高等数学题库（一元微积分部分）

高等数学题库（1） 函数

一、 填空题：

1． 函数 y=arcsinx2?9 定义域是:3?x?10??10?x??3 2.设y=f(x)的定义域是[0，1]，则复合函数f(sinx)的定义域是:2k??x?2k???,k?z.

3．函数y?x3?3的值域是 0?y ?+? . 4．函数y?1?ax1?x. (a?0,a?1)的反函数是:y?1?axa?ax 5．函数y??x2?1在区间 (??,0] 内是单调增加的.在区间[0，??)内是单调减少.

1?1?x212 6．设f()?x?1?x，（x>o）,则f(x)=. xxxx,则f(f(f(x))=, f(f(x))= x . x?1x?1?x,???x?1,?x,???x?1?? 8．函数y??x2,1?x?4的反函数y=?x,1?x?16,

?logx,16?x???.?x?2,4?x????2 . 二．选择题：

1． 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D）

(A) 关于y轴对称; (B) 关于x轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x对称.

7．设f(x)? 2.下列几对函数中，f(x)与g(x)相同的是（C）.

（A）f(x)?lgx2与g(x)?2lgx （B）f(x)?x与g(x)?x2 （C）g(x)?x2与g(x)?x2 （D）f(x)?1与g(x)? 3．已知的定义域为则的定义域是（C） （A）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果g(x)?1x，那么f()的表达式是（B）

f(x)x?1x x(A) x-1 (B)1-x (C)

x?1 (D) 都不是 x三．设函数y?f(x)是线性函数，已知f(0)?1,f(1)??3,求此函数. 解：设f(x)=ax+b,

则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.

x四．证明函数f(x)?2在它的整个定义域内是有界.

x?1 证明：f(x)的定义域为R.

x?2x?111x?x

因为x?111?2,所以?

12xx?xx在它的整个定义域内是有界 x2?111五．试讨论函数f(x)?x?的奇偶性.

2?1211 解：f(x)?x?

2?1211 f(?x)??x?

2?12 所以： 函数f(x)? ?11?1x2?1 2 ?11 ?1?2x22x2x1? ? 1?2x21?1?2x1? ?x21?2 ??1?11 ?1?2x2 ?11 ?1?2x2 ??f(x) 所以 f(x)?11偶函数. ?x2?12高等数学题库（2） 数列的极限

一．判断题：

1．如果数列{un}以A为极限，那么在数列｛un｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数

列｛un｝仍以阿A为极限． ( T )

2．如果limunvn?0 ，则有limun?0 或limvn?0 ( F )

n??n??n??3．如果liman?a，且存在自然数N，当n>N时恒有an＜０，则必有a<

n??０． ( F )

4．如果liman，limbn均不存在，则有lim(an?bn)必不存在． ( F )

n??n??n??二．观察下列数列变化趋势写出它们的极限，并加以证明（—N说法）： １．xn?n??n?1 n?1 解：limxn=1. 证明：xn?1?n?11?1? n?1n?1 为了使xn?1??，只要

1?? 即可. n?1?1? 所以 ???0,?N,取N???1?,当n?N时，有xn?1??.

??? limxn=1

n??ncos?2 ２．xn?n 解：limxn=0

n??ncos?2?1?1 证明：xn?0?nnn1 要使xn?0??,只要??即可.

n?1? 所以 ???0,?N,取N???,当n?N时，有xn?0??

??? limxn=0

n??10n?1三．根据数列极限定义证明： lim=1.

n??10n10n?11?1 = nn101010n?11?1??, 要使只要??即可. n10n1010n?1?1??1??, 所以 ???0,?N,取N??lg?,当n?N时，有n10???10n?1 lim=1 。

n??10n四．若limun?a，证明：limun?a.

n??n??证明：limun?a

n?? 即：???0,?N,当n?N时， 有un?a?? 而un?a?un?a

所以对 ???0,?N,当n?N时， 有un?a?? 即limun?a

n??

高等数学题库（3） 函数的极限，无穷大，无穷小

一． 选择题：

下列题中其条件对其结论来说是

（Ａ）充分但非必要条件； （Ｂ）必要但非充分条件； （Ｃ）充分必要条件： （Ｄ）既非充分又非必要条件； １．条件liman?a，limbn?b.

n??n??结论lim(an?bn)?a?b （A）

n??２．条件limf(x)和limf(x)都存在.

n?a?0n?a?0结论limf(x)存在 （B）

n?a３．条件limf(x)和limg(x)都存在.

n?an?a结论 lim[f(x)?g(x)]存在. （A）

n?a４．条件f(x)在a的某个邻域内单调有界．

结论limf(x)存在． （D）

n?a二．根据极限定义证明：lim 证明：

2x?12? ．

n??3x32x?122121 ?=???3x333x33x2x?121???,只要??. 3x33x 为了使

2x?12?1? 所以???0,?X,X???，当x>X 时，有???成立.

