元一次不等式的应用． 【专题】压轴题；图表型． 【分析】根据矩形的周长以及面积的计算方法求出x的取值范围． 【解答】解：∵矩形的周长小于14cm， ∴3+x＜7，x＜4； ∵矩形的面积大于6cm2， ∴3x＞6，x＞2． ∴2＜x＜4． 故选D． 【点评】解决问题的关键是读懂题意，掌握矩形的有关性质，进而列出正确的不等式． 4．若方程组的解是负数，那么a的取值范围是 0＜a＜9 ． 【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组． 【分析】先解关于x，y的方程组，得出用含a的代数式表示x，y的式子，然后根据x＜0，y＜0即可求出a的取值范围． 【解答】解：解方程组得， 由题意，得， 解得0＜a＜9． 故答案为0＜a＜9． 6 / 13 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确求出方程组的解是解题的关键． 二、典例精析 5．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为 x＜﹣1 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】数形结合． 【分析】由图象可以知道，当x=﹣1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＞k1x+b解集． 【解答】解：两个条直线的交点坐标为（﹣1，3），且当x＞﹣1时，直线l1在直线l2的上方，故不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1． 故本题答案为：x＜﹣1． 【点评】本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 6．××市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？ 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题；方案型． 【分析】（1）本题可设甲、乙的货车分别为x和8﹣x，然后根据题意列出不等式：4x+2（8﹣x）≥20和x+2（8﹣x）≥12，化简后得出x的取值范围，看其中有几个整数即可得知有几种方案． （2）本题可根据第一题列出的几种方案分别计算甲、乙所需的运费，比较哪个少即可得出答案． 7 / 13 【解答】解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8﹣x）辆，依题意 得 解此不等式组得2≤x≤4． ∵x是正整数 ∴x可取的值为2，3，4． ∴安排甲、乙两种货车有三种方案： 方案一 方案二 方案三 甲种货车 2辆 3辆 4辆 乙种货车 6辆 5辆 4辆 （2）解法一： 方案一所需运费为300×2+240×6=2040元； 方案二所需运费为300×3+240×5=2100元； 方案三所需运费为300×4+240×4=2160元． ∴王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元． 解法二： 设运输费为y元，根据题意可得，y=300x+240（8﹣x）=1920+60x，（2≤x≤4） ∵60＞0， ∴y随x增大而增大， ∴x=2时，y有最小值：2040， ∴王灿应选择方案一：2辆甲种货车，6辆乙种货车．运费最少，最少运费是2040元． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目要注意根据题意列出不同的式子比较值大小． 7．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如表： 类 别 进价（元/台） 售价（元/台） 电视机 1800 20xx 洗衣机 1500 1600 计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元． 8 / 13 （1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润=售价﹣进价） 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题；方案型． 【分析】（1）关键描述语：电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半，由此可用不等式将电视机和洗衣机的进货量表示出来，在根据商店最多可筹到的资金数可列不等式，求解不等式组即可； （2）根据利润=售价﹣进价，列出关系式进行讨论可知哪种方案获利最多． 【解答】解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100﹣x）台， 根据题意得 解不等式组得≤x≤ ∵x取整数 ∴x可以取34，35，36，37，38，39， 即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案； （2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意得 y=（20xx﹣1800）x+（1600﹣1500）（100﹣x）=100x+10000． ∵100＞0，∴y随x增大而增大， ∴当x=39时，商店获利最多为13900元． 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．准确的解不等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法．注意本题的不等关系为：电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半；电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半． 三、中考演练 8．如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，求a的取值范围． 9 / 13 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】应用题． 【分析】由题意可得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，以及敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm，得出最小长度，即可得出答案． 【解答】解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm， 根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是2+1=3cm， 而此时还要敲击1次故长度要大于3cm， 第三次敲击进去最大长度是前一次的二分之一，也就是第二次的一半=0.5cm 所以a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm， 故a的取值范围是：3＜a≤3.5． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确的分析得出a的最大长度为2+1+0.5=3.5cm，与最小长度是解决问题的关键． 9．××市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．20xx年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被多少条？ 品名 规格（米） 销售价（元/条） 羽绒被 羊毛被 2×2.3 2×2.3 415 150 【考点】一元一次不等式的应用． 【专题】图表型． 【分析】设购买羽绒被x条，则购买羊毛被（80﹣x）条，根据付款总额不超过2万元就可以列出不等式，解出x，x取整数． 【解答】解：设购买羽绒被x条，则购买羊毛被（80﹣x）条． 根据题意，得 415x+150（80﹣x）≤20xx0． 整理，得265x≤8000． 10 / 13

解之得x≤．（5分） ∵x为整数 ∴x的最大整数值为30． 答：最多可购买羽绒被30条．（7分） 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到题目中的存在的不等关系，列出方程，并要注意x是整数这一个条件． 10．某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市 8 元． 【考点】三元一次不定方程． 【分析】利用所购买的环保袋所能装的大米≥20公斤，且所花的钱最少，列出不等式，进行分类讨论可得出结果． 【解答】解：根据选购的每只售价分别为1元，2元，3元的环保购物袋分别有x，y，z只， 根据题意得：3x+5y+8（3﹣x﹣y）≥20， 解得：x≤， ∵x≥0， ∴4﹣3y≥0， 解得：y≤， ∵y是非负整数， ∴y只能等于0或1． 当y=0时，x=0，z=3，他们选购的3只环保购物袋应付给超市3×3=9元； 当y=1时，x=0，z=2，他们选购的3只环保购物袋应付给超市1×2+2×3=8元， 所以他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市8元． 故答案为：8． 【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是根据三种环保购物袋分别能装的大米数量，列出不等式，再根据x，y，z为非负整数进行分类讨论． 11 / 13 11．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 【考点】三角形三边关系． 【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和， 即9﹣4=5，9+4=13． ∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13， 故只有B选项符合条件． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边． 12．若a＞0，b＜﹣2，则点（a，b+2）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标． 【专题】压轴题． 【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【解答】解：∵a＞0，b＜﹣2， ∴b+2＜0， ∴点（a，b+2）在第四象限．故选D． 【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 13.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由； 12 / 13 （2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上哪种购买方案？ 【考点】一元一次不等式的应用． 【专题】方案型． 【分析】（1）根据题意列出不等式，进行求解，确定购买方案． （2）进行分类讨论，将每种方案的日租金求出，若日租金不低于1500元，即符合要求． 【解答】解：（1）设轿车要购买x辆，那么面包车要购买（10﹣x）辆，由题意得： 7x+4（10﹣x）≤55，解得：x≤5 又∵x≥3，则x=3，4，5 ∴购车方案有三种： 方案一：轿车3辆，面包车7辆； 方案二：轿车4辆，面包车6辆； 方案三：轿车5辆，面包车5辆． （2）方案一的日租金为：3×200+7×110=1370（元） 方案二的日租金为：4×200+6×110=1460（元） 方案三的日租金为：5×200+5×110=1550（元） 答：为保证日租金不低于1500元，应选择方案三． 【点评】本题考查不等式的应用，在解题过程中要用到分类讨论的方法． 13 / 13

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