吉林松原初中2013中考第一次诊断性测试题—数学2

吉林松原初中2013中考第一次诊断性测试题—数学

时间120分钟，满分170分

A卷（共100分） 第I卷（选择题，共30分）

注意事项：

第Ⅰ卷各题均有四个选项，只有一项符合题目要求。每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．计算：－(－2)的结果是（ ▲ ） A．－2 B．2

C．－1 D．1

222．成都地铁4号线一期工程起于公平站，止于沙河站，基本为东西走向，线路长22.4km，估算总投资约125亿元，其中125亿用科学记数法表示为（ ▲ ）

A．0.125×1011 B．1.25×1010 C．1.25×109 D．1.25×108 3．函数

y?x?1的自变量x的取值范围是（ ▲ ） xB．x>－1且x≠0 D．x>0且x≠－1

A．x≥－1且x≠0 C．x≥0且x≠－1

4．不等式组x?1?0的解集在数轴上应表示为（ ▲ ）

???3x?4?x?1??2

5．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（ ▲ ） A．22 C．5

B．23 D．35

第5题图

6． 下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ▲ ）

A. B. C. D.

7．某市为治理污水，需要辅设一段全长为300 m的污水排放管道，铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响．后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30

天完成这一任务．如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可得方程（ ▲ ） A．120 B．120180 300??30??30x2xx2x C．120 D．120180 300??30??30x1.2xx1.2x8．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、正方形和圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ▲ ）

A．1 B．1

C．1

D．2

63239．如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（ ▲ ） A．DEAD ?BCDB

B. AEAD ?BCBDAE ?ABAC第9题图

C．DEAE ?CBAB

D. AD10．抛物线y＝x2＋x＋p(p≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是（ ▲ ） A．(0，－2)

B．(1，9)

2C．(－1，9)

?

4?D．(－1，9)

2

424

第II卷（非选择题，共70分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．数据2，0，2，1，3的众数为 ▲ 。

12．若m2－n2＝12，且m－n＝2，则m＋n＝ ▲ 。

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD＝ ▲ °。

第14题图

第13题图

14．如图，直线y＝4x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A按顺时针方

?3向旋转90°后得到△AO1B1，则点B1的坐标是 ▲ 。 三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15．（本小题满分12分，每题6分） （1）计算：

?1?8????2??1?4cos45???3??▲ ?0

（2）先化简，再求值：

m1?，其中m??2 ???1??m2?1?m?1?▲ A

60° 16．（本小题满分6分）

如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向。小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向。求教学楼A与办公楼B之间的距离。

（结果精确到0.1米，供选用的数据：2≈1.414，3≈1.732）。

▲ 17．（本小题满分8分） 解方程：

P

45° C

B

第16题图

1??1??2??x???x???1?02??2??2

▲ 18．（本小题满分8分）

小强参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A—韩国馆、B—英国馆、C—法

E—日本馆、F—美国馆中任意选择一处参观。 国馆中任意选择一处参观，下午从D—中国馆、

（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小强所有可能的参观方式（用字母表示即可）。

（2）求小强上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率。 19．（本小题满分10分）

如图，正方形ABCD边长为6。菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连结CF。 （1）当DG=2时，求证菱形EFGH为正方形；

（2）设DG=x，试用含x的代数式表示?FCG的面积。

▲

20．（本小题满分10分）

已知关于x的方程mx2?(3?2m)x?m?3?0，其中m?0。 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x,x，其中x?x。

1212若

x2?1，求y关于m的函数关系式；

y?3x11DHAGCFEB第19题图

yO1m（3）在（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等 式y≤?m成立的m的取值范围.