3x3?3?? 故 lim2x?12?

n??3x3xx,g(x)?，当x?0时的左右极限，并说明它们在x?0时的极xx三．求f(x)?限是否

存在？ 解：f(x)?x=1，所以limf(x)?1.

x?0x??1,x?0, g(x)???所以 limg(x)??1， limg(x)?1

x?0?0x?0?0x?1,x?0.x 显然limg(x)?limg(x)，故limg(x)不存在.

x?0?0x?0?0x?0

四．根据定义证明：当x?0时，函数y?件，能使 出y?104？

证明：设M是任意给定的正数. 要使 y?1?2x1??2 > M, xx1?2x是无穷大，问x应满足什么条x 只要

11?M+2 (x?0?0) 或 ?M-2 (x?0?0) xx11?M+2 或 2-M〈? 0 xx11 所以，取??，则对于适合x???的一切x,

M?2M?2 即：0〈

就有y?1?2x1??2 > M, xx1?2x??.

x?0x 所以有：limy?limx?0 取M=104,由上知x在下列条件下： 0 < x <

11 或 < x < 0 4410?22?10 有：y?104. 五．证明：函数 y?函数不是

无穷大．

111(k?N),当k???时，y?cos=2k???? 2k?xx11 所以 y?cos在区间（０，１］上无界.

xx1 2.取x?(k?N),当k???时，x??0，

2k???111 y?cos=?0=0

xx2k???11cos在区间（０，１］上无界，但当x?＋０时，这xx 证明：1. 取x? 即在0的任何邻域都不可能有y?11cos?M（M>0）成立. xx 所以当x?＋０时，这函数不是无穷大．

高等数学题库（4） 极限的求法

一． 判断题：

下列运算是否正确：

1.lim(x2?x?x)?????0 (F)

n??2.lim2x?3x??????1. (F) 3lim(2x3?3)x??3x4?5lim4x??(3x?5)?3.limn??(1n2?2n2?????nn2)?lim12nn??n2?limn??n2?????limn??n2?0 4.limx?0arctg1x,当x??0时，1x???,从而xlim1??0arctgx???12,当x??0时，x???,从而1xlim??0arctgx??12,所以limx?0arctgx不存在.

二．计算下列极限：

4x3?2x2１．lim?xx?03x2?2x

解：lim4x3?2x2?xx?03x2?2x =lim4x2?2x?1x?03x?2 =12 ２．1nlim??(1?2?14?????12n)

解：limn??(1?1112?4?????2n)

1?(1)n=lim2n?? 1?12=2

３．lim11x?1(1?x?1?x3) F） (T)（解：设f(x)?111，则??f(x)1?x1?x3111?1?x1?x3

111?x3 因为lim=0， ?lim?limx?1f(x)x?1x?1x?x211?1?x1?x3 所以limf(x)??

x?111 即：lim(?)?? 3x?11?x1?x４．limx?0x?1?1 xx?1?1 x(x?1?1)?(x?1?1)x?(x?1?1)解：limx?0=limx?0

=limxx?(x?1?1)x?0

=lim1= 21x?1?1x?0

５．limarctgx

x??x解：因为 ? 而 lim?2?arctgx??2 所以arctgx为有界函数.

1=0， x??x 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.

arctgx lim=0 x??x６．lim(x?x?x?x)

x???解：lim(x?x?x?x)

x???=lim(x?x?x?x)?(x?x?x?x)x?x?x?xx???

=lim(x?x?x)?xx?x?x?xx?xx?x?x?x111?x?1?1?x???

=limx???

=limx???1x

1= 2７．lim(1?x)(1?x2)???(1?xn)

n??解：lim(1?x)(1?x2)???(1?xn)

n??(1?x)(1?x)(1?x2)???(1?xn) =lim n??1?x1?x2n =lim n??1?x =

1 1?x?x?3,x?3,且limf(x)存在，求a 三．已知f(x)??x?3?x?a,x?3解：limf(x)=limx?3?0x?3?0x?3?0x?3=0，

limf(x)=lim(x?a)=3+a,

x?3?0limf(x)存在，即：limf(x)=0?limf(x)?3?a

x?3x?3?0x?3?0所以. a??3.

高等数学题库（5）

极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较

一、 判断题： 1． 2． 3．

tgxx?x因为x?0时，tgx~x,sinx~x,所以 limsinx??lim?0 （F） 33x?0xx?0x2?xx22?2lim()?lim(1?)?e2 (T) x??x??xxxtgxtgxxtgxx?lim(?)?lim??1 (F)

x??sinxx??x??xxsinxsinx二、计算下列极限

sin2x1. lim

x?0sin5xsin2xsin2x5x2sin2x5x22解：lim=lim(??)=lim?lim?=

x?0sin5xx?0x?0x?02xsin5x52xsin5x55lim2. limxctgx

x?0解：limxctgx=lim(x?x?0x?0sinxsinxsinx=1 )=lim(cosx?)=limcosx?limx?0x?0cosxx?0xx3. lim1?cos2x

x?0xsinx2?sinx21?cos2x2sinxsinx解：lim=lim=lim=2?lim=2

x?0x?0x?0x?0xsinxxsinxxx14. limxsin

x??x1解：limxsin=limx??xx??sin11sinx=limx=1.

111?0xxx15. lim(1?)kx

x??x11(?x)?(?k)1?x?k?k解：lim(1?)kx=lim(1?=lim[(1?))]=e

x???x???x??x?x?xx?1x6. lim()

x??x?11x?1x(x?1)?2x2x解：lim())=lim[]=lim(1?)=lim(1?x??x??x?1x??x??x?1x?1x?121)=lim[(1?x??x?12x?1?22x?1?2?12

?(1?1)]=e2. x?12二、 证明：当x?0时，下列各对无穷小量是等价的 1.arctgx~x

证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当x?0时，A?0. limAarctgx=lim=1 A?0x?0tgAxx22.1-cosx ~

2xxx2?sin()22?sin()2sin()21?cosx2=lim2=lim2=1. 证明：lim=lim2xxx?0x?0x2xxx2?0?02?()()2222222132n?1四、证明：lim(????)?0

n??242n用两边夹法则：（解法一）

132n?1 设F(n)= ????>0

242n22 则F(n)?(1?3???2n?1)2 ?1?3???(2n?1)

242n2242(2n)2 ? ?132(2n?1)2 ?????22?142?1(2n)2?1132(2n?1)2????3?55?7(2n?1)?(2n?1)

1 2n?11, 则2n?1 设 g(n)=0, h(n)= g(n)=0 < F(n) < h(n).

