九年级数学二次根式，一元二次方程打印

第22章 二次根式导学案

22.1 二次根式(1)

一、学习目标

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：a?0(a?0)和(a)2?a(a?0) 二、学习重点、难点

重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质a?0(a?0)和(a)2?a(a?0)。

三、学习过程

（一）复习引入： （1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______, a一定是_______数。

4（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；

正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；

式子a?0(a?0)的意义是 。 （二）提出问题

1、式子a表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？

3、式子a?0(a?0)的意义是什么？ 4、(a)2?a(a?0)的意义是什么？

5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习

自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

a(a?0)23，?16，34，?5，3x?1 ，

2、计算 ：

(1) (4)2 (2) (3)2

1

（3）(0.5)2 （4）(12) 3根据计算结果，你能得出结论： ，其中a?0, (a)2?________(a)2?a(a?0)的意义是 。 3、当a为正数时

指a的 ，而0的算术平方根是 ，

中，

负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式字母a必须满足 , （三）合作探究

才有意义。

1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x取何值时，下列各二次根式有意义？

①

2、（1）若a?3?3?a有意义，则a的值为___________．

3x?4 ②2?21 ③ x ? 32?x?x在实数范围内有意义，则x为（ ）（2）若 。

A.正数

B.负数 C.非负数 D.非正数

（四）展示反馈 (学生归纳总结)

1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式.

二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 2．式子a(a?0)的取值是非负数。 （五）精讲点拨

1、二次根式的基本性质(a)2=a成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方

2

形式，如5=(5).

2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 （五）拓展延伸

2

1?2x1、(1)在式子中，x的取值范围是____________.

1?x(2)已知x2?4+2x?y＝0，则x-y＝ _____________. (3)已知y＝3?x+x?3?2,则yx= _____________。

2、由公式(a)2?a(a?0)，我们可以得到公式a=(a)2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 (1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 5 0.35 (2)在实数范围内因式分解

x2?7 4a2-11

（六）达标测试

A组

(一)填空题： 2?3?1、 =________; ???? ?5?2、 在实数范围内因式分解：

（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)

（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)

（二）选择题：

?13)2的值为（ ） 1、计算 (

3

A. 169 B.-13 C±13 D.13

2、已知 x ?3?0,则x为（ ）A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。

A. 3= (3)2 B 0.5=(0.5)2 C .(0.3)2=0.3

D (57)2=35 B组

（一）选择题：

1、下列各式中，正确的是（ ）。

4?9?9?4A. 9? B 4? = 9?4

255C D 4?2?4?2?366

2、 如果等式(?x)2= x成立，那么x为（ ）。

A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0

（二）填空题:

1、 若a?2?b?3?0，则 a2?b= 。 2、分解因式：x - 4X2 + 4= ________.

3、当x= 时，代数式4x?5有最小值， 其最小值是 。

二次根式(2)

一、学习目标

1、掌握二次根式的基本性质：a2?a 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点

重点：二次根式的性质a2?a．

4

4

难点：综合运用性质a2?a进行化简和计算。 三、学习过程

（一）复习引入：

（1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式

2有意义，则x 。 x?5（3）在实数范围内因式分解：

x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)

（二）提出问题 1、式子

a2?a表示什么意义?

2、如何用来化简二次根式? 3、在化简过程中运用了哪些数学思想? （三）自主学习

自学课本第3页的内容，完成下面的题目：

a2?a1、计算：

42()?2220.2?20? 54?

观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当a?0时,a?

2、计算：

4(?)2?(?4)?(?0.2)?(?20)2?5

22观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a?0时,a? 3、计算：

02? 当a?0时,a?