▲ 第20题图

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。） 21．如图，直线OA与反比例函数

的图象在第一象限交于点A，AB⊥x轴于点ky?(k?0)xB，△OAB的面积为2，则k＝ ▲ 。

22．已知关于x、y的方程组 的解是一对异号的数，则k的取值范围是 ▲ 。

?x?2y?5k?2??x?y??k?4

第21题图 第23题图 第24题图 23．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长

线的垂线PQ，垂足为C。若⊙O的半径为2，TC＝3，则图中阴影部分的面积是 ▲ 。

24．设函数

y?x2?(2k?1)x?2k?4的图像如图所示，它与x轴交于A，B两点，且线段

OA与OB的长度之比为1:3，则k= ▲ 。

25．如图4，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA

B1、C1，B1C=2BC，C1A=2CA，B1、C1，至点A1、使得A1B=2AB，顺次连接A1、得到△A1B1C1，B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△AnBnCn，则其面积Sn= ▲ 。（用含n的式子表示）

O

B

第25题图

二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 26．（本小题满分8分）

某旅行社拟在暑假期间推出“两日游”活动，收费标准如下：

人数m 收费标准（元/人） 0200 150 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动。已知甲校报名参加的学生人数多于120人，乙校报名参加的学生人数少于120人。经核算，若两校分别组团共需花费41600元，若两校联合组团只需花费36000元。

（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ （2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？

▲ 27．（本小题满分10分）

如图，PA为⊙O的切线，A为切点。过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B。延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E。

（1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若BC=2OC，求sinE的值。

▲

第27题

28．（本小题满分12分）

如图，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（C、F两点在x轴正半轴上）。若⊙P过A、B、E三点（圆心P在x轴上），抛物线

经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，正方形CDEF的面12y?x?bx?c8积为4。

（1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）设直线AC与抛物线对称轴交于点N，点Q是此对称轴上不与点N重合的一动点。

①求△ACQ周长的最小值；

②设点Q的纵坐标为t，△ACQ的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并指出相应的t的取值范围。

▲ 第28题图

参考答案及评分标准

一、选择题(每小题3分，满分30分)

2 3 4 5 6 7 题号 1

B A C B C D 答案 B

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11、2

12、6

13、45

14、（7，3）

三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15．（本题满分12分，每小题6分） （1）解：原式=

……………………………………………………3分 222?2?4??128 D 9 C 10 D

=22+2-22-1 =1 …………………………………………6分 （2）原式

mm?1?1……………………………………………………3分

??(m?1)(m?1)m?1mm?1……………………………………………………… 4分 ??(m?1)(m?1)m

1………………………………………………………………………… 5分 ?m?1当m??2时，原式

11……………………………………………… 6分 ????2?13A

60° 16．（本小题满分6分）

解：由题意可知∠ACP= ∠BCP= 90° ∠APC=30°，∠BPC=45°………………………………1分 在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠BPC＝45°，

∴BC?PC?60 ……………………………………………3分 在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠APC＝30°，

∴AC?203 ………………………………………………5分 ∴AB?AC?BC?60?203 ≈60+20×1.732 =94.64≈94.6（米）

答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94.6米…………… 6分 17．（本小题满分8分）

第16题P

45° C

B

解：设

1，则原方程可化为2t2?t?1?0………………………………2分

t?x?21…………………………………………………………………5分

t1?1,t2??2 解得

，13，11，x=0……………………………………………7分

x??1x?x???2222 ∴

3，x2=0…………………………………………………………………… 8分 x1?218．（本小题满分8分）

解：（1）树状图如下图所示：

列表： 上午

········ D E F 下午 ·A · （A，D） （A，E） （A，F） B · （B，D） （B，E） （B，F） C · （C，D） （C，E） （C，F） ∴小强所有可能选择参观的方式有：（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E）， （B，F），（C，D），（C，E），（C，F）。……………………………………………4分

（2）小强上午和下午都选择参观亚洲国家展馆的可能有（A，D），（A，E）………6分 ∴小强上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率=2……………………………8分

919．（本小题满分10分）

（1）证明：在△HDG和△AEH中，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°。……………1分 ∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，

∴Rt△HDG≌△AEH…………………………………………3分

∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°

∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形。…………………5分 （2）过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE。…………………6分 DHAGCFEB图1