显然limg(n)?0，limh(n)?0；

n??n?? 由极限存在准则I知：limF(n)?0.证毕.

n??132n?1 （解法二）：设F(n)= ????>0

242nn?2n?1 因为 （n为自然数）， ?n?1n 所以有F(n)< 132n?1242n

?????????242n352n?1 =

1 2n1, 则2n?1 设 g(n)=0, h(n)= g(n)=0 < F(n) < h(n).

显然limg(n)?0，limh(n)?0；

n??n?? 由极限存在准则I知：limF(n)?0.证毕.

n?? 另解：

132n?1 设F(n)= ????( 0

242n2n 则F(n+1)= F(n)?，有F(n+1)

2n?1 所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II知F(n)有极限.

n 设limF(n)?A.则有limF(n?1)=lim(?F(n))

n??n??n??n?1n?limF(n) limF(n?1)=

n??n?1n??n A=A , A=0. 即limF(n)?0.证毕.

n??n?1五、设0?x1?1,n?1,2,???,xn?1?2xn?xn，证明数列{xn}的极限存在，并求其极限.

证明： xn?1?2xn?xn ?1?1?2xn?xn ?1?(1?xn)2 ?1?[1?(1?(1?xn?1)2)2] ?1?(1?xn?1)2 ?1?(1?xn?2)2 =...... ?1?(1?x1)2

因为 0?x1?1, 所以 0?xn?1, 因为 xn?1?2xn?xn

所以xn?1?xn?xn(1?xn)>0 即： xn?1?xn

所以{xn}为单调有界数列，由极限存在准则II知{xn}有极限. limxn?A ， 则有 limxn?1?lim(2xn?xn)，

n??n??n??2k?1232222 A=2A--A2，解得：A=1 或A=0（舍去，因为{xn}为递增数列且x1?0.） 所以 limxn?1

n??高等数学题库（6） 函数的连续性

一． 判断题

11111．lim(??...?)?

n??1*33*5(2n?1)(2n?1)2

（ T ）

x?x0x?x02.设f(x)在x0点连续，则 limf(x)?f(limx)

（ T ）

3．如果函数f(x)在[a,b]上有定义，在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)?0，则在

(a,b)内

至少存在一点?，使得f(?)= 0 （ T ）

4．若f(x) 连续，则f(x)必连续. （ T ） 5．若函数f(x)在[a,b]上连续且恒为正，则（ T ）

6．若limf(x)?a,且a?0，则在x0的某一邻域内恒有f(x)?0. （ F ）

x?x01在[a,b]上必连续. f(x)17．x?0是函数f(x)?xsin的振荡间断点.

x （ F ） 二． 填空题：

sinx1．lim?(?1) x??x??sinx2. lim?( 0 ) x??xx?3x?2?( ? ) 3. lim3x?1x?x2?x?12

4. x?0是f(x)?e的第（二）类间断点.

1x?1?tanx?三． 求lim??x?01?sinx???1?tanx? 解：lim??x?01?sinx??1sinx1sinx

cotxsecx?1?tanx?=lim1x?0sin?1?sinx?xx?e?1 e四． 求函数f(x)?(1?x)tan(x??4在(0,2?)内的间断点，并判断其类型.

3?5?7?，x?，x? 4444 因为 limf(x), limf(x)不存在，limf(x)?1,limf(x)?1

解：f(x)在?0,2??内的间断点有：x?x??，x??4x?5?4x?3?4x?7?43?7?，x?是f(x)的第一类（可去）间断点; 445?? x?，x?是f(x)的第二类间断点.

44 所以x?x2n?1?ax2?bx五． 设f(x)?lim，（1）求f(x)；（2）当f(x)连续时，求

n??x2n?1a,b的值.

1?ax3?2n?bx2?2n 解：(1) ?f(x)?lim 1?2nn??x?x?1?x??1?a?b? ? f(x)??2??1?a?b?2?2??ax?bxx?1x?1x??1x?1

(2) ? f(x)连续limf(x)?lim limx?(?1?0)11?a?b?1?f(1)??a?b?1

x?1?0x?1?0x21?1?a?b ?a?b??1 f(x)?lim?1?f(1)?x?(?1?0)x2?a?0 ??.

?b?1高等数学题库（7） 连续函数的性质

一．计算下列极限： 1．lim1?2x?3x?2x?4

2(x?2) 解：原式= limx2(1?2x?9)(x?2)(x?4)(1?2x?3)x?4=limx?44=

1?2x?33 2．limx?01?1?x2

x2(1?1?x2)2 解：原式=lim=lim(1?1?x)=2 2x?0x?0x 3．limlnx?0sinx x 解：原式=ln(limx?0sinx)=ln1?0

x?0x 4．lim(1?3tgx)ctgx

33tgx13tgx3 解：原式=lim(1?3tgx)x?0=[lim(1?3tgx)x?0]=e3

5．limx?15x?4?x

x?14(x?1)(x?1)(5x?4?x) 解：原式=limex?1 6．lim

x?0xx?1=lim45x?4?xx?1=2

解：令ex?1?t，得x?ln(t?1)，当x?0时,t?0 原式=limt?0t=limln(1?t)t?01ln(1?t)1t=

t?01ln[lim(1?t)]1t=

1?1 lne二．证明方程x?asinx?b至少有一个不超过a?b的正根（其中a?0,b?0）. 证明：设f(x)?asinx?b?x，则f(x)在[0,a?b]上连续. 又f(0)?b?0，f(a?b)?a[sin(a?b)?1]?0. 若f(a?b)?0，则结论成立.