（四）合作交流

1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：

5

? a a?0?a2?a??　0 a?0

??a a?0?2、化简下列各式：

(1)0.3?______2(2)??0.3?2?______(3)??5?2?_______

(4)(2a)2?_____（a<0）

3、请大家思考、讨论二次根式的性质(a)2?a(a?0)与a2?a有什么区别与联系。 （五）展示反馈 1、化简下列各式

（1）4x2(x?0) (2) x

2、化简下列各式

（1）(a?3)2(a?3) （2）

（六）精讲点拨

利用a2?a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。 （七）拓展延伸

(1)a、b、c为三角形的三条边，则(a?b?c)2?b?a?c?____________. (2) 把(2-x)

4?2x?3?2（x＜-2）

1的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ） x?26

A、2?xB、x?2 C、?2?x D、?x?2 (3) 若二次根式?2x?6有意义，化简│x-4│-│7-x│。 （八）达标测试：

A组

1、填空：（1）、(2x?1)2-(2x?3)2(x?2)=_________.

（2）、(??4)2= 2、已知2＜x＜3，化简：(x?2)2?x?3

B组

111、 已知0 ＜x＜1，化简：(x?)2?4－(x?)2?4

xx

a的正方形方孔．若沿3图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．

22.2二次根式的乘除法

2、 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为

7

二次根式的乘法

一、学习目标

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

二、学习重点、难点

重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二

次根式的化简。

三、学习过程 （一）复习回顾 1、计算：

（1）439=______ 4?9=_______ （2）16 325 =_______ 16?25=_______ （3）100 336 =_______ 100?36=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）439_____4?9 （2）16325____16?25 （3） 100336__100?36

（二）提出问题

1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？ 3、积的算术平方根有什么性质？

4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习

自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空：

（1）233____6 （2）536____30 （3）235____10 （4）435____20 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？

8

能用数学表达式表示发现的规律吗？

3、二次根式的乘法法则是：

（四）合作交流

1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：

（1）9327 （2）25332

（3）5a2

11ab （4）523a2b 53

2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质：

。 （2）化简：

①54 ②12a2b2

③25?49 ④100?64

（五）展示反馈

展示学习成果后，请大家讨论：对于9327的运算中不必把它变成243

9

后再进行计算，你有什么好办法？

（六）精讲点拨

1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。 （七）拓展延伸

1、判断下列各式是否正确并说明理由。 （1）(?4)?(?9)＝?4??9 （2）3a2b3=ab3b

（3） 683（-26）=6?(?2)8?6=?1248 （4）499?16 =4??16＝4?3＝12 16162、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

(1) -3

21 (2) ?2a 32a

（八）达标测试：

A组

1、选择题

10

（1）等式x?1?x?1?x2?1成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．

A．45325=85 B．53342=205 C．43332=75 D．53342=206 （3）二次根式(?2)2?6的计算结果是（ ） A．26 B．-26 C．6 D．12 2、化简：

（1）360； （2）32x4；

3、计算：

（1）18?30； （2）3?275；

B组

1、选择题

（1）若a?2?b2?4b?4?c2?c?14?0，则b2?a?c=（ A．4 B．2 C．-2 D．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A．(?4)?(?6)??4??6=（-2）3（-4）=8 B．4a4?4?a4?22?(a2)2?2a2 C．32?42?9?16?25?5

D．132?122?(13?12)(13?12)?13?12?13?12?25?1

11

）

2、计算：（1）683（-26）； （2）8ab?6ab3；

二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 二、学习重点、难点

重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二

次根式的化简。

三、学习过程 （一）复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算： （1）383（-46） （2）12ab?6ab3

3、填空： （1）

99=________，=_________ 16161616=________，=________ 363644=________，=_________ 1616（2）

（3）

（二）提出问题：

1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的除法法则进行计算？ 3、商的算术平方根有什么性质？

4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？ （三）自主学习

12

自学课本第7页—第8页内容，完成下面的题目： 1、由“知识回顾3题”可得规律：

9______169 1616______3616 3644_______ 1616

2、利用计算器计算填空: （1）

322=_________（2）=_________（3）=______ 435322322______ _______ _____ 435435规律：

3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则： 。 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质： 。 （四）合作交流

1、 自学课本例3，仿照例题完成下面的题目：

计算：（1）

2、自学课本例4，仿照例题完成下面的题目：

3112? （2） 283364b2化简：（1） （2） 2649a

13

（五）精讲点拨

1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。 （六）拓展延伸 阅读下列运算过程：

13322525， ????5355?533?3数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。 利用上述方法化简：(1)