DHAGCMFEB ∵CD//AB，∴∠AEG=∠MGE

∵GF//HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM

∵HE=FG，∴Rt△AHE≌Rt△GFM…………………………8分 ∴MF=2

∵DG=x，∴CG=6-x。

∴

S?FCG………………………………………………………10分 1?GC?FM?6?x220．（本小题满分10分）

解：（1）由题意可知，∵??(3?2m)2?4m(m?3)?9?0…………………………………2分

即△>0 ，∴方程总有两个不相等的实数根。………………………………………3

分

（2）由求根公式，得：

?(3?2m)?3．∴ 3或x?1。

x?x?1?2mm∵ m＞0，∴

3。………………………………………………………………5分

1?1?m3。…………………………………………………6分

x1?1，x2?1?m∵ x?x，∴

12∴

即为所求。……………………………………7分 1x2?11y??(m?0)y???.

m3x1m 1y??(m?0)my（3）在同一平面直角坐标系中分别画出

1与y??m(m?0)的图象……………………8分 由图象可得，由图象可得

当0?m≤1时，y≤?m……………………10分

O1y??1(m?0)mm y??m(m?0)

B卷

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）

21、4 22、-2

??223二、解答题（本大题共3个小题，共30分）二、解答题（本题8分）

26.（ 本小题满分8分） (1) 设两校人数之和为S。

若S>200，则S=36000÷150=240。…………………………………………………1分 若120

21117∴两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240，超过200人。……………3分 （2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则

解得①当120

??x?160???170x?180y?41600?y?80②当x>200时，得x?y?240 解得

1??x?53???3150x?180y?41600???y?1862?3? 此解不合题意，舍去……………………………………………………………………7分

∴甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人。… 8分

27.(本小题满分10分) （1）证明：连接OA

∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°………1分 ∵OA＝OB，OP⊥AB于C ∴BC＝CA，PB＝PA ∴△PBO≌△PAO

∴∠PBO＝∠PAO＝90°

∴PB为⊙O的切线………………………4分 （2）解：连接AD，

第27题图 ∵BD是直径，∠BAD＝90°

由（1）知∠BCO＝90°

∴AD∥OP，

∴△ADE∽△POE…………………………………………………6分

∴EAAD ，由AD∥OC得AD＝2OC…………………………8分 ?EPOP∵BC=2OC，设OC＝t，则BC＝2t，AD=2t 由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t ∴EAAD2，可设EA＝2m，EP=5m，则PA=3m ??EPOP5

∵PA=PB，∴PB=3m，

PB3……………………………………10分

sinE??EP528．（本小题满分12分）

（1）如图，连接PE、PB，设PC=n，

由正方形CDEF的面积为4，可得CD=CF=2 根据圆和正方形的对称性知，OP=PC=n。 由PB=PE，根据勾股定理，

222222

得PB=BC+PC=4n+n=5n，

PE2=PF2+EF2=(n+2)2+4，即5n2=(n+2)2+4 解得n=2或n=-1（舍去）。

∴BC=OC=4，故点B的坐标为（4，4）…………………………………………3分

（2）由（1）A（0，4），C（4，0），∵抛物线

经过A、12y?x?bx?c8C两点 ∴

?4?c?1?0??42?4b?c?8? 解之得c?4

???3b???2?∴抛物线的解析式为

………6分 123y?x?x?482（3）①如图，延长AB交抛物线于点A′，连接CA′交对称轴x=6于点Q，连接AQ，则

有AQ=A′Q。△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长。

利用勾股定理，在Rt△AOC中，AC=在Rt△A′BC中，?AC?AO2?OC2?42

，

A?B2?BC2?45即△ACQ周长的最小值为42?45。…………………………………………9分 ②直线AC的解析式为x+y-4=0，当x=6时，y=-2，由于点Q与N不重合， ∴t≠-2

当t>-2时，S=2t+4…………………………………………………………………11分 当t<-2时，S=-2t-4……………………………………………………………… 12分 （其它解法参照给分。）

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