若f(a?b)?0，则由零点定理???(0,a?b)使得f(?)?0.

三．设f(x)在[0,1]上连续，且0?f(x)?1，证明：至少存在一点??[0,1]，使得

f(?)??.

证明：设F(x)?f(x)?x，则F(x)在[0,1]上连续.

3?x2 2.对于函数f?x??，在区间?0,1?上满足拉格朗日中值定理的点?是(A).

3(A)

111; (B)?; (C); (D)1. 233二. 应用导数证明恒等式：arcsinx?arccosx? 处的讨论）

证：令f?x??arcsinx?arccosx

?2??1?x?1?.（注意：对x??1

当x???1,1?时，f'?x???arcsinx?'??arccosx?'??f?x??C（C为常数）.

11?x2?11?x2?0

特别地，取x?0,则求得C?f?0??当x??1时，f??1???当x?1时，f?1???2

?2????2

?2?0??2

? 当x???1,1?时，arcsinx?arccosx?三. 设a?b?0，证明：

a?baa?b. ?ln?abb?2

证：设f?x??lnx，在[b,a]上利用拉格朗日中值定理，有：

lna?lnb1??ln??'??b???a?

a?b??111?? a?b?a?baa?b. ?ln?abb四. 证明：不论b取何值，方程x3?3x?b?0在区间??1,1?上至多有一个实根.

证：反证法.设f?x??x3?3x?b，且在区间??1,1?上有两个以上实根，其中两个分别记为x1,x2，不妨设?1?x1?x2?1，则

f?x1??f?x2??0，由罗尔定理，在??1,1?内至少有一点?，使f'????0.

而f'?x??3x2?3在??1,1?内恒小于0，矛盾.命题成立.

五. 构造辅助函数，证明不等式e???e.

证：设f?x??lnx，则在区间?e,??上，f????ln?，f?e??1. 根据拉格朗日中值定理，在?e,??内至少存在一点?使

f????f?e?1?f'????,?e?????

??e?即ln??1????e?? 又?e????

?ln??1????e???1????e?e??e

?eln???即?e?e?

六. 设函数f?x?和g?x?在?a,b?上存在二阶导数，且g''?x??0,

f?a??f?b??g?a??g?b??0，证明

（1） 在(a,b)内g?x??0；

（2） 在(a,b)内至少存在一点?，使

f???f''???. ?g???g''???证：（1）反证法.设（a,b）内存在一点x1使g(x1)?0，则在?a,x1?上有g(a)=g(x1)=0,由罗尔定理知在(a,x1)内至少存在一点ξ1使g'(ξ1)=0. 同理在(x1,b)内也至少存在一点ξ2使g'(ξ2)=0. ∵g'(ξ1)=g'(ξ2)=0

∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点?3使g''(?3)?0,这与g''(x)?0矛盾，故在?a,b?内g?x??0. （3） 令F(x)?f(x)g'(x)?g(x)f'(x)

由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在???a,b?使得F'????0即

f???g''????f''???g????0

由于g????0,g''????0，故

f???f''???. ?g???g''???高等数学题库（14）罗必塔法则 泰勒公式

一. 求下列极限：

ex?e?x?2 1. lim x?01?cosxex?e?xex?e?x 解：原式=lim?lim?2

x?0x?0sinxcosx 2. limx?0x?arcsinx 3sinx1?1312?2??2x?1?x21?x2 解：原式=lim ? limx?03sin2xcosxx?0?3sinx?9cos2xsinx?? =limx?0xsinxlimx?0?1?x1= ??3?9cos2x6?32?2? 3．limxctgx

x?0 解：原式=lim?1?lim? 4．x??0??x?tgxx?0xlimcosx=1 sinxx?0

tgxlnx?1?y?lny??tgxlnx???? 解：令ctgx ?x?，则1lnxsin2xxlny?lim?lim?lim?0 xlim??0x??0?ctgxx??0csc2xx??0x0

limy=e=1 ∴x??01??x5．lim??? x?1x?1lnx??xlnx??x?1?lnx?1?11?lim?lim? x?1x?1x?111?x?1?lnx2lnx??2xxxx

二． 求函数f(x)=xe的n阶麦克劳林公式.

解：f(0)=0,f’(x)=(x+1)ex,f’’(x)=(x+2)ex,…,f(n)(x)=(x+n)ex.

解：原式=limx?11xf''(0)2f(n)(0)nn??????fx?f0?f'0x?x???x?o(x)(x?0) ∴2!n!x3xn ?x?x?????o(xn)(x?0)

2!(n?1)!2三．利用泰勒公式求极限limx?0tgx?sinx,并指出下列做法的错误之处. 3x 解：当x?0时，sinx~x,tgx~x,利用等价无穷小代换有：

x?x?0. 3x?0x 更正：上述解法的错误在于：分母为三阶无穷小量，而分子只保留了一阶无穷小量.

sinx、tgx分别在x0=0处的三阶泰勒公式为：

原式=limx3 sinx?x??o(x3)

3! tgx?x?23x?o(x3) 3!x?231x?o(x3)?x?x3?o(x3)13!3! ?32x limtgx?sinx?limx?0x?0x3四．应用三阶泰勒公式求sin18?的近似值. 解：sin18??sin?103?????3???10????????o?????0.3090 sin18?103!??10????在x0?0处的三阶泰勒公式为：

1时，tgx?x?x3. 23 证：将tgx在x0=0处展开三阶泰勒公式，得：

11?tgx?x?x3?F(5)???x5(0???x?)

35!2五．证明：当0?x??而F(5)(?)?16sec4??32sec2?tg2??72tg2?sec4??48tg4?sec2??0

∴命题得证.

