拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用

拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用

王欣然 学号：2010319214

（河北建筑工程学院城建系热动102班）

摘 要：许多工程实际问题涉及到非稳态导热，通过对非稳态导热过程的分析，得出其数学模型为偏微分方程。偏微分方程的求解经常用到拉普拉斯变换方法。给出了利用拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题的方法步骤，并采用此方法对边界条件为恒定热流和变热流两种情况进行了求解。发现其求解步骤明确、规范，便于在工程技术中应用，具有很好的推广价值。 关键词：拉普拉斯变换；非稳态导热；定解条件；通解

The Application of Laplace Transform in Unsteady StateHeat Conduction

Problem

Wang xin-ran

Abstract：Many of practical issues are related to unsteady state heat condition.Through analysis for its process, it is found that its mathematical model is partial differential equations. Laplace transform is used frequently in solving partial differential equations. The methods and steps of Laplace transform applications in solving unsteady state heat condition problem is presented. Furthermore，boundary conditions for the constant heat and variable heat two cases were solved through this method.Tt’s found that its steps clear, standardized and facilitate in the technology works. It has very good promotional value.

Key words:Laplace transform; unsteady state heat condition; Determined conditions; General solution

1. 问题提出

许多工程实际问题需要确定物体内部的温度场随时间的变化，或确定其内部温度到达某一限定值所需要的时间。例如，室外空气温度和太阳辐射的周期性变化所引起房屋围护结构（墙壁、屋顶等）温度场随时间的变化；采暖设备间歇供暖时引起墙内温度随时间的变化，像这些都是物体的温度随时间而变化的导热过程即非稳态导热过程。故我们有必要对非稳态导热进行研究，从而求解非稳态导热问题（偏微分方程）就显得十分重要。求解非稳态导热问题常用的方法有分离变量法、拉普拉斯变换法和格林函数法。本文仅就拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用进行研究。

2．拉普拉斯变换的概念及解题步骤

设函数当≥时有定义，而且积分确定的函数

（s时一个复参量）在的某一域内收敛，则由此积分所

称为函数f（t）的拉普拉斯变换.记为

拉普拉斯变换有许多非常好的性质，如线性性质、微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质、初值定理和终值定理、卷积定理等。这些性质在解题时非常重要。在利用拉普拉斯变换求解导热问题时，关键的一步是把变换后的函数从复变量s区域变回到时间变量t区域的逆变换。而许多逆变换都可直接或利用性质转化之后通过查拉普拉斯变换表得到。

利用拉普拉斯变换求解非稳态导热问题（偏微分方程）的一般步骤：（1）根据问题建立数学模型（偏微分方程）；（2）将温度看作时间t的函数，对方程及定解条件关于t取拉普拉斯变换，把偏微分方程和定解条件化为象函数的常微分方程的定解问题；（3）解常微分方程，求出象函数U(x,s) ；（4）取拉普拉斯逆变换，求出温度函数U(x,t)。

3．用拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题

3.1边界热流为常数的非稳态导热问题

一个半无限大物体（x≥0）的初始温度为零，当时间t > 0时，在 x= 0的边界上有恒定热流的作用，试求 t>0 时物体中的温度分布。

【分析】设u表示物体中的温度，x表示坐标，t表示时间，λ表示导热系数，则温度是时间及坐标的函数，即u=u（x，t）。据题意，该问题的数学模型为

对上述定解问题关于t取Laplace变换，并利用微分性质和初始条件可得

这是一个二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题。由特征值法易求得通解为

由边界条件可知

从而

对上式取拉普拉斯逆变换并查表得

3.2边界热流为函数的非稳态导热问题

若在3.1中，边界热流是随时间变化的，即【分析】此问题的数学模型为

。求 t > 0时物体中的温度分布。

同3.1一样，对上述定解问题关于t取拉普拉斯变换，其中（2）中第三个式子拉普拉斯变换

的结果为

，将边界条件带入通解中，

解得此时

从而温度分布的拉普拉斯变换为

其中

据卷积定理，原定解问题的解为

其中g（x，t）为G (x, s) 的拉普拉斯逆变换，查表，得

从而

4．结束语

由上文可以看出，利用拉普拉斯变换求解非稳态导热问题时，在求解的过程中，初始条 件也同时用上了，求出的结果就是所需要的特解。用拉普拉斯变换方法求解的步骤明确、规 范，便于在工程技术中应用，而且有现成的拉普拉斯变换表，可直接获得象原函数（即方程 的解）。此外，利用拉普拉斯变换法不仅可以比较方便地求解有随时间变化的边界条件和热 源的问题，也可用来解决诸如加热器热容量、接触热阻等复杂的边界条件以及复合介质等复 杂的问题。此方法具有很好的推广价值。

参考文献

[1] 章熙民 任泽霈编著,《传热学》,中国建筑工业出版社,2001年12月 [2] 东南大学数学系 张元林编,《积分变换》,高等教育出版社,2003年12月 [3] 贾力 方肇洪 钱兴华, 《高等传热学》,高等教育出版社, 2003年3月

[4] 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编,《常微分方程》,高等教育出版社,1983年9月

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qbdd.html