21=_________ （２）=_________

32 6110=_____ ___ (４) =___ ___ 1225(３) （七）达标测试：

A组

1、选择题

112 （1）计算1?2?1的结果是（ ）．

335 A．

27225 B． C．2 D．

77（2）化简

?32的结果是（ ） 27 A．-

262 B．- C．- D．-2 3332、计算：

14

（1） （3）

248 （2）

2x38x

119x （4） ?41664y2B组

用两种方法计算： （1）

最简二次根式

一、学习目标

1、理解最简二次根式的概念。 2、把二次根式化成最简二次根式．

3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、学习重点、难点

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。 三、学习过程 （一）复习回顾

1、化简（1）96x4 （2）646（2）

8 4332 27 15

2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？

（二）提出问题： 1、什么是最简二次根式？

2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？ 3、如何进行二次根式的乘除混合运算？ （三）自主学习

自学课本第9页内容，完成下面的题目：

1、满足于 , 的二次根式称为最简二次根式. 2、化简: (1) 35 (2) x2y4?x4y2 12

(3) 8x2y3 (4)

（四）合作交流

820

2121、计算： 1?2?1

335

2、比较下列数的大小

16

（1）2.8与23 （2）?76与?67 4A

3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3cm，BC=6cm，求AB的长．

（五）精讲点拨

BC1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．

（六）拓展延伸

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

12?113?2?1?(2?1)(2?1)(2?1)??2?1?2?1， 2?1?3?2?3?2， 3?21?(3?2)(3?2)(3?2)同理可得：

12?3 =2?3，??

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （

17

12?1?13?2???+

12009?2008）（2009?1）的值．

（七）达标测试：

A组

1、选择题 （1）如果x（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）． y A．xyx（y>0） B．xy（y>0） C．（y>0） D．以上都不对

yy（2）化简二次根式a?a?2的结果是 2a A、?a?2 B、-?a?2 C、a?2 D、-a?2 2、填空：

（1）化简x4?x2y2=_________．（x≥0） （2）已知x? 3、计算：

15?2，则x?1的值等于__________. x371?（1）1? (2) 331?(?114)?14422874

B组

1、计算：

512

233b（a>0,b>0） ab5?(?ab)?3b2ax2?4?4?x2?12、若x、y为实数，且y=，求x?y?x?y的值。

x?2

18

22.3二次根式的加减法 二次根式的加减法

一、学习目标

1、了解同类二次根式的定义。

2、能熟练进行二次根式的加减运算。 二、学习重点、难点

重点：二次根式加减法的运算。

难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。 三、学习过程

（一）复习回顾

1、什么是同类项？

2、如何进行整式的加减运算？

3、计算：（1）2x-3x+5x （2）a2b?2ba2?3ab

（二）提出问题

1、什么是同类二次根式？

2、判断是否同类二次根式时应注意什么？ 3、如何进行二次根式的加减运算？

（三）自主学习

自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： 1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：

（1）22与32 （2）2与3 （3）5与20 （4）18与12

从中你得到： 。

2、自学课本例1，例2后，仿例计算：

（1）8+18 （2）7+27+39?7

19

（3）348-9

1+312 3通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应

。 （四）合作交流，展示反馈

小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟

(1) 12?( (3) x11?) (2) (48?20)?(12?5) 32721x1x1 （4）x9x?(x2?6x) ?4y??y3x4x2y

（五）精讲点拨

1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式；

③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。

（六）拓展延伸

20

1、如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是 面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制 作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底 面边长分别是多少？

2、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，

2求（x9x+y23y1x2）-（x-5x）的值． 3xxy

（七）达标测试：

A组

1、选择题

（1）二次根式：①12；②22；③与3是同类二次根式的是（ ）．

A．①和② B．②和③

C．①和④ D．③和④

（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．

A．2x与2y B．2；④27中， 3434958ab与ab 92C．mn与n D．m?n与n?m 2、计算：

21

（1）72+38-550 （2）

B组

2x1 9x?6?2x34x1、选择：已知最简根式a2a?b与a?b7是同类二次根式，则

满足条件的 a,b的值（ ） A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组 2、计算： （1）390+

二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

二、学习重点、难点

重点：熟练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。 三、学习过程

（一）复习回顾： 1、填空

（1）整式混合运算的顺序是：

。 （2）二次根式的乘除法法则是：

。

22

21-4 （2）2x?8x3?22xy2(x?0,y?0) 540

（3）二次根式的加减法法则是：

。 （4）写出已经学过的乘法公式：

① ②

2、计算： （1）623a2

（3）23?8?