六．设f(x)在?a,b?上二次可微，且对任意x??a,b?，有f''?x??M,又

f(a)=f(b).证

明：f'?x??M(b?a),x??a,b?,?b?a?. 2 证：对?x??a,b?,分别将f(b),f(a)在x0?x处展开一阶泰勒公式：

1f''(?1)(b?x)2,x??1?b2!

1f(a)?f(x)?f'(x)(a?x)?f''(?2)(a?x)2,a??2?x2!f(b)?f(x)?f'(x)(b?x)? 两式相减得：

f'(x)?1?1f''(?2)(a?x)2?f''(?1)(b?x)2??f(b)?f(a)??b?a?2!????

?=

1f''??2?(a?x)2?f''??1?(b?x)2

2(b?a)???当a?x?b时，f''?x??M, ∴f'(x)?M(a?x)2?(b?x)2

2(b?a)??(b?a)2?(a?x)2?(b?x)2?(b?a)2 当a?x?b时，

2因此，f'?x??M(b?a). 2高等数学题库（15）函数的单调性

一． 填空题：

1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间(??,0.5)内单调减少，在区间(0.5,??)内单调增加.

332．函数y?xax?x2 （a>0）在区间(0,a)内单调增加，在区间(a,a)内单

44 调减少.

3．函数y?2x3?6x2?18x?7在区间(??,?1)?(3,??)内单调增加，在区间（-1，

3）内单调减少. 4. 函数y?10在区间（0.5，1）内单调增加，在区间4x3?9x2?6x???,0??(0,0.5)?(1,??)内单调减少.

二. 证明下列不等式： 1. 当x?4时，2x?x2.

证：令f(x)?2x?x2，则f(4)?0.

f'(x)?2xln2?2x，f'(4)?16ln2?8?0

f''(x)?2x(ln2)2?2，显然，当x?4时，f''(x)?0 ?f'(x)在区间(4,??)内单调增加. 又f'(4)?0

?f'(x)在区间(4,??)内恒大于零. 又f(4)?0

?f(x)在区间(4,??)内大于零.

即当x?4时，f(x)?2x?x2?0即2x?x2. 2. 当0?x??2时，sinx?tgx?2x.

证：令f(x)?sinx?tgx?2x f'(x)?cosx?sec2x?2

f''(x)??sinx?2tgxsec2x?sinx(2sec3x?1) 显然，当0?x??2时，f''(x)?0

?f'(x)在(0,)内单调增加.又f'(0)=0

2 ?f'(x)在(0,)内大于零.

2?在?f(x)(0,)内单调增加.而f(0)=0 2?在?f(x)(0,)内恒大于零. 2?? 即当0?x??2时，f(x)?sinx?tgx?2x?0

即sinx?tgx?2x. 3. 当0?x??2时，

2?x?sinx?x

证：令f(x)?sinxxcosx?sinx，则f'(x)?. xx2令g(x)?xcosx?sinx，则g'(x)??xsinx?0(0?x??g(x)在此区间内单调减少. ?f'(x)在此区间内也单调减少.

?2).

而f'?0??limx?0xcosx?sinx?xsinx?lim?0 x?02xx2?f'(x)在(0,)内小于0.

2?f(x)在(0,)内单调减少.

2sinx∴f(x)?在区间的两端取得极大极小值.

x??f(0)?lim即

f()?2??sinx?1x?0x

2?2?x?sinx?x

三. 证明方程sinx=x只有一个根.

证：令f(x)?sinx?x，则f'(x)?cosx?1?0. ?f(x)在(??,??)内单调减少.

∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, ?f(x)?0有且只有一个根. 即方程sinx=x只有一个根.

高等数学题库（16）函数的极值

一. 填空题：

1. 函数y?3x4?4x3在x?1处取得极小值.

2. 已知函数y?(x?5)23(x?1)2当x?-1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=

81318为极大值. 83．已知f(x)?x3?ax2?bx在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2；

极小值为-2. 二. 求下列函数的极值： 1. y??x?1??2x?3?

32 解：y'?5(x?1)2(2x?3)(2x?1) y''?10(x?1)(8x2?8x?1)

令y'?0得三驻点：x1?1,x2??1.5,x3??0.5. 当x?1时，y'?0，当?0.5?x?1时，y'?0. ?x1?1处为非极值点.

当x2??1.5时，y''?0,取得极大值，其值为0. 当x3??0.5时，y''?0，取得极小值，其值为-13.5. 2. y?excosx

解：y'?ex(cosx?sinx)，令y'?0，得驻点x?k?? y''??2exsinx

22k??4e ∴当x?2k??时，y''?0,x在该处取得极大值，其值为y? 2422k??45? 当x?2k??时，y''?0,x在该处取得极小值，其值为y?? e245??4（k为整数）.

??1?三. 试问a为何值时，函数f(x)?asinx?sin2x在x?处取得极值？它是极

33 大值还是极小值？并求出此极值.

22 解：f'(x)?acosx?cos2x，令f'(x)?0，则acosx?cos2x?0

332 即a??cos2x/cosx

3 ?x??3时f(x)取得极值.

22?2 ?a??cos?/cos?

3333424 f''(x)??asinx?sin2x??sinx?sin2x

333?2?42?f''()??sin?sin??3?0

33333

?f(x)在x??3处取得极大值，其值为

3. 2四. 设f(x)?x3?px?q，p,q为实数，且p?0

(1) 求函数的极值.

