2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
更新时间:2024-04-03 19:20:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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2015年全国高中数学联赛(B卷)(一试)
一、填空题(每个小题8分,满分64分 1:已知函数f(x)???a?xx?alog2x?[0,3]x?(3,??),其中a为常数,如果f(2)?f(4),则a的取
值范围是
2:已知y?f(x)?x3为偶函数,且f(10)?15,则f(?10)的值为 3:某房间的室温T(单位:摄氏度)与时间t(单位:小时)的函数关系为:
T?asint?bcost,t?(0,??),其中a,b为正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,
则a?b的最大值是
4:设正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形,如果二面角A1?BD?C1的大小为
?,则AA1? 35:已知数列?an?为等差数列,首项与公差均为正数,且a2,a5,a9依次成等比数列,则使得
a1?a2?????ak?100a1的最小正整数k的值是 226:设k为实数,在平面直角坐标系中有两个点集A?(x,y)x?y?2(x?y)和
??B??(x,y)kx?y?k?3?0?,若A?B是单元集,则k的值为
y2x2??1上的动点,点A(1,1),B(0,?1),则PA?PB的最大值为 7:设P为椭圆438:正2015边形A1A2???A2015内接于单位圆O,任取它的两个不同顶点Ai,Aj, 则OAi?OAj?1的概率为 二、解答题
9:(本题满分16分)数列?an?满足a1?3,对任意正整数m,n,均有am?n?am?an?2mn (1)求?an?的通项公式; (2)如果存在实数c使得
1?c对所有正整数k都成立,求c的取值范围 ?ai?1ik10:(本题满分20分)设a1,a2,a3,a4为四个有理数,使得:
31??aa1?i?j?4????24,?2,?,?,1,3?,求a?a?ij?28?12?a3?a4的值
x2y211:(本题满分20分)已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(c,0),存在经过点Fab的一条直线l交椭圆于A,B两点,使得OA?OB,求该椭圆的离心率的取值范围
(加试)
1:(本题满分40分)证明:对任意三个不全相等的非负实数a,b,c都有:
(a?bc)2?(b?ac)2?(c?ab)21?,并确定等号成立的充要条件 222(a?b)?(b?c)?(c?a)2 2:(本题满分40分)如图,在等腰?ABC中,AB?AC,设I为其内心,设D为?ABC内的一个点,满足I,B,C,D四点共圆,过点C作BD的平行线,与AD的延长线交于E 求证:CD?BD?CE
2)满足: 3:(本题满分50分)证明:存在无穷多个正整数组(a,b,c)(a,b,c?2015abc?1,bac?1,cab?1
4:(本题满分50分)给定正整数m,n(2?m?n),设a1,a2,???,am是1,2,???,n中任取m个互不相同的数构成的一个排列,如果存在k??1,2,???,m?使得ak?k为奇数,或者存在整数
k,l(1?k?l?m),使得ak?al,则称a1,a2,???,am是一个“好排列”,试确定所有好排列
的个数。
2015年全国高中数学联赛(B卷)解答 (一试)
三、填空题(每个小题8分,满分64分
?a?x1.已知函数f(x)??x?alog2x?[0,3]x?(3,??),其中a为常数,如果f(2)?f(4),则a的取
值范围是 . 答案:(-2,+∞).解:f(2)?a?2,f(4)?2a,所以a?2?2a,解得:a??2. 2.已知y?f(x)?x3为偶函数,且f(10)?15,则f(?10)的值为 .
答案:2015.解:由己知得f(?10)?(?10)3?f(10)?103,即f(?=2015. 10)1(0?)f2000?3.某房间的室温T(单位:摄氏度)与时间t(单位:小时)的函数关系为:
T?asint?bcost,t?(0,??),其中a,b为正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则a?b的最大值是 .
答案:52.解:由辅助角公式:T?asint?bcost?条件sin??a2?b2sin(t??),其中?满足
ba2?b2,cos??aa2?b22222,则函数T的值域是[?a?b,a?b],室
内最大温差为2a2?b2?10,得a2?b2?5. 故a?b?2(a2?b2)?52,等号成立当且仅当a?b?52. 24.设正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形,如果二面角A1?BD?C1的
?,则AA1? . 36答案:.解:取BD的中点O,连接OA, OA1 , OC1.
2?则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,因此∠A1OC1=,
3又△OA1C1是等边三角形.故A1O= A1C1=2,所以
大小为
226. AA1?AO?AO?(2)?()?1225.已知数列?an?为等差数列,首项与公差均为正数,且a2,a5,a9依次成等比数列,则使得 a1?a2?????ak?100a1的最小正整数k的值是 .
答案:34.解:设数列?an?的公差为d,则a2?a1?d,a5?a1?4d,a9?a1?8d.因为
2222,即(a1?d)(a1?8d)?(a1?4d)a2,a5,a9依次成等比数列,所以a2a9?a52.化简上式得
到:a1d?8d2.又d?0,所以a1?8d.由
a1?a2???ak?a1a1k?k(k?1)dk(k?1)2?k??100.
a116解得kmin?34.
226.设k为实数,在平面直角坐标系中有两个点集A?(x,y)x?y?2(x?y)和
??B??(x,y)kx?y?k?3?0?,若A?B是单元集,则k的值为 .
答案:?2?3.解:点集A是圆周?:(x?1)2?(y?1)2?2,点集B是恒过点 P (-1,3)
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