（二）合作交流 1、探究计算：

（1）（8?3）36 （2）(42?36)?22

2、自学课本11页例3后，依照例题探究计算： （1）(2?3)(2?5) （2）(23?2)2

23

111b （2） ?34161112?50 25

（三）展示反馈 计算：（限时8分钟） （1）(

（3）(32?23)2 （4）（10-7）（-10-7）

（四）精讲点拨

整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。 （五）拓展延伸

同学们，我们以前学过完全平方公式(a?b)2?a2?2ab?b2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，下面我们观察：

1227?24?3)?12 （2）(23?5)(2?3) 33(2?1)2?(2)2?2?1?2?12?2?22?1?3?22 反之，3?22?2?22?1?(2?1)2

∴ 3?22?(2?1)2

24

∴ 3?22=2-1 仿上例，求：（1）；4?23 （2）你会算4?12吗？

（3）若a?2b?m?n，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．

（六）达标测试：

A组

1、计算：

（1）(80?90)?5 （2）24?3?6?23

（3）（a>0,b>0）（4）(26-52)(-26-52) (a3b?3ab?ab3)?(ab)

2、已知a?

B组

1、计算：（1）(3?2?1)(3?2?1)（2）(3?10)2009(3?10)2009

25

12?1,b?12?1，求a2?b2?10的值。

2、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？

《二次根式》复习

一、学习目标

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。 2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。 4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。 二、学习重点、难点

重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。 三、复习过程

（一）自主复习

自学课本第13页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习： 1．若a＞0，a的平方根可表示为___________

a的算术平方根可表示________

2．当a______时，1?2a有意义， 当a______时，3a?5没有意义。 3．(??3)2?________

26

(3?2)2?______

4．14?48?_______;72?18?________ 5．12?27?_______;125?20?_______

（二）合作交流，展示反馈

1、式子

1125x33?52 (2)2、计算： (1) 212? 49y2x?4?x?5x?4x?5成立的条件是什么?

3．(1) 2?53?375 (2) (?32?23)2

（三）精讲点拨

在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：

（1）(a)2?a(a?0)与a?(a)2(a?0)

? a a?0?0 a?0 （2）a2?a??　??a a?0?（3）a?b?ab(a?0,b?0)与ab?a?b(a?0,b?0) （4）

aaaa?(a?0,b?0)与?(a?0,b?0)

bbbb（5）(a?b)2?a2?2ab?b2与(a?b)(a?b)?a2?b2

（四）拓展延伸

27

1、用三种方法化简

66

解：第一种方法：直接约分

第二种方法：分母有理化

第三种方法：二次根式的除法

n2?9?9?n2?42、已知m,m为实数，满足m?，

n?3求6m-3n的值。

（五）达标测试：

A组

1、选择题： （1）化简

??5?2的结果是（ ）

A 5 B -5 C 士5 D 25 （2）代数式

x?4x?2中，x的取值范围是（ ）

A x??4 B x?2 C x??4且x?2 D x??4且x?2 （3）下列各运算，正确的是（ ）

A 25?35?65

28

?1?93 B ?9????25???25?5 C ?5??125??5???125? D x2?y2?x2?y2?x?y （4）如果

xy(y?0)是二次根式，化为最简二次根式是（ A

xy(y?0) B xy(y?0)