(2) 求方程x3?px?q?0有三个实根的条件. 解：(1) f'(x)?3x2?p，令f'(x)?0得x??p ?x1?3，而f''(x)?6x

pp处取得极小值，其值为?2()2?q 33p处取得极大值，其值为2()2?q 3333

x1??p (2)由上述的讨论我们可以看出，f(x)仅有 (??,?pppp),(?,),(,??)三个单调区间，由介值定理及区间 3333 单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各

有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大

?p??2???q?0?3??p?2???q?0?3?3232 于或等于0（等于0时含重根）.即

?p??p? 即当?2???q?2??时，方程有三个实根.

?3??3?五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆 柱的底半径及高应是多少？

3232解：设圆柱的底半径为R,高为h，则 V??R2h,S表??R2?2?Rh??R2?2V/R

dS表dR?2?R?2V/R2?0则R?3VV R0?x?1?

h?V/?R2?3六. 设f(x)在?0,1?上二阶可微，f(0)?f(1)?0，且maxf(x)?2.证明存在 ??(0,1)，使得f''?????16.

证：将f(0),f(1)在x取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时x?x0） f(0)?f(x0)?f'(x0)f''(?1)(0?x0)?(0?x0)2，0??1?x0 1!2!

f(1)?f(x0)?f'(x0)f''(?2)(1?x0)?(1?x0)2，x0??2?1 1!2! ?f(x0)?2,f'(x0)?0,f(0)?f(1)?0，两式相加得：

2?f''(?2)(1?x0)2??8 f''(?1)x0 令f''(?)?min?f''??1?,f''??2??，则

2f''(?)(2x0?2x0?1)??8 f''(?)??81?1?2?x0???2?2?2??16

高等数学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点

一、求下列函数的最大值和最小值： 1. y?2x3?3x2 (?1?x?4)

1-1123-1-2 函数在所给区间内可导，因此可令 y??f?(x)?6x2?6x?0 解得 x?0, x?1

而 f(?1)??5, f(0)?0, f(1)??1, f(4)?104

所以函数在区间[?1,4]上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. y?2x3?6x2-18x?7 (1?x?4)

100755025-112345-25-50 函数在所给区间内可导，因此可令 y??f?(x)?6x2?12x?18?0 解得 x?3, x??1 (舍去) 而 f(1)??15, f(3)??47, f(4)??33

所以函数在区间[1, 4]上的最大值、最小值分别为-47和-15.

二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长

方形才能使这间小屋的面积最大？ 解：

设宽为x (0?x?20)米，则长为20?2x米，因此，面积为 S?(20?2x)x

显然，当x?5时，面积取最大值50m2.

三、求数项nn (n?1,2,?) 中的最大项. 解：

1.41.31.21.1246810 令 f(x)?x (x?0) 则 f?(x)?x1?2x1x(1?lnx)

解得唯一驻点，x?e ，并且f(x)在区间[0, e]上单调递增，在区间[e, ??]上单

调递减，而 2?33

所以数项nn (n?1,2,?) 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1.y?x3?5x2?3x?5 解：

2010-2-1024-20

函数在定义域(??, ??)内阶导数存在，并且 y??f?(x)?6x2?10x?3 y???f??(x)?12x?10

55 因此，当x?(??, )时，y???0，曲线为凸的，当x?(, ?? )时，y???0，

66曲

5995 线为凹的，点(, )是曲线的拐点.

62162.y?ln(x2?1) 解：

32.521.510.5-4-22 4

函数在定义域(??, ??)内阶导数存在，并且 y??f?(x)? y???f??(x)?2x 2x?12(1?x)(1?x) 22(1?x) 因此，当x?(??, -1)时，y???0，曲线为凸的，当x?(?1, 1 )时，y???0，曲线

为凹的，当x?(1, ?? )时，y???0，曲线为凸的，点(?1, ln2)是曲线的拐点.

x?1有三个拐点位于同一直线上. 2x?1 证明：用Mathematic画图（命令为

五、证明y?Plot@8HL??HLHL??<8

-4-22-0.5-1-1.5 函数在定义域(??, ??)内二阶导数存在，并且

1?2x?x2 y??f?(x)?

(x2?1)22(x?1)(x2?4x?1) y???f??(x)? 23(1?x) 令y???0，解得，x1??1, x2?2?3 , x3?2?3,

因此，当x?(??, -1)时，y???0，曲线为凸的，当x?(?1, 2-3 )时，

y???0，

曲线为凹的，当x?(2?3, 2?3 )时，y???0，曲线为凸的，当 x?(2?3, ?? )时，y???0，曲线为凹的，所以曲线有三个拐点 (?1, -1), (2?3, 并且

y3?y2y1?y21??

x3?x2x1?x24?1?3?1?3), (2?3, ) . 44 所以三个拐点在同一条直线上.

高等数学题库 (18) 函数图形的描绘 曲率

一、作下列函数的图形（要求列表之后再画图）：

x 1. y? 21?x 解：函数在定义域(??, ??)内二阶导数存在，并且

1?x2 y??f?(x)?2 2(x?1)2x(x2?3) y???f??(x)?

(1?x2)3 令y??0, y???0，解得，x??1, x?1, x?0, x??3 , x3?3,

x f?(x) f??(x) f(x)图形 (??,?3) - - ?3 - 0 ↘ 拐点 (?3,?1) - + ? ?1 0 + 极大 (?1,0) 0 + 0 拐点 (0,1) 1 0 - 极小 + + ? + - ↗ 0.40.2-4-2-0.22-0.4

12. y?(x4?6x2?8x?7)

5 解：函数在定义域(??, ??)内二阶导数存在，并且

1 y??f?(x)?(4x3?12x?8)

51 y???f??(x)?(12x2?12)

5 令y??0, y???0，解得，x??1, x?1, x?2

x f?(x) f??(x) (??,?2) - + ?2 0 + (?2,?1) + + ?1 + 0 (?1,1) + - 1 0 0 (1,??) + +

f(x)图形

?

极小

?

拐点 ↗

拐点，不是极值

点

?

108642-4-2-22

二、求抛物线y?x2?4x?3在顶点处的曲率和曲率半径. 解： y??2x?4, y???2 顶点处x?2,所以 K? ??y??(1?y?2)3/2?2

1 2三、求一条抛物线使之与曲线y?ex在x?0处相切，且在切点处有相同的曲率和凹向.

解：设抛物线的方程为y?ax2?bx?c，则

函数y?ax2?bx?c和y?ex在x?0处有相同的函数值、一阶和二阶导数，因此

c?1， b?1， a?1 212x?x?1 2 即抛物线的方程为y?四、求曲线y?平面图

形的面积最小. 解：

x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x?0, x?2所围成的

1.510.50-0.5-2-101 设切点的坐标为(t,t)，则切线的斜率为k?12t1t 21t?1t 212t，所以切线方程为

y?x? 当x?2时，y? 当y?0时，x??t， 所以，三角形的面积为

?111122t)?(t?4t?4t2) S?(t?2)(?24t2311??dS1322?(t?2t?2t2)?0 令

dt421132, t??2(舍去) 32 即当t?时，三角形的面积最小，从而该曲线与切线l及直线x?0, x?2所

3围成的

平面图形的面积最小，此时切线方程为：

解得 t? y?66x? 46高等数学题库（19）不定积分

一.是非题：

1．?f'(x)dx?f(x). ( F ) 2. d[?f(x)dx]?f(x). ( F )

3. 已知?f(x)dx?F(x)?c,则?f[g(x)]dx?F[g(x)]?c. ( F )

11 4. sin2x, ?cos2x,24 二.填空：

1?cos2x 是同一个函数的原函数 ( T ). 2 1. ?(1?x)221?c . dx?x2?4x?23xxx3 2. ?(3ex?22x)dx?3e??c. 2xxx2 3. ?dx?.x?tanx?c 1?x2 4. ?(1?sinx?cosx)dx?x?cosx?sinx?c 5. ?(21?x2?sec2x)dx? arcsinx?tanx?c.

6. 设f'(tg2x)?sec2x，则f(x)?x?12x?c. 27. 已知曲线通过点(e,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，则曲线方程为. y?lnx?1. 三.求下列不定积分 1. ?(2tan?3cotx)2dx 解:

2222(2tan?3cotx)dx?(4tanx?9cotx?12)dx?(4secx?9cscx?1)dx???

?4tanx?9cotc?x?cx 2. ?cos2dx.

2x1?cosx1 解：?cos2dx??dx?(x?sinx)?c.

2221 3. ?dx.

cosx2sin2x 解：

1sin2x?cos2x11dx?dx?(?)dx?tanx?cotx?c ?222222??cosxsinxcosxsinxcosxsinx 4．?cos2xdx.

cosx?sinxcos2xcos2x?sin2xdx??dx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?c 解：?cosx?sinxcosx?sinx 5．??1?x?2dx.

x 解：??1?x?2dx?x?(x?1242?2x?x)dx?2x?x2?x2?c．

35123235?10?x?1?f(lnx)?四．已知且f(0)=0求f(x). ?xx?1??1??f(x)??x解： ?e?dx?x?c1x?0???f(x)??0?0?exdx?ex?c2??x?0x?0x?0

又由于f?(x)在x=0可导,则f(x)在x=0连续， 所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得：c1?0;c2??1

x?0?x f(x)??x

e?1x?0?高等数学题库（20）换元积分

一.填空:

1.?sin4xdx??1/4cos4x?c 2.??x?4?dx? 3.? 4.? 5.? 6.? 7.?11001?x?4?101?c 1011?2x?5??5?c 10?2x?5?1dx??613dx?arcsinx?c

324?9x2dx?lnlnx?c xlnxx12dx??tan(1?4x)?c 228cos(1?4x)2x?5dx?ln(x2?5x?6)?c 2x?5x?6dx1x10?ln10?c 8.?10x(x?1)10x?1二.计算不定积分:

1?cosx1. ?dx.

x?sinx1?cosxd(x?sinx) 解：?dx???ln(x?sinx)?c.

x?sinxx?sinxsinx2. ?dx.

a?bcosxsinx1d(bcosx?a)1 解：?dx?????ln(a?bcosx)?c

a?bcosxba?bcosxb3.?(sin5xsin7x?sinxcosx)dx解:?(sin5xsin7x?sinxcosx)dx35354.??1?????(cos12x?cos2x)?sin3x(1?sin2x)2cosx?dx?2?11111?sin2x?sin12x?sin4x?sin6x?sin8x?c424438 x2dx(a?0)222(a?x)解:令a?sint(??/2?t??/2)a2sin2tcosta2原式??dt?(1?cos2t)dtacost2?a2a2xx?(t?sintcost)?c?arcsin?a2?x2?c22a2

5.?dx?1?x?23sec2tdt解:原式?(x?tant(??/2?x??/2))???costdt?sint?c 3sectx??c.21?x 6．?dx. x1?edx1?ex?exexx?dx?(1?)dx?x?ln(1?e)?c. 解：?xxx??1?e1?e1?e

7. ?dxxx?12.

??1??d????x???arcsin1?c??1x?12?1?(x)dxdx???? 解:?211xx?1d()xx1?2?1?xx?arcsin?c2??x1?1?()2x?x?1

x??18. ? 解:?

x2?3xx2dx.

1?11dx???(2?3x2)2d(?3x2?2)???c. 2262?3x32?3x高等数学题库（21） 分部积分法

一.填空题：

1．设f?(ex)?2x,则f(x)?2x(lnx?1)?c . 2．?xf??(x)dx?xf?(x)?f(x)?c .