C

xyy(y?0) D．以上都不对 （5）化简

?3227的结果是（ ）

A???23B???23C???63D???2

2、计算．

(1)27?23?45 (2) 16?2564

(3)(a?2)(a?2) (4)(x?3)2

29

）

113?23?23、已知a?2,b?2求a?b的值

B组

1、选择： （1）a?15,b?55，则（ ） A a,b互为相反数 B a,b互为倒数 C ab?5 D a=b （2）在下列各式中，化简正确的是（ ）

A

5113?315 B 2??22

C a4b?a2b D x3?x2?xx?1（3）把(a?1)?1a?1中根号外的(a?1)移人根号内得（

A??a?1B1?aC?a?1D?1?a

2、计算： （1）26?3?6?54 （2） 0.9?12120.36?100

30

）

（3）(32?23)2(?32?23)2

3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：

22233?2??,???????3?3??????? 3388(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路， 猜想4

(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数， 且n≥2)表示的等式并进行验证．

参考答案 二次根式(一)

（五）拓展延伸

11、 (1)x?,且x??1 (2)?6 (3)?8

24的变化结果并进行验证． 152、(1)(?5)2????????(?0.35)2

(2)(x?7)(x?7)???????(2a?11)(2a?11)

（六）达标测试

(A组)(一)填空题：

31、 2、（1）x2 - 9= x2 -（3）2=（x+ 3）(x-3);

5

31

（2）x - 3 = x - (3) = (x+ 3) (x-3).

（二）选择题：

1、D 2、C 3、D

(B组)（一）选择题：

1、 B 2、A （二）填空题:

1、 1 2、(x2?2)(x?2)(x?2) 3、?二次根式(二)

（五）展示反馈

1、（1）2x (2) x2 2、（1）a?3（2）?2x?3 （七）拓展延伸

(1)2a (2)D (3) ?3 （八）达标测试： A组 1、（1）、2 （2）、4?? 2、1 B组 1、2x 2、

22a 35，0。 4222

22.2二次根式的乘除法

二次根式的乘法

（七）拓展延伸 1、（1）错（2）错（3） 错（4）错 2、(1) -6 (2) ?2a

（八）达标检测：

A组1、（1） A （2） D （3） A

2、（1）610 （2）42x2； 3、（1）615 （2）

B组1、（1） B （2） A

2、（1）?483 （2）?43ab2；

32

2 5

二次根式的除法

（六）拓展延伸 (1)

6232 （２） (３) (４) 3662（七）达标测试：

A组1、（1） A（2）C

2、（1）

x33x （2） （3）2 （4）

268yB组（1）22

（四）合作交流

1、1

2、（1）2.8>23、AB=35． （六）拓展延伸 （

12?1?13?2（2）

2 4最简二次根式

3 （2）?76??67 4???+

12009?2008）（2009?1）=2008．

（七）达标测试：

A组1、（1） C （2） B 2、（1）xx2?y2（2）4

3、(1)

32 (2) -22

B组1、 a2b2ab 2、

37 422.3二次根式的加减法 二次根式的加减法

（四）合作交流，展示反馈

33

(1) (3)

163 (2) 63?5 9x?3y （4）4xx 2（六）拓展延伸

1、高:3 底面边长23 2、（七）达标测试：

A组1、（1） C （2）D

2、（1）?122 （2）3x 22?36 4B组1、B 2、（1）910 （2）(2y?x)2x 二次根式的混合运算

（三）展示反馈

（1）6?182 （2）26?6?10?15 （3）30?126 （4）?3 （五）拓展延伸

（1）1?3 （2）3?1（3）a?m?n,b?mn （六）达标测试：

A组1、（1）4?185 （2）?42

（3）a?b?3ab （4）26 2、4

B组1、（1）22（2）?1 2、够用

《二次根式》复习

（一）自主复习

1．?a,a 2．a?