(3?x2)sinx?3xcosxsinx?c . 3．若f(x)的原函数为，则?xf??(x)dx?2xx二．求下列不定积分： 1．?e?xcosxdx.

解：?e?xcosxdx??e?xdsinx?e?xsinx??sinxde?x?e?xsinx??sinxe?xdx =e?xsinx??e?xdcosx?e?xsinx?[e?xcosx??cosxe?xdx] =e?xsinx?e?xcosx??e?xcosxdx .所以，

1 原式=e?x(sinx?cosx)?c .

2 2．?te(?2t)dt.

111111解：?te(?2t)dt=?te?2t??e?2tdt??te?2t??e?2td(?2t)??te?2t?e?2t?c.

222424 3．?(arcsinx)2dx.

解：?(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2?2?xarcsinx1?x2dx

?x(arcsinx)2?2?aecsinxd(1?x2) =x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2?dx =x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?c .

ln(1?ex) 4．?dx . xeln(1?ex)1xx?x?x 解：?=dx?ln(1?e)e?e?1?exedx ex1?ex?ex =?eln(1?e)??dx x1?e?xx =?e?xln(1?ex)??dx??1d(1?ex) x1?e =?e?xln(1?ex)?x?ln(1?ex)?c 5．?xarctgxdx . 解：?xarctgxdx=

1122arctgxd(x)?[xarctgx??x2d(arctgx)] ?2212x21211dx?xarctgx?(dx? =[xarctgx???1?x2dx) 222?1?x21 =(x2arctgx?x?arctgx)?c .

2 6．?x2cosxdx .

解：?x2cosxdx=?x2d(sinx)?x2sinx??sinxd(x2)?x2sinx??2xsinxdx =x2sinx?2?xd(cosx)?x2sinx?2(xcosx??cosxdx) =x2sinx?2xcosx?2sinx?c.

高等数学题库(22) 几种特殊类型函数的积分

一． 求下列有理函数的不定积分：

2x?3 1．?2dx .

x?3x?10d(x2?3x?10)2x?3 解：?2?ln(x2?3x?10)?c dx=?2x?3x?10x?3x?10 =ln(x?5)?ln(x?2)?c .

3dx . 2x?13ABx?C 解：3 , 比较系数得：A?1,B??1,C?2 ??2x?1x?1x?x?113(2x?1)?31?x?22dx ?3dx=?(?2)dx?ln(x?1)??22x?1x?x?1x?1x?x?1 2．?1d(x?)1d(x?x?1)32 =ln(x?1)??2 ??22x?x?113(x?)2?()222211312?c =ln(x?1)?ln(x2?x?1)??arctg223322x? =lnx?1x?x?12?3arctg2x?13?c .

二.求下列三角有理式的不定积分：

dx 1．? .

3?cosx1?t2x2dt 解：令t?tg 则 cosx? dx?2221?t1?t2dt2dx2dtdt1t1?t ?=????arctg?c

3?cosx1?t2?3(1?t2)?(1?t2)?t2?2223?1?t2 =

1arctg2tgx2?c . 2 2．?tg4xsec4xdx . 解：

42424464tgxsecxd(tgx)tgx(1?tgx)d(tgx)tgxsecxdx(tgx?tgx)d(tgx) ===????11 =tg7x?tg5x?c .

75 3．?sec3xdx .

解：?sec3xdx=?secx?sec2xdx=?secxd(tgx)=tgxsecx??tgxd(secx) =tgxsecx??tgx?tgxsecxdx=tgxsecx??(sec2x?1)secxdx =tgxsecx??secxdx??sec3xdx

所以，2?sec3xdx=tgxsecx??secxdx=tgxsecx?lntgx?secx?c

1 即：?sec3xdx=[tgxsecx?lntgx?secx]?c

2三.求下列无理函数的不定积分：

1．?x?1?1dx .

x?1?1x?1?1x?2?2x?1x?1dx=?dx?x?2lnx?2?dx

xxx?1?1 解：? 令x?1?t ， 则x?t2?1；dx?2tdt. 于是 ?x?12t2t2?1?1dtt?1dx??2dt?2?2dt?2t?2?2?2t?ln?c xt?1t?1t?1t?1x?1?1x?1?1?c

x?1?1x?1?1?c

=2x?1?ln 故?x?1?1dx=x?2lnx?4x?1?2lnx?1?1?c

=x?4x?1?2lnx?2lnx?1?1x?1?1 =x?4x?1?4ln(x?1?1)?c . 2．?1?xdx . 1?x1?x1?t2?4t?t 则：x?,dx?dt 解：令

1?x1?t2(1?t2)2 ?1?x?4t212tdx=?dt?2td()??2arctgt?c 2222?1?x(1?t)t?1t?11?x?c 1?x =1?x2?2arctg四.计算积分?sinxcosxdx .

sinx?cosxsinxcosx1dx=??sinx?cosx2 解法一：?sin2x =

121?2sin(x?)4?1sin2(x?)?42dx sin(x?)4?dx?122??cos(2x?)2dx sin(x?)4??? =

??1??sin(x?)d(x?)?csc(x?)d(x?) ??444422212cos(x? =??4)?x?lntg(?)?c

2822111x?lntg(?)?c . =(sinx?cosx)?22822 解法二：?sinxcosx12sinxcosx?1?1dx=?dx

sinx?cosx2sinx?cosx1(sinx?cosx)211 =?dx??dx

2sinx?cosx2sinx?cosx1 =?(sinx?cosx)dx??2d(x??4)22sin(x?)4?

11??csc(x?)d(x?) =(sinx?cosx)??2442211x?lntg(?)?c =(sinx?cosx)?22822

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