34

15，a?? 23

3．??3;2?3 4．442; 2 5．53; 35

（二）合作交流，展示反馈

1、x?5 2、(1)

3255x (2) 103y3．(1) 2?203 (2)30?126

（四）拓展延伸

1、6 2、5

（五）达标测试：

A组1、（1）A （2） B （3） B （4） C （5）C

2、(1)3?35 (2)

5 2(3)a?4 (4)x?9?23x 3、42

B组1、（1） D （2）C （3）D 2、（1）

111096（3）36 ?3 （2） 2023、(1)444?4??????? 1515(2) n

nn?n??????? n2?1n2?135

第二十三章 一元二次方程 23.1 一元二次方程（1课时）

学习目标：

1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。 导学流程：

自学课本导图，走进一元二次方程

分析：现设长方形绿地的宽为x米，则长为 米，可列方程 x（ ）= ，去括号得 ①. 你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？ 探究新知

36

【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm2,那么剪去的正方形的边长是多少？

设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？ 合作交流

动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。

列出的方程是 ② . 自主学习

【做一做】根据题意列出方程：

1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。 3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？

观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。 展示反馈

【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

37

【我学会了】

1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。

【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1）4x2?81（2）3x(x?1)?5(x?2) 【巩固练习】教材第19页练习 归纳小结

1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、学习过程中用了哪些数学方法？

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？ 达标测评

（A）1、判断下列方程是否是一元二次方程; （1）2x?123x??0（ ）（2）2x2?y?5?0 ( ) 321?7?0 ( ) x(3) ax2?bx?c?0 （ ） (4)4x2?2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系

38

数、一次项系数和常数项：

（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;

（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4. 3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1）2x(x?1)?4(x?1) ±1 ±2； （2）x2?2x?8?0 ±2， ±4

（B）1、把方程mx2?nx?mx?nx2?q?p (m?n?0)化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

2、要使(k?1)xk?1?(k?1)x?2?0是一元二次方程，则k=_______. 3、已知关于x的一元二次方程(m?2)x2?3x?m2?4?0有一个解是0，求m的值。

拓展提高

1、已知关于x的方程(k?2)x2?kx?x2?1。问 （1）当k为何值时，方程为一元二次方程？ （2）当k为何值时，方程为一元一次方程？

2、思考题：你能给出一元三次方程的概念及一般形式吗？

39

23.2 一元二次方程的解法（5课时）

第1课时

学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如x2=a(a≥0)或（mx+n）2=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；

2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；

3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。 难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。 导学流程： 自主探索

试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4； （2）x2－1＝0;

解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得 x=____ ______________＝0，

必有 x－1＝0，或______＝0, 得x1＝___，x2＝_____.

精讲点拨

(1)这种方法叫做直接开平方法. (2)这种方法叫做因式分解法. 合作交流

（1） 方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应

40

将它化成什么形式？

（2） 方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法

解，首先应将它化成什么形式？

课堂练习 反馈调控

1.试用两种方法解方程x2－900＝0.

(1)直接开平方法 (2) 因式分解法

2.解下列方程：

（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0. 解（1）移项，得x2＝2. (2) 移项，得_________. 直接开平方，得x??2. 方程两边都除以16，得______ 所以原方程的解是 直接开平方，得x＝___.

x1?－2，x2?2. 所以原方程的解是 x1＝___，x2＝___. 3.解下列方程：

（1）3x2＋2x=0； （2）x2＝3x.

解（1）方程左边分解因式，得_______________ 所以 __________，或____________ 原方程的解是 x1＝______，x2＝______ （2）原方程即_____________=0.

方程左边分解因式，得____________＝0. 所以 __________，或________________ 原方程的解是 x1＝_____，x2＝_________ 总结归纳

41

以上解方程的方法是如何使二次方程转化为一次方程的？用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤分别是什么？

巩固提高 解下列方程：

（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.

分 析 两个方程都可以转化为（ ）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.

解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，

（2）原方程可以变形为________________________， 有 ________________________.

所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________. 课堂小结

你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？它们之间有何联系与区别？（学生思考整理） 达标测评

(A)1、解下列方程：

（1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0；

（4）x2－2x＝0； （5）（t－2）（t +1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.

(7) x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0.

42

(B)2、小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么会少一个解？

拓展提高

1、解下列方程：

（1）x2+2x-3=0 (2) x2-50x+225=0 （教师引导学生用十字相乘法分解因式。）

2、构造一个以2为根的关于x 的一元二次方程。

第 2 课 时

学习目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。 重点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难点：配方的过程。 导学流程 自主学习

自学教科书例4，完成填空。 精讲点拨

43

上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练一练 ：配方.填空：

（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2； （2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2；

3（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋ ）2；

2从这些练习中你发现了什么特点?

(1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 合作交流

用配方法解下列方程：

（1）x2－6x－7＝0； （2）x2＋3x＋1＝0.

解（1）移项，得x2－6x＝____.

方程左边配方，得x2－22x23＋__2＝7＋___， 即 （______）2＝____. 所以 x－3＝____. 原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____. （2）移项，得x2＋3x＝－1.

方程左边配方，得x＋3x＋（ ）＝－1＋____， 即 _____________________ 所以 ___________________

原方程的解是： x1＝______________x2＝___________ 总结规律

用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？

44

2

2

深入探究

用配方法解下列方程：

（1）4x2?12x?1?0 （2）3x2?2x?3?0

这两道题与例5中的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。

课堂小结

你今天学会了用怎样的方法解一元二次方程？有哪些步骤？（学生思考后回答整理） 达标测评

（A）用配方法解方程：

（1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5x－6＝0. （3）2x2-x=6

（4）（4）x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).

（5）4x－6x＋（ ）＝4（x－ ）＝（2x－ ）. 拓展提高

已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

45

2

2

2

第 3 课 时

学习目标

1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；

2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 重点：用公式法解简单系数的一元二次方程； 难点：推导求根公式的过程。 导学流程 复习提问：

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程3x2-6x-8=0;

3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 推导公式

用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 因为a≠0，方程两边都除以a，得

_____________________＝0.

bx＝________， abc配方，得 x2＋x＋______＝______－,

aa移项，得 x2＋

即 (____________) 2＝___________

因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 _____________________________.

46

所以 x＝_______________________ 即 x＝_________________________

由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：

?b?b2?4ac2精讲点拨 x＝( b－4 ac≥0) 2a利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 合作交流

b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？ 展示反馈

学生在合作交流后展示小组学习成果。

① 当b－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）

② 当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根

2

x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿

③ 当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 巩固练习 1、做一做：

(1)方程2x2-3x+1=0中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ） (2)方程(2x-1)2=-4中，a=（ ）,b=（ ）,c=（ ）.

(3)方程3x2-2x+4=0中，b2?4ac=（ ）,则该一元二次方程（ ）实数根。

47

(4)不解方程，判断方程x2-4x+4=0的根的情况。

2、应用公式法解下列方程:

(1) 2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3) 5x2－4x－12＝0； (4) 4x2＋4x＋10＝1－8x. 解 (1)这里a＝___，b＝___，c＝______， b2－4ac＝____________ ＝_________

?b?b2?4ac所以x＝＝_________＝____________

2a即原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____

(2)将方程化为一般式，得_________________＝0. 因为 b2－4ac＝_________

所以 x＝_____________＝_______________ 原方程的解是 x1＝________，x2＝_____ (3)因为 ___________________，

所以 x＝____________＝__________＝__________ 原方程的解是 x1＝________，x2＝__________. (4)整理，得_______________＝0. 因为 b－4ac＝_________， 所以 x1＝x2＝________ 课堂小结

1、一元二次方程的求根公式是什么？ 2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 达标测评

48

2

（A）1、应用公式法解方程：

(1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6；

(3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).

（5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.

（B）2、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m.

(1)养鸭场的面积能达到150m2吗？能达到200 m2吗？ (2)能达到250 m2吗？

拓展提高

m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0 有两个相等的实数根？

第4课时 一元二次方程根的判别式（选学）

49

学习目标

1、了解什么是一元二次方程根的判别式； 2、知道一元二次方程根的判别式的应用。

重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况； 难点：根的判别式的变式应用。 导学流程 复习引入

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac___0时才有实数根

观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：

① 当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）

②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根

x1＝x2＝＿＿＿＿＿＿＿＿

③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根. 精讲点拨

这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根； 合作交流

方程根的判别式应用

1、不解方程，判断方程根的情况。

（1）x2＋2x－8＝0； （2）3x2＝4x－1；

（3）x（3x－2）－6x2＝0； （4）x2＋(3＋1)x＝0；

50

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